RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

Một hạt không ổn định di chuyển nhanh có thể đi xa hơn trong phòng thí nghiệm so với dự đoán từ tuổi thọ ở khung nghỉ nhân với tốc độ của nó.

Kiến thức nền tảng: 6, 42.

• Liên hệ tuổi thọ riêng với thời gian và khoảng cách trong phòng thí nghiệm
• Sử dụng năng lượng–động lượng bất biến và động năng tương đối tính
• Suy ra tốc độ rời xa dọc theo tỷ lệ bước sóng

Đối với tốc độ tương đối v, đặt β=v/c và γ=1/sqrt(1−β²). Thời gian riêng được đo dọc theo đường thế của hạt bởi đồng hồ đứng yên cùng nó. Nếu tuổi thọ trung bình riêng là τ0, thì tuổi thọ trung bình trong phòng thí nghiệm là γτ0 và khoảng cách di chuyển trung bình là vγτ0 với tốc độ không đổi. Sự phân rã mang tính thống kê: tuổi thọ trung bình không phải là thời điểm phân rã đảm bảo cho từng hạt. Tại β=0.8, γ=5/3. Tính toán các sự kiện không-thời gian nhất quán trong một khung; thời gian riêng và thời tọa độ là các đại lượng khác nhau.

Tổng năng lượng là E=γmc², động lượng p=γmv và bất biến E²−p²c²=m²c⁴. Khi E và pc được biểu diễn cùng đơn vị năng lượng, tìm mc²=sqrt(E²−(pc)²), không phải E−pc. Căn bậc hai không âm là bắt buộc để có khối lượng nghỉ dương. Với E=13 GeV và pc=12 GeV, năng lượng nghỉ là 5 GeV và khối lượng là 5 GeV/c². Một hạt không khối lượng có E=pc nhưng không nhất thiết có năng lượng hay động lượng bằng không. Những mối liên hệ này đề cập đến bốn-động lượng của hạt cô lập, không phải mv cổ điển ở tốc độ tương đối tính.

Công thực hiện để tăng tốc một hạt từ trạng thái nghỉ bằng động năng K=E−mc²=(γ−1)mc². Tại β=0.6, γ=1.25 và K=0.25mc², trong khi công thức cổ điển ½mv² cho kết quả 0.18mc². Động năng cổ điển là khai triển tốc độ thấp và trở nên không chính xác gần c. Công tăng tốc hữu hạn làm tăng γ thay vì cho phép hạt có khối lượng đạt hoặc vượt quá c. Khi diễn giải đơn vị của đáp án, cần phân biệt rõ giữa tổng năng lượng, năng lượng nghỉ và động năng.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Tổng năng lượng và động lượng xác định năng lượng nghỉ bất biến.

Đối với E = 17 GeV và pc = 15 GeV, Khối lượng nghỉ là 8 GeV/c². Không trừ trực tiếp động lượng từ năng lượng.

Không sử dụng tuổi thọ riêng làm thời gian phòng thí nghiệm, trừ pc từ E để tìm khối lượng nghỉ, hay áp dụng xấp xỉ Doppler cổ điển cho tỷ số bước sóng lớn.

thời gian riêng: Thời gian được ghi nhận bởi đồng hồ chuyển động cùng vật thể dọc theo đường thế giới của nó.

năng lượng nghỉ: Năng lượng mc² liên quan đến khối lượng nghỉ của vật thể.