QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Hàm sóng liên kết có thể mở rộng ra ngoài giếng hữu hạn ngay cả khi năng lượng của hạt nằm dưới thế năng bên ngoài.

Kiến thức cần thiết: 5, 24, 37.

• Khớp các trạng thái giếng hữu hạn suy biến và suy ra các điều kiện lượng tử hóa phụ thuộc vào tính chẵn lẻ
• Giải thích các nghiệm vô hướng của trạng thái liên kết và phân biệt sự giam giữ với tán xạ
• Sử dụng các số lượng tử hydro-like, mô men động lượng và các đại lượng xác suất bán kính

Xét giếng đối xứng V=−V₀ cho |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 và cùng khối lượng trên toàn bộ miền. Năng lượng liên kết nằm giữa −V₀ và không. Bên trong giếng, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ cho nghiệm dao động; bên ngoài, κ=√(−2mE)/$\hbar$ cho đuôi hàm mũ giảm dần. Loại bỏ các hàm mũ tăng để thu được trạng thái chuẩn hóa. Tính đối xứng phản xạ cho phép các trạng thái cos(kx) (chẵn) hoặc sin(kx) (lẻ) ở bên trong. Tại biên hữu hạn mà không có tương tác delta, cả ψ và ψ′ đều liên tục. Điều kiện khớp chẵn cho k tan(ka)=κ; khớp lẻ cho −k cot(ka)=κ. Giếng hữu hạn không yêu cầu ψ phải bằng không tại biên như giếng vô hạn.

Đặt z=ka và ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Khi đó κa=√(ρ²−z²) và 0<z<ρ. Giải z tan z=√(ρ²−z²) cho trạng thái chẵn, hoặc −z cot z=√(ρ²−z²) cho trạng thái lẻ, trên các khoảng có dấu phù hợp và tránh các cực của hàm tangent. Năng lượng được xác định bởi E/V₀=z²/ρ²−1. Với ρ=1, nghiệm cơ bản nằm trong 0<z<1 và phương trình chẵn tương đương với z=cos z. Phương pháp chia đôi hoặc tìm nghiệm hội tụ cho z≈0.739085 và E/V₀≈−0.453753. Vì ρ<π/2, không có nhánh trạng thái liên kết lẻ nào thỏa mãn. Trong một chiều, giếng vuông hút luôn có trạng thái liên kết cơ bản chẵn dù giếng có sâu hay nông; đuôi ngưỡng E=0 không khả tích bình phương.

Đối với trạng thái liên kết chẵn, đặt ψ=A cos(kx) bên trong và ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] bên ngoài. Tính liên tục xác định biên độ đuôi tương đối; tích phân |ψ|² trên cả phần bên trong và đuôi để xác định A. Xác suất bên ngoài giếng khác không và phụ thuộc vào độ sâu, độ rộng cũng như trạng thái đã chọn. Trạng thái liên kết có năng lượng rời rạc và tiệm cận giảm dần khả tích. Một trạng thái tán xạ với E>0 có sóng lan truyền bên ngoài và được chuẩn hóa theo quy ước liên tục/lưu thông. Đuôi giảm dần không phải là bằng chứng vi phạm bảo toàn năng lượng, và biên độ đuôi thô chưa phải là xác suất bên ngoài cho đến khi đã được tích phân và chuẩn hóa.

Đối với ion Coulomb một electron mang điện tích hạt nhân Ze, sử dụng mô hình thế trung tâm phi tương đối tính và xấp xỉ hạt nhân nặng trừ khi khối lượng rút gọn được chỉ định. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; các số lượng tử orbital cho phép là n≥1, l=0,…,n−1 và m_l=−l,…,l. L² có giá trị riêng l(l+1)$\hbar$² và L_z=m_l$\hbar$; orbital cơ sở 1s có l=0, mặc dù quy tắc quỹ đạo tròn Bohr lịch sử. Sự suy biến không gian tại n cố định là Σ_l(2l+1)=n² trước khi hiệu chỉnh spin và cấu trúc tinh tế. Nếu ψ=R_nl(r)Y_lm với phần góc chuẩn hóa, xác suất bán kính trong dr là r²|R|²dr, không chỉ |R|²dr. Đối với hydro 1s, mật độ bán kính là 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: nó đạt cực đại tại r=a₀ và có giá trị trung bình 3a₀/2, trong khi mật độ điểm ba chiều lớn nhất tại gốc tọa độ. Phân biệt các đại lượng đo lường này trước khi xác định bán kính có xác suất lớn nhất.

Giếng hữu hạn có V = -V0 cho $|x|<a$ và bằng không bên ngoài. Năng lượng liên kết nằm strictly giữa -V0 và không. Định nghĩa

Tính chẵn cho cosin bên trong và đuôi giảm dần. Khớp giá trị và đạo hàm tại a cho Tính chẵn lẻ lẻ thay vào đó sẽ cho $-k\cot(ka)=\kappa$. Chỉ giải trong các khoảng tính chẵn lẻ hợp lệ; một nghiệm tại cực của hàm tangent không phải là trạng thái liên kết.

Sử dụng thế năng zero đã khai báo, khớp ψ′ cũng như ψ, và bao gồm thước đo vỏ bán kính. Một phần đuôi bị giới hạn và sóng du hành liên tục có các chế độ năng lượng khác nhau.

trạng thái liên kết: Trạng thái dừng chuẩn hóa với xác suất bị giới hạn và năng lượng rời rạc trong mô hình được chỉ định.

mật độ xác suất theo bán kính: Xác suất trên mỗi đơn vị khoảng cách bán kính, bao gồm yếu tố đo vỏ cầu sau khi tích phân góc.