WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Một dạng sóng có thể chứa nhiều thành phần hài hòa nhưng hoàn toàn không có thành phần sin nào. Tính đối xứng phản xạ cho biết những hệ số nào triệt tiêu trước khi tích phân.

Tiền đề: 3, 47.

• Sử dụng tính trực giao để xác định các hệ số Fourier
• Khai thác tính chẵn lẻ mà không loại bỏ hằng số
• Liên hệ biên độ thành phần với sự nhiễu xạ và dạng sóng vật lý

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

Nếu f chẵn đối với gốc tọa độ đã chọn, f(x)sin(nx) là hàm lẻ và tích phân đối xứng bằng không, nên tất cả b_n đều triệt tiêu. Nếu f lẻ, giá trị trung bình và tất cả a_n đều triệt tiêu. Tính đối xứng phụ thuộc vào gốc tọa độ: dịch chuyển cùng một tín hiệu vật lý có thể trộn lẫn các hệ số sin và cosin trong khi giữ nguyên tần số hài của nó. Do đó, một dạng sóng tam giác phi âm đối xứng với x=0 có thể có các hài cosin và giá trị trung bình khác không mà không có hài sin nào.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

Tổng Fourier cộng biên độ kèm theo pha của chúng. Đối với các biên độ đơn sắc đồng bộ A như nhau gặp nhau với độ lệch pha φ, bình phương biên độ kết quả là 2A²(1+cosφ), nên cường độ là 2I0(1+cosφ). Nó đạt 4I0 khi cùng pha và bằng không tại φ=π. Trung bình vô hướng loại bỏ số hạng chéo, tạo ra 2I0. Các hài ở tần số khác nhau có thể tạo thành hình dạng theo thời gian; tổng tức thời của chúng không phải là tổng các cường độ riêng lẻ. Xác định xem câu hỏi liên quan đến dạng sóng, công suất trung bình theo thời gian hay nhiễu xạ đồng bộ.

Đối với hàm chu kỳ thực, sử dụng $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Tính đối xứng chẵn làm cho tất cả các hệ số sin bằng không vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. Đối với $f(x)=|x|$ trên $[-\pi,\pi]$,

Tích phân từng phần cung cấp biểu thức thứ hai. Giá trị trung bình là $a_0/2=\pi/2$; chỉ các hài cosin lẻ còn tồn tại. Điểm nhọn (cusp) không justification cho việc loại bỏ hằng số.

Tính chẵn loại bỏ các hệ số sin, không phải hằng số hay mọi hài cosin. Hãy kiểm tra gốc tọa độ tính chẵn lẻ và tính chất kết hợp của trường trước khi cộng cường độ.

tính trực giao: Một tích phân bằng không của tích các hàm cơ sở khác nhau trên khoảng xác định.

hệ số Fourier: Trọng số của thành phần cơ sở sin, cosin hoặc hằng số trong khai triển chu kỳ.