LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

GRE Subject Test · GRE Physics · Chủ đề 21

21.1

Thống kê đếm, bất định và mô hình chiều dimension

Một máy dò có hiệu suất mười phần trăm không ghi nhận đúng mười photon từ mỗi trăm photon tới. Số đếm dao động ngay cả khi hiệu suất ổn định.

Tiền đề: 47.

Sử dụng trung bình và dao động đếm theo phân phối nhị thức và Poisson
Truyền sai số nhỏ với các giả thuyết tương quan đã nêu
Giải ràng buộc mũ chiều dimension và kiểm tra đơn vị của mô hình

21.2

Chọn hệ thống và mô hình

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
standard uncertainty/ˈstændəd ʌnˈsɜːtənti/	độ bất định chuẩn
Poisson approximation/ˈpwɑːsən əprɒksɪˈmeɪʃn/	xấp xỉ Poisson

21.3

Sử dụng quan hệ chi phối

Đối với một hàm đo trơn y(x1,…), tuyến tính hóa các thay đổi thông qua các đạo hàm riêng. Các bất định chuẩn độc lập kết hợp theo quy tắc cộng bình phương: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Các đầu vào tương quan đòi hỏi các số hạng chéo hiệp phương sai. Đối với y=x^a, bất định chuẩn tương đối xấp xỉ |a|σ_x/|x|. Do đó, động năng K=½mv² với bất định khối lượng không đáng kể có bất định tương đối gấp đôi so với tốc độ. Với bất định khối lượng độc lập, kết hợp (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Các xấp xỉ này cần sai số nhỏ và một mô hình tuyến tính cục bộ phù hợp.

21.4

Áp dụng các điều kiện

Sự phân tán ngẫu nhiên đo lường độ chính xác; một độ lệch hiệu chuẩn chung ảnh hưởng đến độ chính xác và không biến mất khi lấy trung bình các lần lặp lại. Đối với các lần đọc độc lập, bất định chuẩn của trung bình giảm theo 1/sqrt(n), nhưng sai số hệ thống chung thì không. Bất định của sự phân tán vật lý và bất định của trung bình ước tính của nó là hai đại lượng khác nhau. Hãy nêu rõ phần trăm được trích dẫn là bất định chuẩn, khoảng tin cậy hay giới hạn xấu nhất. Cộng các đóng góp tuyệt đối là một giới hạn thận trọng, không phải quy tắc cộng bình phương sai số tiêu chuẩn độc lập.

21.5

Kiểm tra kết luận

Phân tích chiều dimension tương đương các lũy thừa của khối lượng, độ dài và thời gian, chứ không phải kích thước số. Đối với dạng độ dài Planck G^a $\hbar$^b c^d, các chiều dimension là [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T và [c]=L/T. Yêu cầu về độ dài cho −a+b=0, 3a+2b+d=1 và −2a−b−d=0. Do đó a=b=1/2 và d=−3/2, vậy độ dài là sqrt(G$\hbar$/c³). Phân tích chiều dimension không thể xác định hệ số vô thứ nguyên tùy ý hay chứng minh rằng các hằng số đã chọn là đủ về mặt vật lý. Từ chối một công thức có đơn vị sai trước khi thay số.

21.6

Phương pháp giải mẫu

Đối với các bất định chuẩn độc lập nhỏ trong $K=mv^2/2$, hãy vi phân trước.

$$\left(\frac{\sigma_K}K\right)^2=\left(\frac{\sigma_m}m\right)^2+ \left(2\frac{\sigma_v}v\right)^2.$$

Với độ bất định tương đối 3% về khối lượng và 2% về tốc độ,

$$\sigma_K/K=\sqrt{0.03^2+(2\times0.02)^2}=0.05.$$

Giới hạn trường hợp xấu nhất sẽ sử dụng tổng, không phải phép căn bậc hai này. Các tương quan yêu cầu các số hạng hiệp phương sai.

Binomial distribution for N = 100 and p = 0.20, centred on 20 with the band 16 to 24 shaded — Mean Np = 20, standard deviation √(Np(1 − p)) = 4

21.7

Kiểm tra điều kiện và thuật ngữ

Đừng nhầm lẫn giữa giá trị trung bình số đếm với số đếm đảm bảo, phương sai với độ lệch chuẩn, hoặc sai số chuẩn ngẫu nhiên với độ lệch chuẩn hiệu chỉnh. Tính nhất quán về chiều là cần thiết nhưng chưa đủ.

bất định chuẩn: Bất định được biểu diễn dưới dạng độ lệch chuẩn trong một mô hình đo lường đã nêu.

xấp xỉ Poisson: Mô hình đếm sự kiện độc lập hiếm gặp với phương sai bằng giá trị trung bình của nó.