TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Chủ đề 20

20.1

Phân bố tốc độ và tập hợp thống kê

Một khối khí có thể có vận tốc trung bình bằng không trong khi các hạt của nó có tốc độ trung bình đáng kể. Các hướng đối lập triệt tiêu trong vectơ trung bình; tốc độ không mang dấu.

Tiền đề: 4, 35.

Chuẩn hóa mật độ tốc độ liên tục và giải thích đơn vị của chúng
Phân biệt vectơ trung bình, tốc độ trung bình và tốc độ xác suất nhất
Sử dụng trọng số Boltzmann với bội số và hàm phân bố

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/	mật độ xác suất
partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/	Hàm phân bố
canonical ensemble	Tập hợp chính tắc

20.2

Chọn hệ thống và mô hình

Đối với mật độ xác suất tốc độ liên tục f(v), f(v)dv xấp xỉ xác suất trong khoảng hẹp và ∫from0to∞ f(v)dv=1. Mật độ có đơn vị nghịch đảo tốc độ và bản thân nó không phải là xác suất. Nếu P(v)dv đếm số hạt trong khoảng đó, diện tích của nó là số hạt N và f=P/N. Một hình thang tăng qua độ rộng v0, duy trì phẳng qua độ rộng 2v0, sau đó giảm qua độ rộng v0 có diện tích 3av0 cho chiều cao a. Chuẩn hóa theo diện tích trước khi tính trung bình hoặc diễn giải chiều cao biểu đồ.

20.3

Sử dụng quan hệ chi phối

Trong khí cân bằng đẳng hướng không có dòng chảy tổng thể, mỗi phân bố thành phần vận tốc đều đối xứng, do đó ⟨v_vector⟩=0. Tốc độ v=|v_vector| luôn không âm và có giá trị trung bình dương. Đối với khí lý tưởng cổ điển, mật độ phân bố tốc độ Maxwell tỷ lệ thuận với v²exp[−mv²/(2kBT)]. Mode của nó là sqrt(2kBT/m), giá trị trung bình là sqrt(8kBT/(πm)) và tốc độ hiệu dụng (rms) là sqrt(3kBT/m). Đây là ba đại lượng khác nhau. Yếu tố v² khiến mật độ tốc độ bằng 0 tại v=0, mặc dù mật độ vectơ vận tốc đạt cực đại tại vectơ không.

20.4

Áp dụng các điều kiện

Đối với phân bố liên tục, xác suất để có đúng một tốc độ xác định bằng không; các xác suất khác không chỉ áp dụng cho khoảng giá trị. Phát biểu này không ngụ ý rằng không có hạt nào có tốc độ nhỏ tùy ý, hay rằng máy dò có độ phân giải hữu hạn không thể ghi nhận một cột dữ liệu bằng không. Nhiệt độ thay đổi thang đo của phân bố Maxwell: các tốc độ đặc trưng tỷ lệ thuận với sqrt(T/m). Việc tăng gấp đôi nhiệt độ không làm tăng gấp đôi tốc độ, và các hạt nặng hơn sẽ có tốc độ trung bình thấp hơn ở cùng một nhiệt độ.

20.5

Kiểm tra kết luận

Trong tập hợp chính tắc ở nhiệt độ T, một trạng thái có năng lượng E_i có trọng số exp(−E_i/(kBT)). Chia cho hàm phân chia Z=Σexp(−E_i/(kBT)) để thu được xác suất. Nếu mức năng lượng có suy biến g_i, xác suất của mức năng lượng đó là g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Năng lượng bằng nhau cho mỗi trạng thái không đồng nghĩa với xác suất bằng nhau cho mỗi mức khi độ suy biến khác nhau. Đối với mức cơ bản có suy biến 1 và mức kích thích có suy biến 2 ở khe Δ=kBT ln2, trọng số tổng của mức kích thích là 2e^(−ln2)=1: cả hai mức đều có xác suất 1/2. Các giả thiết Maxwell–Boltzmann cổ điển khác với các trạng thái chiếm đóng Bose–Einstein và Fermi–Dirac lượng tử.

20.6

Phương pháp giải mẫu

Một tập hợp chính tắc có suy biến mức cơ bản là 1 và suy biến mức kích thích là g tại khe Delta.

$$Z=1+g e^{-\Delta/(k_BT)},\qquad P_e=\frac{g e^{-\Delta/(k_BT)}}Z.$$

Với g = 4 và $\Delta=k_BT\ln2$,

$$P_e=\frac{4e^{-\ln2}}{1+4e^{-\ln2}}=\frac23.$$

Đây là xác suất cho toàn bộ mức kích thích. Mỗi trạng thái trong số bốn trạng thái này có xác suất 1/6.

Phân bố tốc độ và các tập hợp thống kê: sơ đồ gốc GRE — Phân bố tốc độ và các tập hợp thống kê: sơ đồ giảng dạy gốc GRE.

20.7

Kiểm tra điều kiện và thuật ngữ

Chiều cao mật độ không phải là xác suất. Vận tốc trung bình, tốc độ trung bình và mốt khác nhau; hãy bao gồm độ suy biến trước khi chuẩn hóa xác suất của các mức.

mật độ xác suất: Xác suất trên một đơn vị của biến liên tục, tích phân của nó cho xác suất của khoảng giá trị.

hàm phân chia: Tổng các trọng số thống kê dùng để chuẩn hóa xác suất các trạng thái cân bằng.