CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

Lực căng của con lắc thay đổi suốt quá trình dao động, nhưng phương trình góc của nó có thể được suy ra mà không cần giải lực căng.

Tiên quyết: 1, 47.

• Deriving chuyển động Euler–Lagrange sau khi áp đặt ràng buộc holonomic
• Sử dụng tọa độ tuần hoàn để xác định động lượng chính tắc bảo toàn
• tuyến tính hóa trạng thái cân bằng ổn định và kiểm tra tần số thu được

Một ràng buộc loại bỏ một tọa độ độc lập trước khi bạn thiết lập năng lượng động. Đối với con lắc có chiều dài cố định, hãy chọn θ từ phương thẳng đứng hướng xuống: x=l sinθ và y=−l cosθ. Vi phân cả hai tọa độ cho ta v²=l²θdot², không phải l² sin²θ θdot². Do đó T=ml²θdot²/2 và V=mgl(1−cosθ), với thế năng bằng 0 tại điểm thấp nhất. Chiều dài cố định là một ràng buộc holonomic: nó là một mối quan hệ giữa các tọa độ và có thể cả thời gian. Ràng buộc vận tốc lăn cần có phân tích riêng; đừng tự động coi mọi ràng buộc đều là sự thay thế tọa độ.

Đối với ràng buộc lý tưởng và hệ thống bảo thường thông thường, phương trình tác dụng cực trị là d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 với L=T−V. Các biến thiên triệt tiêu tại hai đầu mút thời gian. Con lắc cho ∂L/∂θdot=ml²θdot và ∂L/∂θ=−mgl sinθ, nên ml²θddot+mgl sinθ=0. Đạo hàm của động lượng tác động lên mọi thừa số phụ thuộc thời gian: đối với bán kính thay đổi, d(mr²θdot)/dt chứa 2mr rdot θdot. Phương pháp biến phân không có nghĩa là cơ năng được bảo toàn trong hệ thống phụ thuộc thời gian.

Đối với chuyển động tâm phẳng, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Góc θ là tọa độ tuần hoàn vì L không phụ thuộc rõ ràng vào θ, mặc dù L phụ thuộc vào θdot. Động lượng chính tắc pθ=mr²θdot là hằng số. Phương trình bán径向 là m rddot=mrθdot²−dV/dr. Số hạng đầu tiên là một phần của gia tốc tọa độ, không phải là một lực thực mới hướng ra ngoài trong khung quán tính. Sự bảo toàn của pθ làm cho tốc độ góc tăng khi r giảm; tốc độ góc không đổi là một tình huống khác, được điều khiển bởi bên ngoài.

Gần trạng thái cân bằng ổn định q0, khai triển V đến bậc hai và sử dụng quán tính cục bộ không đổi M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Khi đó tần số dịch chuyển nhỏ là sqrt(V″/M). Đối với con lắc sinθ≈θ theo radian, nên ω=sqrt(g/l); phép xấp xỉ yêu cầu biên độ nhỏ. Một V″ âm sẽ dẫn đến mất ổn định, không phải dao động với tần số đo lường được phức. Hãy kiểm tra phương trình phi tuyến đầy đủ trước, sau đó nêu xấp xỉ và so sánh đơn vị: V″/M phải có đơn vị nghịch đảo bình phương thời gian.

Đối với chiều dài con lắc cố định l, sử dụng theta từ phương thẳng đứng hướng xuống: x = l sin theta, y = -l cos theta. Cả hai vận tốc Cartesian đều cho $T=ml^2\dot\theta^2/2$ và $V=mgl(1-\cos\theta)$. Phương trình Euler-Lagrange— là

Chia cho $ml^2$ trước khi tuyến tính hóa: Phép xấp xỉ này sử dụng radian. Biến thiên tại đầu mút triệt tiêu trong suy luận tác dụng cực trị.

Một tọa độ tuần hoàn vắng mặt khỏi chính L; vận tốc của nó chưa hẳn phải vắng mặt. Đừng loại bỏ đạo hàm theo thời gian của thừa số r² đang thay đổi.

ràng buộc holonomic: Một ràng buộc có thể biểu diễn dưới dạng mối quan hệ giữa các tọa độ và có thể cả thời gian.

tọa độ tuần hoàn: Một tọa độ vắng mặt rõ ràng khỏi Lagrangian, với động lượng chính tắc bảo toàn dưới phương trình Euler–Lagrange.