CM.6 · Fluid continuity, pressure energy and viscous flow

Một ống nhỏ mang cùng lưu lượng ổn định như một ống lớn, nhưng hành vi áp suất của nó phụ thuộc vào cả tốc độ và tổn thất nhớt.

Tiền đề: 10, 47.

• Kết hợp bảo toàn không nén được với áp suất, thế năng và động năng
• Áp dụng các hệ thức thủy tĩnh và Bernoulli chỉ trong điều kiện được nêu rõ
• Sử dụng độ nhớt, tỷ lệ Poiseuille và số Reynolds để phân biệt các chế độ dòng chảy

Đối với dòng chảy ổn định, khối lượng chất lỏng đi qua các mặt cắt liên tiếp trong một đơn vị thời gian là bằng nhau: ρAv là hằng số. Chất lỏng không nén được có ρ gần như không đổi, do đó Q=Av là lưu lượng thể tích. Khi bán kính ống giảm một nửa, diện tích giảm bốn lần và tốc độ trung bình tăng gấp bốn lần để giữ nguyên Q. Áp suất không xác định được Q nếu không có mô hình về phần còn lại của hệ thống. Trong chất lỏng đứng yên, dp/dz=−ρg với z hướng lên trên; do đó áp suất tăng thêm ρgh tại khoảng cách h bên dưới bề mặt. Sử dụng áp suất tuyệt đối hoặc áp suất tương đối nhất quán ở cả hai vế.

Đối với chuyển động ổn định, không nén được, không nhớt dọc theo một đường streamline mà không có bơm hay tổn thất tiêu tán, phương trình Bernoulli cho p+ρv²/2+ρgz=hằng số. Ba số hạng này là năng lượng trên một đơn vị thể tích và có đơn vị áp suất. Ở cùng độ cao, tốc độ lớn hơn yêu cầu áp suất tĩnh nhỏ hơn dưới những giả thiết này. Đầu ra cao hơn cũng sử dụng năng lượng áp suất/động năng để đạt được thế năng trọng trường. Phương trình Bernoulli dọc theo một đường streamline không nhất thiết dẫn đến cùng hằng số trên các đường streamline khác trong dòng xoáy. Điểm dừng (stagnation point) có v=0 và chuyển hóa năng lượng vận tốc cục bộ thành sự gia tăng áp suất trong mô hình lý tưởng.

Độ nhớt vận chuyển động lượng giữa các lớp chất lỏng lân cận. Đối với dòng chảy laminar phát triển đầy đủ ổn định của chất lỏng Newton không nén được trong ống tròn, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Ở đây Δp là độ sụt áp suất dọc theo ống, η là độ nhớt động lực và L là chiều dài ống. Khi gấp đôi bán kính ở Δp, η và L không đổi, Q tăng lên 16 lần. Khi gấp đôi Q ở hình học không đổi cần gấp đôi độ sụt áp suất. Tổn thất áp suất nhớt này không thể cộng trực tiếp vào phương trình Bernoulli không tổn thất như thể không có gì thay đổi; hãy bao gồm tổn thất áp suất/tốc đầu tiêu tán hoặc sử dụng mô hình nhớt.

Số Reynolds Re=ρvD/η so sánh ảnh hưởng quán tính và nhớt dựa trên tốc độ đặc trưng v và kích thước D. Đối với ống, hãy sử dụng tốc độ trung bình và đường kính bên trong, không phải bán kính. Re không thứ nguyên: mật độ nhân với tốc độ nhân với kích thước có cùng đơn vị với độ nhớt động lực. Re nhỏ ủng hộ sự chi phối của nhớt; quá trình chuyển sang dòng chảy rối phụ thuộc vào hình học và nhiễu loạn, vì vậy một ngưỡng đơn lẻ không phải là quy luật phổ quát. Tỷ lệ Poiseuille không an toàn sau khi đã giả định dòng chảy rối. Hãy kiểm tra bảo toàn lưu lượng, dấu của sự thay đổi áp suất và chế độ dòng chảy trước khi chọn công thức.

Dòng chảy lý tưởng ngang, ổn định và không nén được có các tiết diện 4 và 1 cm². Tại tiết diện đầu tiên, tốc độ là 1 m/s. Bảo toàn lưu lượng và Bernoulli cho

Phương trình liên tục giữ cho Q không đổi trong một ống dẫn ổn định; Poiseuille so sánh Q giữa các hệ thống khác nhau ở mức độ giảm áp suất xác định. Hãy nêu rõ những đại lượng nào được giữ cố định trước khi so sánh lũy thừa của bán kính.

lưu lượng thể tích: Thể tích chất lưu đi qua một tiết diện trong một đơn vị thời gian, Q=Av với v là tốc độ trung bình.

hệ số nhớt động lực: Hệ số liên hệ giữa ứng suất cắt và gradient vận tốc trong chất lưu Newton.