CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

Một người đứng yên trên bệ quay cần một lực thực hướng vào tâm, mặc dù gia tốc tương đối của họ so với bệ bằng không.

Kiến thức nền tảng: 26.

• Biến đổi gia tốc theo các thành phần hệ quy chiếu tịnh tiến và quay
• Xác định phương của ly tâm, Coriolis và Euler từ tích có hướng
• Phân biệt các lực ảo với các tương tác thực và kiểm tra giới hạn quán tính

Trong hệ quy chiếu tịnh tiến có gia tốc gốc A, phương trình Newton trở thành m a′=F_real−mA. Thang máy gia tốc lên trên do đó có N−mg=ma trong hệ quy chiếu mặt đất, hoặc N−mg−ma=0 cho hành khách đứng yên trong thang máy theo hệ quy chiếu thang máy. Hai kết quả này là như nhau. Số hạng bổ sung là lực ảo gây ra bởi tọa độ gia tốc đã chọn; nó không phải là tiếp xúc mới với vật thể khác. Chuyển động tịnh tiến đều với A=0 làm thay đổi vận tốc nhưng không cần lực ảo.

Đối với cơ sở quay, việc vi phân một vector sẽ thêm Ω×vào vector đó. Áp dụng hai lần ta được a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Ở đây r và v′ được đo tương đối với gốc chuyển động trong các trục quay của nó; tất cả các vector trong phép tính phải được biểu diễn trong cùng một cơ sở tại cùng một thời điểm. Chuyển ba số hạng quay cuối sang vế lực để thu được Coriolis −2mΩ×v′, ly tâm −mΩ×(Ω×r), và Euler −mΩdot×r. Quay ổn định loại bỏ số hạng Euler, không phải số hạng Coriolis.

Lấy Ω dọc theo +z, bệ quay ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống, và hạt tại r dọc theo +x. Lực ly tâm dọc theo +x với độ lớn mΩ²r. Nếu hạt di chuyển ra ngoài với v′ dọc theo +x, thì Ω×v′ là +y, nên lực Coriolis chỉ về hướng −y. Đảo ngược vận tốc tương đối sẽ đảo ngược Coriolis; giữ v′=0 khiến nó biến mất. Coriolis vuông góc với v′ và không thực hiện công tức thời lên chuyển động tương đối đó. Lực ly tâm hướng ra xa trục quay, không nhất thiết hướng ra xa gốc tọa độ đã chọn trong vị trí ba chiều tùy ý.

Một vật nằm yên trên bệ có a′=v′=0. Với quay ổn định và gốc cố định, lực thực của nó phải là mΩ×(Ω×r), hướng vào tâm, triệt tiêu số hạng ảo hướng ra trong phương trình quay. Nếu quay thay đổi, một lực thực tiếp tuyến cũng phải cân bằng số hạng Euler. Luôn kiểm tra Ω→0 và A→0: chuyển động Newtonian quán tính thông thường phải quay trở lại. Đừng nhầm lẫn yêu cầu hướng vào tâm thực với phản ứng hướng ra ngoài thực được thêm vào trên cùng một vật; các cặp tương tác thuộc về các sơ đồ vật tự do riêng biệt.

Trong hệ quy chiếu quay, lực Coriolis sử dụng vận tốc tương đối.

Đối với m = 2 kg, Omega = 2 rad/s dọc theo z, r = 1 m dọc theo x và v' = 3 m/s dọc theo x, Lực Euler bằng không chỉ vì Omega là hằng số. Đây là các số hạng tọa độ, không phải các tiếp xúc vật lý bổ sung.

Vận tốc tương đối v′ thuộc về số hạng Coriolis. Sử dụng toàn bộ vận tốc quán tính sẽ tính toán quay hai lần.

Lực Coriolis: Lực ảo của hệ quy chiếu quay −2mΩ×v′ gây ra bởi chuyển động tương đối.

lực ly tâm: Lực giả tưởng trong khung quay −mΩ×(Ω×r), hướng ra xa trục quay.