QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

Sự dịch chuyển năng lượng bậc nhất bằng không có thể tồn tại song song với việc thay đổi trạng thái và sự dịch chuyển bậc cao khác không.

Kiến thức nền tảng: 5, 24.

• Tính toán sự dịch chuyển năng lượng bậc nhất không suy biến như các giá trị kỳ vọng chuẩn hóa
• Sử dụng tính đối xứng và ma trận phần tử để đánh giá giới hạn tương tác yếu
• Chéo hóa nhiễu loạn bên trong một không gian suy biến chính xác

Giả sử H=H₀+λW, trong đó λ là một tham số không thứ nguyên nhỏ và các trạng thái riêng của H₀ đã biết và được chuẩn hóa. Đối với mức năng lượng không suy biến n, sự điều chỉnh năng lượng bậc nhất là λ⟨n|W|n⟩. Trong không gian vị trí, đối với thế nhân với hàm sóng, điều này là λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx với tích phân trên miền cho phép. Giá trị thế tại một điểm không phải là giá trị kỳ vọng; mật độ xác suất của trạng thái sẽ trọng số hóa toàn bộ miền. Đối với hố vô hạn 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Phản xạ qua tâm làm ⟨x⟩=L/2, do đó thế yếu thêm γx có độ dịch chuyển γL/2 cho mọi mức hố không suy biến ở bậc nhất. γ có đơn vị là năng lượng trên chiều dài.

Đối với sự nhiễu loạn lẻ so với tâm, chẳng hạn như γ(x−L/2), mật độ xác suất của trạng thái riêng hố chưa bị nhiễu là chẵn, nên giá trị kỳ vọng chéo bằng không. Thay vào đó, sự nhiễu loạn bậc hai có tâm η(x−L/2)² sẽ tạo ra độ dịch chuyển ηL²[1/12−1/(2π²n²)], mang giá trị dương khi η>0 và phụ thuộc vào n. Tính chẵn lẻ chỉ khiến tích phân bậc nhất bằng không đối với trạng thái và đối xứng toán tử cụ thể đó. Các phần tử ma trận ngoài đường chéo vẫn có thể thay đổi hàm sóng. Đừng biến sự triệt tiêu đối xứng thành tuyên bố rằng mọi sự điều chỉnh năng lượng đều bằng không hoặc trạng thái ban đầu vẫn chính xác.

Đối với trạng thái không suy biến, thành phần đóng góp chủ yếu từ trạng thái chưa nhiễu m khác tỷ lệ thuận với λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Do đó, điều kiện nhỏ có ý nghĩa cần so sánh các phần tử ma trận coupling với các khoảng cách mức năng lượng liên quan, chứ không chỉ so với mức năng lượng tuyệt đối tùy ý. Ở bậc hai, sự điều chỉnh năng lượng chứa Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Đối với trạng thái không suy biến thấp nhất, tất cả các mẫu số này đều âm, nên sự điều chỉnh bậc hai không dương trong mô hình này. Gần một mức suy biến, mẫu số nhỏ làm phá vỡ khai triển không suy biến; hãy sử dụng không gian con ghép nối thay vì chia cho không.

Nếu một mức của H₀ hoàn toàn suy biến, hãy chọn một cơ sở trực chuẩn hóa trong không gian con đó và xây dựng ma trận Hermitian của sự nhiễu loạn tại đó. Các giá trị riêng của nó là các độ dịch chuyển năng lượng bậc nhất, và các vector riêng xác định các tổ hợp làm chéo hóa sự tách mức dẫn đầu. Đối với không gian con hai trạng thái với nhiễu ε[[2,1],[1,2]], các tổ hợp đối xứng và phản đối xứng chuẩn hóa có độ dịch chuyển 3ε và ε. Đọc chỉ hai phần tử chéo sẽ dự đoán sai hai độ dịch chuyển là 2ε. Một bội số vô hướng chung của ma trận đơn vị sẽ dịch chuyển cả hai trạng thái bằng nhau và không tách mức suy biến của chúng; các coupling ngoài không gian con có thể quan trọng ở bậc cao hơn.

Một không gian con suy biến yêu cầu chéo hóa ma trận trước khi tính các độ dịch chuyển bậc nhất. Giả sử sự nhiễu loạn giới hạn trong hai trạng thái là $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Các độ dịch chuyển là epsilon và 3 epsilon. Các trạng thái chuẩn hóa là $(1,-1)/\sqrt2$ và $(1,1)/\sqrt2$. Đọc chỉ các phần tử chéo sẽ bỏ sót sự tách mức. Các coupling đến các mức khác phải giữ yếu so với khoảng cách năng lượng của chúng.

Sử dụng trọng số trạng thái chuẩn hóa, giữ nguyên đơn vị nhiễu loạn và chéo hóa khối suy biến. Sự triệt tiêu bậc nhất và bất biến chính xác là hai tuyên bố khác nhau.

độ dịch chuyển năng lượng bậc nhất: Sự điều chỉnh nhiễu loạn yếu dẫn đầu được cho bởi giá trị kỳ vọng của trạng thái chưa nhiễu.

lý thuyết nhiễu loạn suy biến: Phương pháp trước hết chéo hóa sự nhiễu loạn trong một không gian con suy biến chưa nhiễu.