CM.2 · Rotation, buoyancy and terminal-speed balances

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Chủ đề 11

11.1

Cân bằng quay, lực nâng và tốc độ kết thúc

Lật ngược một khối nổi có thể thay đổi lượng gỗ chìm dưới nước mặc dù tổng trọng lượng vẫn không đổi.

Tiền đề: 10.

Sử dụng mô-men lực tại bản lề và quán tính quay nhất quán
Phân bổ động năng lăn theo ràng buộc không trượt
Cân bằng lực nâng và lực cản đối với vật thể phức hợp

English	Tiếng Việt
moment of inertia/ˈməʊmənt ɒv ɪˈnɜːʃə/	mô men quán tính
terminal speed/ˈtɜːmɪnl spiːd/	vận tốc cuối cùng
no-slip constraint	Ràng buộc không trượt

11.2

Chọn hệ thống và mô hình

Mô-men lực quanh bản lề cố định là r×F; độ lớn của nó sử dụng cánh tay đòn vuông góc. Đối với thanh đồng chất dài L gắn bản lề ở một đầu, trọng lực tác dụng tại tâm L/2 và momen quán tính là ML²/3. Nếu góc θ được đo từ phương thẳng đứng, độ lớn mô-men lực hấp dẫn là Mg(L/2)sinθ, do đó độ lớn gia tốc góc là 3g sinθ/(2L). Xác định hướng quay dương trước khi gán dấu. Sử dụng momen quán tính tâm khối ML²/12 mà không có hiệu chỉnh trục song song sẽ dẫn đến gia tốc sai.

11.3

Sử dụng quan hệ chi phối

Một vật lăn không trượt thỏa mãn v=Rω. Viết động năng toàn phần là ½Mv²+½Iω². Với I=βMR², tỷ lệ quay là β/(1+β); với đĩa đặc β=1/2 và tỷ lệ này là 1/3. Vòng tròn có β=1 và tỷ lệ 1/2. Ma sát tĩnh có thể cung cấp mô-men cần thiết cho chuyển động lăn mà không tiêu tán năng lượng tại điểm tiếp xúc tức thời đứng yên trên bề mặt cố định. Một vật trượt không tự động thỏa mãn quan hệ không trượt.

11.4

Áp dụng các điều kiện

Đối với vật nổi hợp thành, lực đẩy Archimedes bằng trọng lượng chất lỏng bị đẩy, tính tổng qua mọi phần chìm. Cho một khối gỗ có thể tích V và một viên đá nặng có thể tích Vs. Nếu viên đá nằm trên mặt nước, chỉ phần gỗ chìm đóng góp: ρnước g fV bằng tổng trọng lượng. Nếu viên đá được gắn bên dưới và chìm hoàn toàn, thể tích bị đẩy của nó làm giảm phần submerged cần thiết của gỗ xuống còn f−Vs/V. Viên đá không mất đi trọng lượng; giờ đây nước cung cấp một phần nâng đỡ. Kiểm tra xem hướng假定 và sự nổi giả định có khả thi về mặt vật lý hay không.

11.5

Kiểm tra kết luận

Tốc độ cuối cùng có nghĩa là gia tốc bằng không, không phải tốc độ bằng không hay lực bằng không. Với lực cản bậc hai C v² và trọng lực Mg hướng xuống, bỏ qua lực đẩy Archimedes ta có vt=sqrt(Mg/C). Hai quả bóng giống hệt nhau chia sẻ hệ số cản C; nếu tăng gấp đôi khối lượng thì tốc độ cuối cùng tăng lên sqrt(2) lần. Nếu lực đẩy Archimedes đáng kể, thay Mg bằng (M−ρchất lỏng V)g. Mô hình cản tuyến tính sẽ cho quy luật phụ thuộc khối lượng khác. Hãy nêu rõ định luật cản đã cho và so sánh cân bằng lực, thay vì áp dụng công thức từ mô hình này sang mô hình khác.

11.6

Phương pháp giải mẫu

Một vật lăn không trượt trên bề mặt cố định. Điều kiện không trượt là v = R omega.

$$K=\tfrac12Mv^2+\tfrac12I\omega^2=\tfrac12Mv^2(1+\beta),\qquad I=\beta MR^2.$$

Đối với đĩa đặc, beta = 1/2, nên tỷ lệ quay là

$$\frac{K_{rot}}K=\frac\beta{1+\beta}=\frac{1/2}{3/2}=\frac13.$$

Đối với thanh đồng đều gắn trục quay ở một đầu, sử dụng $I=ML^2/3$, không phải momen quán tính tâm khối lượng. Xung quanh trục quay này $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, với theta đo từ phương thẳng đứng hướng xuống.

$$\ddot\theta=\tau/I=-3g\sin\theta/(2L).$$

Quay, lực đẩy Archimedes và cân bằng tốc độ cuối cùng: sơ đồ gốc GRE — Quay, lực đẩy Archimedes và cân bằng tốc độ cuối cùng: sơ đồ giảng dạy gốc GRE.

11.7

Kiểm tra điều kiện và thuật ngữ

Sử dụng momen quán tính quanh bản lề đã chọn. Trong hiện tượng nổi, bao gồm cả thể tích bị đẩy của viên đá ngoài trọng lượng của nó. Vận tốc cuối yêu cầu một định luật cản cụ thể.

momen quán tính: Khoảng vuông góc từ trục quay xác định được nhân bình phương theo khối lượng.

tốc độ cuối cùng: Tốc độ ổn định khi các lực opposing cân bằng.