QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Hai electron có thể chia sẻ một orbital không gian nếu trạng thái tổng hợp không gian-cuối của chúng có tính bất đối xứng cần thiết.

Kiến thức nền tảng: 5, 36.

• Xây dựng các trạng thái không gian hai orbital đối xứng và phản đối xứng được chuẩn hóa
• Kết hợp tính đối xứng không gian và spin để tạo ra các trạng thái hai electron cho phép
• Đếm số lượng chiếm đầy đủ các trạng thái và diễn giải các tương quan do trao đổi gây ra

Đối với các hạt giống nhau, việc hoán vị mọi tọa độ và nhãn spin sẽ làm thay đổi hàm sóng tổng hợp của fermion bằng một dấu âm và giữ nguyên trạng thái boson. Các ô trống toán học 1 và 2 chỉ các tham số chứ không phải là các hạt phân biệt vĩnh viễn. Đối với hai orbital trực giao khác nhau a và b, các tổ hợp không gian là Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Tính trực giao khiến các tổ hợp này được chuẩn hóa và cung cấp các giá trị riêng trao đổi ±1. Nếu hai orbital giống nhau, tổ hợp phản đối xứng đồng nhất bằng không và công thức đối xứng hiển thị không được chuẩn hóa đúng; trạng thái không gian chiếm đôi đơn giản là a(1)a(2). Hãy kiểm tra lại sự chuẩn hóa bất cứ khi nào các orbital hoặc sự chồng chập của chúng thay đổi.

Hai hạt spin-1/2 có một trạng thái đơn (↑↓−↓↑)/√2 với tổng spin S=0; nó phản đối xứng dưới sự trao đổi. Ba trạng thái bộ ba ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 và ↓↓ có S=1 và đối xứng. Electron yêu cầu trạng thái tổng hợp phản đối xứng, vì vậy trạng thái không gian đối xứng ghép với trạng thái đơn, trong khi trạng thái không gian phản đối xứng ghép với bộ ba. Hai electron trong cùng một orbital không gian có thể tạo thành trạng thái đơn, nhưng không thể tạo thành bộ ba ở đó trong trạng thái hai electron đơn giản này. Nguyên lý loại trừ Pauli ngăn chặn việc chiếm giữ cùng một trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh, bao gồm cả spin. Các electron ngược spin trong một orbital là hai trạng thái hoàn chỉnh khác nhau; mô tả sự loại trừ như mỗi orbital chỉ chứa một electron sẽ bỏ qua sự phân biệt này.

Đối với hai orbital không gian a,b và hai trạng thái spin mỗi loại, có bốn trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh. Hai electron giống nhau có chọn(4,2)=6 mẫu chiếm: hai trạng thái đơn chiếm đôi, một trạng thái đơn orbital khác nhau, và ba trạng thái bộ ba orbital khác nhau. Đối với ba orbital không gian, có sáu trạng thái hoàn chỉnh và chọn(6,2)=15 mẫu. Đếm các phân bổ có thứ tự sẽ đếm thừa các hạt giống nhau. Các boson không spin trong hai orbital thay vào đó có ba sự chiếm: cả hai trong a, một trong mỗi, cả hai trong b. Các đếm này giả định không có hạn chế năng lượng thêm và các trạng thái đơn hạt khả dụng đã nêu; hạn chế tổng năng lượng hoặc chiếu spin sẽ thay đổi tập con được cho phép.

Một trạng thái không gian phản đối xứng thỏa mãn Ψ_−(x,x)=0, nên mật độ vị trí liên hợp của nó biến mất trên đường trùng hợp. Một trạng thái không gian đối xứng không nhất thiết phải biến mất tại đó. Sự khác biệt xuất phát từ sự giao thoa giữa các biên độ trao đổi, ngay cả đối với các hạt không tương tác; đây không phải là lực đẩy cổ điển được áp đặt riêng biệt. Đối với giếng có chiều dài L, chọn a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Tại x₁=L/4 và x₂=3L/4, biên độ không gian phản đối xứng là −2/L và mật độ của nó là 4/L²; biên độ đối xứng là không. Đây là các mật độ xác suất liên hợp trên hai độ dài, không phải là xác suất vô chiều tại các điểm chính xác. Tương thích spin vật lý vẫn quyết định trạng thái điện tử tổng hợp nào sử dụng mỗi tổ hợp không gian.

Đối với các orbital khác nhau trực giao a và b, các trạng thái không gian đối xứng và phản đối xứng là

Một trạng thái tổng hợp hai electron phải là phản đối xứng dưới sự trao đổi đồng thời vị trí và spin. Vì vậy, không gian đối xứng ghép với trạng thái đơn spin; không gian phản đối xứng ghép với bộ ba spin. Nếu cả hai electron đều chiếm a, tích không gian là đối xứng và chỉ cho phép spin đơn. Công thức chuẩn hóa orbital khác nhau không thể đơn giản được tái sử dụng cho a = b.

Hoán vị tất cả các đối số không gian và spin. Đừng nhầm lẫn không gian phản đối xứng với trạng thái tổng hợp phản đối xứng, hoặc sử dụng hệ số √2 orbital khác nhau cho hai orbital giống nhau.

trạng thái đơn spin: Trạng thái hai spin-1/2 phản đối xứng với tổng spin S=0.

H determinante Slater: Cấu trúc fermion phản đối xứng từ các trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh; các trạng thái trùng lặp khiến nó biến mất.