QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Sóng lượng tử có thể phản xạ từ bước thế năng đi xuống ngay cả khi hạt cổ điển không có điểm quay tại đó.

Tiền đề: 5.

• Khớp sóng di chuyển và dòng flux qua các thay đổi thế năng hữu hạn
• Đếm các trạng thái dao điều hòa đẳng hướng suy biến
• Tính tích Pauli và phân biệt phản giao hoán với sự bằng nhau

Đối với thế năng hằng số V và năng lượng E>V, nghiệm không gian là nhân tố di chuyển exp(±ikx), với k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. Tại các bước hữu hạn với cùng khối lượng hạt, hàm sóng và đạo hàm bậc nhất liên tục. Trong bài toán tán xạ tới từ bên trái không có chùm tới từ bên phải, nghiệm xa bên phải chỉ chứa nhân tố di chuyển sang phải Ae^(ikx). Nếu giếng tiềm năng hữu hạn trở về thế năng ngoài ban đầu, số sóng truyền bên ngoài bằng số sóng tới, mặc dù số sóng bên trong khác. Các nghiệm suy giảm mũ mô tả vùng E<V, không phải mọi giếng tiềm năng.

Đối với bước chuyển từ V1 đến V2 với cả hai vùng đều được phép theo cổ điển, viết biên độ tới và phản xạ trong vùng 1 và biên độ truyền qua trong vùng 2. Điều kiện liên tục cho r=(k1−k2)/(k1+k2) và t=2k1/(k1+k2). Xác suất phản xạ là R=|r|²; xác suất truyền qua là T=(k2/k1)|t|² vì dòng xác suất phụ thuộc vào số sóng. Do đó R+T=1 đối với bước chuyển không tiêu hao năng lượng. Không cộng trực tiếp bình phương biên độ truyền qua vào R mà thiếu hệ số dòng. Với k2=3k1, R=1/4 và T=3/4 mặc dù là bước đi xuống.

Dao động đẳng hướng ba chiều tách thành các chế độ x,y,z với số nguyên không âm n_x,n_y,n_z. Năng lượng của nó là (N+3/2)$\hbar$ω, trong đó N=n_x+n_y+n_z. Đối với một hạt đơn lẻ phân biệt được spin-0, độ suy biến không gian là số bộ ba như vậy: (N+1)(N+2)/2. Điều này đếm các phân bổ khác nhau, không chỉ các phần chia không thứ tự khác nhau. Với N=2, sáu trạng thái là các hoán vị của (2,0,0) và (1,1,0). Với N=3, độ suy biến là 10. Các ràng buộc spin hoặc hạt giống thêm sẽ làm thay đổi bài toán đếm.

Ma trận Pauli là σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Mỗi ma trận bình phương ra đơn vị. Nhân trực tiếp cho σ_xσ_y=iσ_z và σ_yσ_x=−iσ_z, nên các ma trận Pauli khác nhau phản giao hoán. Tích tuần hoàn x→y→z có i dương; đảo ngược thứ tự thay đổi dấu. Định lý tổng quát là σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Thứ tự ma trận quan trọng: σ_xσ_z=−iσ_y, không phải iσ_y hay chỉ đơn giản là σ_y. Các ma trận không thứ nguyên này trở thành toán tử spin S_i=$\hbar$σ_i/2, thêm đơn vị vật lý và hệ số.

Tại bước thế năng hữu hạn, khớp hàm sóng và đạo hàm cho cùng khối lượng hạt.

Xác suất truyền sử dụng dòng, không chỉ biên độ. Đối với $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Phản xạ xảy ra ngay cả với bước đi xuống. Dấu pha của nó mất đi khi tính xác suất.

Xác suất truyền cần tỷ lệ dòng số sóng. Độ suy biến bộ dao động đếm các bộ ba chế độ có thứ tự. Đừng đảo ngược thứ tự ma trận Pauli mà không thay đổi dấu của nó.

hệ số phản xạ: Tỷ lệ dòng xác suất phản xạ so với dòng tới.

suy biến: Số trạng thái độc lập chia sẻ mức năng lượng đã chỉ định.