TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

36.1

Số chiếm chỗ lượng tử và giới hạn phân bổ đều

Một mức năng lượng fermion có thể chứa nhiều hạt khi nó chứa nhiều trạng thái riêng biệt; quy tắc loại trừ áp dụng cho từng trạng thái hoàn chỉnh.

Điều kiện tiên quyết: 20, 35, 38.

Tính toán số chiếm chỗ trung bình cho từng trạng thái lượng tử hoàn chỉnh đối với fermion và boson
Đếm các số chiếm chỗ hạt giống nhau được phép và xác định giới hạn loãng cổ điển
So sánh nhiệt dung chế độ bậc hai cổ điển với đáp ứng bộ dao động lượng tử

36.2

Gán số chiếm chỗ cho trạng thái hoàn chỉnh

Đối với các hạt không tương tác trong cân bằng nhiệt và trao đổi hạt, sử dụng thế hóa học μ và x=(ε−μ)/(kBT). Số chiếm đóng trung bình của một trạng thái hoàn chỉnh là n_F=1/(e^x+1) đối với fermion và n_B=1/(e^x−1) đối với boson. Số chiếm đóng fermion của trạng thái đó chỉ có thể là 0 hoặc 1; giá trị trung bình nằm giữa hai giá trị này. Số chiếm đóng boson có thể vượt quá một. Một mức suy biến g có tổng số chiếm đóng trung bình bằng g lần số chiếm đóng của một trạng thái đơn khi các trạng thái của nó có cùng năng lượng. Đếm spin như một phần của trạng thái hoàn chỉnh. Mẫu thức Bose yêu cầu ε>μ để có biểu thức hữu hạn thông thường, trong khi giới hạn trạng thái cơ bản được xử lý riêng biệt. Đối với photon cân bằng, μ=0 vì số lượng photon không được bảo toàn; không đặt μ=0 cho mọi khí hạt vật chất.

36.3

Đếm cấu hình không phân biệt được

Đếm các mô hình phân bố thay vì gán nhãn cho các hạt giống hệt nhau. Hai fermion giống hệt nhau phân bổ trong bốn trạng thái hoàn chỉnh khác nhau có 4,2=6 mô hình cho phép. Hai boson giống hệt nhau trong các trạng thái này có 4+2−1,2=10 mô hình vì cả hai có thể cùng chia sẻ một trạng thái. Hai hạt có thể phân biệt được sẽ có 4²=16 cách gán. Đây là các mô hình đếm khác nhau, không phải ba đáp án hoán đổi cho cùng một yêu cầu. Nếu câu hỏi cung cấp suy biến spin, trước tiên hãy quyết định xem con số đã cho đếm trạng thái hoàn chỉnh hay chỉ mức orbital. Quy tắc loại trừ Pauli đối với hai trạng thái hoàn chỉnh giống hệt nhau không cấm fermion spin ngược trong cùng một orbital không gian.

36.4

Kiểm tra xấp xỉ loãng

Khi x lớn và dương, độ chiếm chỗ nhỏ và cả hai mẫu số đều bị chi phối bởi e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), giới hạn loãng Maxwell–Boltzmann. Tại x=ln4, giá trị trung bình lần lượt là 1/5 cho fermion, 1/3 cho boson và 1/4 trong xấp xỉ cổ điển; sự chênh lệch vẫn đáng kể. Số lượng hạt tổng hợp lớn đơn thuần không biện minh cho thống kê cổ điển: mật độ, nhiệt độ và trạng thái khả dụng kiểm soát độ chiếm chỗ. Đối với fermion ở nhiệt độ thấp, các trạng thái dưới μ trở nên gần như bị chiếm đầy và các trạng thái trên gần như trống rỗng. Tại ε=μ, một trạng thái fermion có giá trị trung bình bằng một nửa; nếu thay giá trị đó vào công thức Bose thông thường thì sẽ tạo ra mẫu số phân kỳ và đòi hỏi xử lý giới hạn riêng.

36.5

Kiểm tra chế độ lượng tử so với cổ điển

Nguyên lý phân bổ đều cổ điển gán kBT/2 năng lượng trung bình cho mỗi hạng tử bậc hai độc lập trong Hamiltonian cân bằng. Khí lý tưởng đơn nguyên tử có ba hạng tử dịch chuyển, cho U=3NkBT/2 và C_V=3NkB/2. Một bộ dao động điều hòa một chiều cổ điển có hạng tử động năng và thế năng, cho năng lượng trung bình là kBT và C=kB. Đối với bộ dao động lượng tử có khoảng cách cố định ε=$\hbar$ω, năng lượng nhiệt vượt trên điểm không phụ thuộc nhiệt độ của nó là ε/(e^x−1), lúc này x=ε/(kBT), và C/kB=x²e^x/(e^x−1)². Ở nhiệt độ cao, nó tiến tới giá trị cổ điển; ở nhiệt độ thấp, kích thích đóng băng và C→0. Năng lượng điểm không ε/2 làm thay đổi U nhưng không làm thay đổi C. Các đóng góp quay/vibrational của phân tử cũng cần kiểm tra thang năng lượng của chúng trước khi gán các hạng tử bậc hai cổ điển.

36.6

Phương pháp giải mẫu

Số độ chiếm chỗ (occupation number) đề cập đến một trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh. Đối với $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

$$\bar n_F=(e^x+1)^{-1}=1/5,\qquad \bar n_B=(e^x-1)^{-1}=1/3.$$

Xấp xỉ loãng cổ điển cho $e^{-x}=1/4$; nó không chính xác trong trường hợp này. Một mức suy biến g có tổng độ chiếm chỗ trung bình là $g\bar n$, do đó một mức fermion có thể chứa nhiều hơn một hạt trong khi mỗi trạng thái hoàn chỉnh vẫn tuân theo quy tắc loại trừ. hơn một hạt trong khi mỗi trạng thái hoàn chỉnh vẫn tuân theo nguyên lý loại trừ.

Trái: Số chiếm đóng Fermi–Dirac, Bose–Einstein và cổ điển theo (ε − μ)/kT. Phải: Nhiệt dung dao động tử lượng tử và cổ điển — Cả ba phân phối đều hội tụ khi (ε − μ) ≫ kT; nhiệt dung lượng tử bị đóng băng ở nhiệt độ thấp

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/	số chiếm trung bình
equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/	phân bổ đều năng lượng
Occupation number/ˌɒkjʊˈpeɪʃn ˈnʌmbə/	Số chiếm chỗ

36.7

Kiểm tra điều kiện và thuật ngữ

Loại bỏ hai fermion khỏi một trạng thái hoàn chỉnh, không phải khỏi toàn bộ mức năng lượng suy biến. Nêu rõ x nào được sử dụng; các tỷ lệ chiếm chỗ hóa thế và các công thức kích thích bộ dao động cố định là các mô hình khác nhau.

độ chiếm chỗ trung bình: Giá trị ensemble trung bình của số hạt trong một trạng thái lượng tử hoàn chỉnh hoặc một nhóm trạng thái xác định.

phân bổ đều: Quy tắc cân bằng cổ điển gán kBT/2 cho mỗi hạng tử Hamiltonian bậc hai độc lập.