GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

A planet accelerates even when its speed is constant: velocity includes direction.

Prerequisites: 47.

• Apply Newtonian, Lagrangian 拉格朗日量 and Hamiltonian descriptions
• Analyse rotation, central forces and oscillations
• Use conservation laws with their conditions

Newton’s second law is a vector statement. Choose coordinates and identify constraints before components.

Energy conservation applies when work from nonconservative forces is accounted for; momentum conservation needs zero net external impulse.

For small oscillations, linearise around a stable equilibrium. A restoring term proportional to displacement gives harmonic motion.

Lagrange’s equations use L=T−V and generalised coordinates. This undergraduate formalism is distinct from school-level force substitution.

Choose an inertial frame and a coordinate x measured from spring equilibrium. For a conservative spring, the Lagrangian avoids solving constraint forces.

With m = 2.0 kg and k = 18 N/m, Positive stiffness gives stable motion. The units of k/m are inverse seconds squared.

Conservation of kinetic energy does not hold in every collision, even when momentum is conserved.

Lagrangian: Kinetic energy minus potential energy for the standard mechanical system.

angular momentum 角动量: The moment of linear momentum about a reference point.

Điện thế bằng không tại một điểm không đồng nghĩa với điện trường bằng không tại đó.

Kiến thức nền tảng: 13, 14, 15, 29, 30.

• Sử dụng điện thế tĩnh điện, điện trường và định luật Gauss
• Phân tích mạch điện, từ trường và cảm ứng điện từ
• Áp dụng phương trình Maxwell và mối liên hệ sóng điện từ

Điện trường là âm của đạo hàm theo không gian của điện thế. Một giá trị và sự biến thiên không gian là hai đại lượng khác nhau.

Sử dụng định luật Gauss với tính đối xứng. Chỉ biết tổng thông lượng duy nhất không đủ để suy ra điện trường tại mọi điểm trên bề mặt.

Định luật Kirchhoff theo dõi dòng điện và năng lượng trong mạch. Suất điện động cảm ứng tuân theo sự biến thiên từ thông với dấu theo quy tắc Lenz.

Phương trình Maxwell liên kết điện trường và từ trường. Trong chân không, sóng có tỷ lệ E/B = c và mang năng lượng.

Vỏ cầu có bán kính R và điện tích Q phân bố đều. Chọn điện thế bằng không ở vô cực. Tính đối xứng cầu cho phép định luật Gauss xác định trường bên ngoài.

Bên trong, điện tích bao bọc bằng không và tính đối xứng đưa ra E = 0. Tính liên tục mang lại Tiềm năng khác không và không đổi bên trong. Một độ dốc bằng không, chứ không phải giá trị bằng không, mang lại một trường bằng không. Trường theo bán kính có sự biến thiên tại bề mặt mang điện.

Không sử dụng định luật Gauss để khẳng định trường đều trên một bề mặt bất kỳ không đối xứng.

lưu thông: Tích phân bề mặt của thành phần pháp tuyến của trường.

tiềm năng: Năng lượng tiềm năng trên mỗi đơn vị điện tích.

Two individually bright waves can cancel at a point if their phases oppose.

Prerequisites: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analyse wave superposition and interference
• Use diffraction 衍射, polarisation and optical imaging
• Relate phase, frequency and dispersion

Add wave amplitudes, then calculate intensity. Intensity is proportional to squared amplitude for the same medium.

A path difference gives phase difference 相位差 2πΔ/λ. Coherent sources need stable relative phase.

For a single slit, minima satisfy a sin θ=mλ for nonzero integers m. A double slit has a different interference condition.

Geometric optics needs a stated sign convention. Wave effects matter when apertures are comparable to wavelength.

Coherent waves have a stable phase difference. Add amplitudes before squaring.

For equal individual intensities I0 and a path difference of one quarter wavelength, This is neither a maximum nor a minimum. Random relative phase removes the cross term in a long time average; stable coherence 相干性 is a physical condition, not a drawing convention.

The central single-slit maximum is not obtained by setting m=0 in the minima condition.

coherence: A stable phase relationship between waves.

diffraction: Wave spreading and interference caused by an aperture or obstacle.

Hai động cơ có thể tuân theo định luật bảo toàn năng lượng, nhưng chỉ một trong số chúng tuân theo giới hạn entropy về hiệu suất.

Kiến thức nền tảng: 19, 20, 34, 35, 36.

• Áp dụng định luật thứ nhất và thứ hai với quy ước dấu
• Liên kết tập hợp, nhân tử Boltzmann và entropy
• Phân tích khí lý tưởng, động cơ nhiệt và thống kê lượng tử

Phát biểu quy ước dấu của định luật thứ nhất: ΔU=Q−W khi W là công thực hiện bởi hệ.

Đối với động cơ thuận nghịch giữa các bồn chứa, hiệu suất bị giới hạn bởi 1−Tc/Th sử dụng nhiệt độ tuyệt đối.

Trọng số Boltzmann là exp(−E/kT). Xác suất yêu cầu chia cho hàm phân bố.

Phân biệt giả thuyết Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein và Fermi–Dirac. Fermion không thể chiếm cùng một trạng thái đơn hạt giống hệt nhau.

Sử dụng công W do khí thực hiện là dương. Định luật thứ nhất là

Đối với sự giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng, U chỉ phụ thuộc vào T, nên Đối với n = 0.50 mol, T = 300 K và thể tích gấp đôi, Khí giãn nở và nhận nhiệt. Bồn chứa mất đi lượng entropy bằng nhau trong giới hạn thuận nghịch này.

Tỷ lệ nhiệt độ Celsius không được dùng trong công thức hiệu suất Carnot.

entropy: Một đại lượng trạng thái liên quan đến độ bội số và quá trình truyền nhiệt thuận nghịch.

hàm phân bố: Tổng các trọng số thống kê dùng để chuẩn hóa xác suất.

A particle in a box cannot have zero ground-state kinetic energy. Its confinement changes what states are allowed.

Prerequisites: 24, 37, 38, 39.

• Use wavefunctions, operators and measurement probabilities
• Solve standard bound-state models and tunnelling reasoning
• Apply angular momentum, spin and atomic spectral principles

A state wavefunction 波函数 must satisfy the model’s boundary conditions and have total probability one: integrate |ψ(x)|² over the allowed domain. For orthonormal states φ_j, a superposition ψ=Σc_jφ_j has norm squared Σ|c_j|² because the cross terms integrate to zero. Thus an equal superposition of N orthonormal states has coefficient magnitude 1/sqrt(N). The probability of finding one constituent energy is |c_j|², not c_j. Relative phases may affect position probabilities even when energy probabilities are unchanged.

An observable is represented by a Hermitian operator 算符. Its eigenvalues are real, and a normalised state gives expectation value ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. The expectation is an average over repeated preparations, not necessarily the result of one measurement. If A satisfies a polynomial identity, apply it to an eigenstate: for A⁴=I, a real eigenvalue must be +1 or −1. A complex fourth root is excluded by Hermiticity even though it solves the polynomial.

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

Operators commute when [A,B]=AB−BA=0; compatible observables can have a common eigenbasis. Since kinetic energy p²/(2m) is a function of p, it commutes with p. A position-dependent potential generally makes H=p²/(2m)+V(x) fail to commute with p. Angular momentum obeys [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z and cyclic permutations, while J² commutes with each component. Atomic transitions exchange positive photon energy equal to a level difference; angular momentum and mechanism-specific selection rules restrict which transitions occur.

An infinite well extends from 0 to L. Vanishing wavefunction at both ends gives

Prepare $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Orthogonality makes its norm one. Energy measurements give E1 or 4E1 with equal probability: This average is not an allowed single energy result. The relative phase changes in time, so a superposition of different energies is not a stationary state.

A stationary state can have a nonzero energy even though its probability density is time-independent.

normalisation 归一化: Making total probability equal to one.

operator: A mathematical action representing an observable.

Một thiết bị đo chính xác có thể cho kết quả sai nhất quán khi độ hiệu chuẩn bị lệch.

Tiền đề: 21, 22, 42, 43, 44.

• Áp dụng các hệ thức năng lượng và không-thời gian của thuyết tương đối đặc biệt
• Lan truyền bất định đo lường và phân tích dữ liệu thực nghiệm
• Nhận biết các khái niệm hạt nhân, hạt cơ bản, vật chất rắn và thiên văn vật lý

Thuyết tương đối đặc biệt sử dụng γ=1/sqrt(1−v²/c²). Năng lượng nghỉ là mc² và năng lượng toàn phần là γmc².

Đối với các bất định độc lập nhỏ, kết hợp các đóng góp theo bình phương; các bất định tương quan yêu cầu các số hạng hiệp phương sai.

Sự phân tán ngẫu nhiên ảnh hưởng đến độ chính xác; độ lệch hiệu chuẩn ảnh hưởng đến độ đúng. Biểu đồ logarit có thể tiết lộ quy luật lũy thừa.

Các câu hỏi về vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, vật chất rắn và thiên văn vật lý đòi hỏi từ vựng và mô hình trình độ đại học. Vật lý trường phổ thông đơn thuần không phải là khóa học chuẩn bị đầy đủ.

Thời gian riêng được đo giữa các sự kiện tại cùng một vị trí trong một khung tham chiếu. Đối với vận tốc hạt 0.60c,

Nếu thời gian sống trung bình riêng của nó là 4.0 microgiây, Thời gian sống là giá trị trung bình của một phân phối; nó không dự đoán thời gian phân rã của một hạt cụ thể.

Cộng các sai số phần trăm theo cách tuyến tính sẽ cho ra giới hạn xấu nhất, chứ không phải là sai số thống kê độc lập tiêu chuẩn.

độ chính xác: Sự gần gũi của các phép đo lặp lại với nhau.

covariance: Độ hiệp phương sai: thước đo sự biến thiên đồng thời, dùng để đánh giá các bất định có tương quan.

Không phải mọi hiệu năng lượng nào cũng tạo ra một vạch điện từ cực mạnh.

Tiền đề cần thiết: 23, 40, 41.

• Liên kết mức năng lượng nguyên tử với các vạch quang phổ
• Áp dụng các số lượng tử mô men góc
• Phân biệt các chuyển tiếp điện từ cực được phép và bị cấm

Đối với các ion một electron giống hydro, mức năng lượng liên kết tỷ lệ thuận với −13.6 Z²/n² eV trong mô hình phi tương đối tính đơn giản nhất. Sự phát xạ đòi hỏi một chuyển tiếp xuống và năng lượng photon dương.

Mô men góc quỹ đạo có l=0,…,n−1 và m_l=−l,…,l. Spin electron thêm s=1/2; tổng mô men góc kết hợp các đóng góp của quỹ đạo và spin.

Quy tắc chọn lọc điện từ cực bao gồm Δl=±1 và Δm=0,±1. Các quy tắc này áp dụng cho một cơ chế chuyển tiếp cụ thể; bị cấm không có nghĩa là không thể xảy ra theo mọi cơ chế.

Cấu trúc tinh vi, hiệu ứng spin-quỹ đạo và sự tách Zeeman làm tinh chỉnh bức tranh hydro đơn giản nhất. Trong các nguyên tử nhiều electron, hiệu ứng chắn và tương tác giữa các electron làm vô hiệu hóa việc thay thế trực tiếp năng lượng hydro.

Đối với một ion một electron phi tương đối tính, bỏ qua cấu trúc tinh vi,

Đối với Z = 2, một sự phát xạ từ n = 3 đến n = 2 sẽ tạo ra năng lượng photon dương: Hiệu năng lượng duy nhất không đảm bảo một chuyển tiếp điện từ cực; các trạng thái quỹ đạo tham gia phải thỏa mãn các quy tắc chọn lọc.

Không để cho năng lượng trạng thái cuối trừ đi năng lượng trạng thái đầu thành giá trị âm đối với photon phát ra.

selection rule: Quy tắc chọn lọc: Một hạn chế áp dụng cho các chuyển tiếp trong một cơ chế tương tác xác định.

Zeeman splitting: Sự tách Zeeman: Sự tách các mức năng lượng nguyên tử dưới tác dụng của từ trường.

Độ dẫn điện của chất bán dẫn phụ thuộc vào các trạng thái khả dụng và hạt tải điện, không chỉ dựa trên số lượng electron trong vật liệu.

Tiền đề: 25, 45, 46.

• Sử dụng mô tả vùng năng lượng và hạt tải điện
• Áp dụng ý tưởng về sự phân rã phóng xạ và năng lượng liên kết
• Kiểm tra các định luật bảo toàn trong phản ứng hạt nhân

Các vùng đầy không thể dẫn dòng điện thông thường nếu không có các trạng thái gần đó khả dụng. Kim loại có vùng năng lượng chưa đầy hoặc chồng lên nhau; chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm nhỏ. Sự pha tạp donor và acceptor thay đổi mật độ hạt tải điện.

Hàm phân bố Fermi–Dirac là 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. Ở nhiệt độ tuyệt đối, nó trở thành hàm bậc thang tại mức Fermi; sự mở rộng nhiệt không khiến mọi trạng thái đều có xác suất chiếm chỗ bằng một nửa.

Số lượng hạt phóng xạ tuân theo N=N0e^(−λt), hoạt độ là λN và chu kỳ bán rã là ln2/λ. Năng lượng liên kết xuất phát từ độ thiếu hụt khối lượng nhân với c²; hãy so sánh năng lượng liên kết mỗi nucleon khi thảo luận về tính ổn định.

Các quá trình hạt nhân và hạt cơ bản phải bảo toàn điện tích, năng lượng, động lượng và các số lượng tử áp dụng. Phân rã beta bao gồm neutrino hoặc antineutrino; một câu chuyện chỉ gồm hai hạt electron không thể giải thích phổ năng lượng liên tục của nó.

Năng lượng liên kết là lượng năng lượng dương cần thiết để tách một hạt nhân ra thành các nucleon tự do. Đối với phản ứng, sử dụng tổng khối lượng nghỉ ban đầu và cuối cùng, với quy ước khối lượng nhất quán.

Sự giảm khối lượng 0.0040 đơn vị khối lượng nguyên tử sẽ tạo ra Q dương nghĩa là giải phóng năng lượng. Điện tích, số nucleon, năng lượng và động lượng vẫn phải cân bằng; Q riêng lẻ không xác định được tốc độ phản ứng.

Cả hoạt động và dân số tồn tại đều suy giảm, nhưng đơn vị của chúng khác nhau: hoạt động là số chuyển đổi mỗi giây.

độ rộng vùng cấm: Khoảng năng lượng không có trạng thái điện tử bulk nào khả dụng trong mô hình vùng năng lượng.

chu kỳ bán rã: Thời gian để quần thể phóng xạ giảm đi một nửa.

Energy methods connect a spring oscillator and an orbit, but their coordinates and physical assumptions differ.

Prerequisites: 26, 41.

• Construct a simple Hamiltonian
• Use canonical equations
• Apply gravitational and radiative scaling

The canonical momentum 正则动量 is p=∂L/∂qdot. The Legendre transform H=p qdot−L gives a Hamiltonian when velocities can be expressed using coordinates and momenta.

Hamilton’s equations are qdot=∂H/∂p and pdot=−∂H/∂q. For an ordinary oscillator H=p²/(2m)+kq²/2, these reproduce Newton’s equation.

For a circular gravitational orbit v²=GM/r and period²=4π²r³/(GM). The assumptions include a dominant central mass and a circular approximation; elliptical orbits use the semimajor axis in Kepler’s law. For a circular satellite of mass m, angular momentum magnitude is mrv=m sqrt(GMr), so identical satellites have L proportional to sqrt(r). A radius ratio 9 therefore gives angular-momentum ratio 3, while the period ratio is 27. This distinction follows from the same centripetal-force relation; do not use period scaling for angular momentum.

Luminosity 光度 and received flux obey F=L/(4πd²) for isotropic radiation. A blackbody has L=4πR²σT⁴; its spectral peak shifts inversely with temperature. Distinguish intrinsic luminosity from observed brightness.

For a regular Lagrangian $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, canonical momentum is

Substitute the velocity into the Legendre transform: Combining these gives $\ddot q=-(k/m)q$. The inversion of momentum to velocity is required; it cannot be assumed for every constrained or singular Lagrangian.

A Hamiltonian equals total mechanical energy only under the relevant system assumptions; do not infer this universally from its name.

canonical momentum: The derivative of the Lagrangian with respect to a generalised velocity.

luminosity: Total emitted power, distinct from flux at an observer.

Hai xe đẩy tiến lại từ các hướng khác nhau. Sau khi va chạm dính lại, động lượng của chúng có thể được bảo toàn trong khi động năng giảm.

Điều kiện tiên quyết: 1.

• Tính toán động lượng vectơ và tổn thất năng lượng trong va chạm dính
• So sánh lò xo lực không đổi và sử dụng điều kiện công–năng
• Suy ra chu kỳ dao động nhỏ và năng lượng bộ dao động

Chọn một hệ cô lập trong va chạm ngắn. Với xung ngoại lực bỏ qua, bảo toàn tổng động lượng riêng biệt theo từng trục Cartesian. Nếu khối lượng m1 và m2 dính vào nhau, vận tốc chung của chúng là (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Tìm độ lớn chỉ sau khi cộng các vectơ. Động năng ban đầu là tổng của mỗi ½m|v|²; động năng cuối dùng tổng khối lượng và tốc độ chung. Hiệu số của chúng trở thành nội năng hoặc biến dạng, không phải mất mát động lượng. Va chạm hoàn toàn không đàn hồi có nghĩa là dính vào nhau, không phải dừng lại ở trạng thái cuối.

Định lý công–năng ΔK=∫F·dr sử dụng lực hợp dọc theo độ dịch chuyển. Đối với lực không đổi song song với khoảng cách s, ΔK=Fs. Tốc độ gấp đôi làm tứ phân động năng. Bảo toàn cơ năng là một phát biểu riêng biệt yêu cầu không có công phi bảo toàn nào bị bỏ sót. Tại độ dịch x của lò xo, U=½kx². Dưới cùng một lực tác dụng F, độ giãn cân bằng là F/k và năng lượng lưu trữ là F²/(2k): lò xo cứng hơn sẽ giãn ít hơn và lưu trữ ít năng lượng hơn. Dưới cùng một độ giãn, nó lưu trữ nhiều hơn. Xác định điều kiện nào được giữ cố định.

Gần vị trí cân bằng ổn định x0, khai triển U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; độ cứng hiệu dụng là dương U″(x0). Chuyển động tuân theo m xddot=−k_eff(x−x0), với ω=sqrt(k_eff/m) và chu kỳ 2π/ω. Con lắc đơn tuân theo θddot+(g/L)sinθ=0. Đối với góc nhỏ sinθ≈θ, do đó T=2πsqrt(L/g). xấp xỉ này giải thích tỷ lệ giữa chu kỳ và chiều dài; biên độ lớn đòi hỏi sự hiệu chỉnh, và khối lượng triệt tiêu đối với con lắc lý tưởng.

Đối với bộ dao động điều hòa không tắt dần, tổng năng lượng là ½m v²+½kx²=½kA². Tại vị trí cân bằng, toàn bộ năng lượng là động năng; tại điểm quay ngược, tốc độ bằng không và toàn bộ năng lượng là thế năng. Tần số góc không phải là tần số thông thường: ω=2πf. Nếu bộ dao động có tốc độ cực đại vmax tại cân bằng, thì A=vmax/ω. Phân biệt thời điểm đo tốc độ với độ dịch phóng, và giữ nguyên đơn vị SI khi yêu cầu đáp án tính bằng milijoule.

Hai xe đẩy dính vào nhau với xung ngoại lực bỏ qua. Cộng các vectơ động lượng, sau đó chia cho tổng khối lượng. Dữ liệu đã biết: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

Hiệu 6 J trở thành nội năng. Động năng không được bảo toàn trong trường hợp dính vào nhau.

Không cộng các độ lớn vận tốc đến như động lượng, cũng không bảo toàn động năng trong va chạm dính. So sánh lò xo lực cố định và lò xo độ dãn cố định cho kết quả trái ngược nhau.

xung ngoại lực: Tích phân thời gian của lực hợp từ bên ngoài hệ được chọn.

điểm quay ngược: Vị trí cực đại của bộ dao động mà tại đó tốc độ tức thời bằng không.

Lật ngược một khối nổi có thể thay đổi lượng gỗ chìm dưới nước mặc dù tổng trọng lượng vẫn không đổi.

Tiền đề: 10.

• Sử dụng mô-men lực tại bản lề và quán tính quay nhất quán
• Phân bổ động năng lăn theo ràng buộc không trượt
• Cân bằng lực nâng và lực cản đối với vật thể phức hợp

Mô-men lực quanh bản lề cố định là r×F; độ lớn của nó sử dụng cánh tay đòn vuông góc. Đối với thanh đồng chất dài L gắn bản lề ở một đầu, trọng lực tác dụng tại tâm L/2 và momen quán tính là ML²/3. Nếu góc θ được đo từ phương thẳng đứng, độ lớn mô-men lực hấp dẫn là Mg(L/2)sinθ, do đó độ lớn gia tốc góc là 3g sinθ/(2L). Xác định hướng quay dương trước khi gán dấu. Sử dụng momen quán tính tâm khối ML²/12 mà không có hiệu chỉnh trục song song sẽ dẫn đến gia tốc sai.

Một vật lăn không trượt thỏa mãn v=Rω. Viết động năng toàn phần là ½Mv²+½Iω². Với I=βMR², tỷ lệ quay là β/(1+β); với đĩa đặc β=1/2 và tỷ lệ này là 1/3. Vòng tròn có β=1 và tỷ lệ 1/2. Ma sát tĩnh có thể cung cấp mô-men cần thiết cho chuyển động lăn mà không tiêu tán năng lượng tại điểm tiếp xúc tức thời đứng yên trên bề mặt cố định. Một vật trượt không tự động thỏa mãn quan hệ không trượt.

Đối với vật nổi hợp thành, lực đẩy Archimedes bằng trọng lượng chất lỏng bị đẩy, tính tổng qua mọi phần chìm. Cho một khối gỗ có thể tích V và một viên đá nặng có thể tích Vs. Nếu viên đá nằm trên mặt nước, chỉ phần gỗ chìm đóng góp: ρnước g fV bằng tổng trọng lượng. Nếu viên đá được gắn bên dưới và chìm hoàn toàn, thể tích bị đẩy của nó làm giảm phần submerged cần thiết của gỗ xuống còn f−Vs/V. Viên đá không mất đi trọng lượng; giờ đây nước cung cấp một phần nâng đỡ. Kiểm tra xem hướng假定 và sự nổi giả định có khả thi về mặt vật lý hay không.

Tốc độ cuối cùng có nghĩa là gia tốc bằng không, không phải tốc độ bằng không hay lực bằng không. Với lực cản bậc hai C v² và trọng lực Mg hướng xuống, bỏ qua lực đẩy Archimedes ta có vt=sqrt(Mg/C). Hai quả bóng giống hệt nhau chia sẻ hệ số cản C; nếu tăng gấp đôi khối lượng thì tốc độ cuối cùng tăng lên sqrt(2) lần. Nếu lực đẩy Archimedes đáng kể, thay Mg bằng (M−ρchất lỏng V)g. Mô hình cản tuyến tính sẽ cho quy luật phụ thuộc khối lượng khác. Hãy nêu rõ định luật cản đã cho và so sánh cân bằng lực, thay vì áp dụng công thức từ mô hình này sang mô hình khác.

Một vật lăn không trượt trên bề mặt cố định. Điều kiện không trượt là v = R omega.

Đối với đĩa đặc, beta = 1/2, nên tỷ lệ quay là Đối với thanh đồng đều gắn trục quay ở một đầu, sử dụng $I=ML^2/3$, không phải momen quán tính tâm khối lượng. Xung quanh trục quay này $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, với theta đo từ phương thẳng đứng hướng xuống.

Sử dụng momen quán tính quanh bản lề đã chọn. Trong hiện tượng nổi, bao gồm cả thể tích bị đẩy của viên đá ngoài trọng lượng của nó. Vận tốc cuối yêu cầu một định luật cản cụ thể.

momen quán tính: Khoảng vuông góc từ trục quay xác định được nhân bình phương theo khối lượng.

tốc độ cuối cùng: Tốc độ ổn định khi các lực opposing cân bằng.

A load released from an aircraft keeps the aircraft’s horizontal velocity. Relative to the aircraft, its initial motion can therefore be purely downward.

Prerequisites: 1, 11.

• Solve coupled-body equations using one acceleration constraint 约束
• Transform velocities between inertial frames
• Check force and energy limits for constrained motion

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

The common tension assumption requires an ideal massless string and pulley with negligible friction and inertia. A pulley with rotational inertia can have different tensions, with (T2−T1)R=Iα and a=Rα if the string does not slip. Draw each body separately: a force internal to the combined system remains an external force on one chosen body. Constraint forces can cancel from a system equation while still being needed for individual motion.

For two inertial frames with constant relative velocity 相对速度 V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Check limiting cases after solving. As m1 approaches zero, the ideal coupled acceleration approaches g and tension approaches zero; as m1 grows very large, acceleration approaches zero and tension approaches m2g from below. An energy derivation gives m2g s=½(m1+m2)v² for release from rest and an ideal pulley, agreeing with v²=2as. This agreement checks the equations; it does not permit energy conservation if friction or other unaccounted work is present.

A table mass m1 and hanging mass m2 share an acceleration through a taut ideal string. Choose rightward table motion and downward hanging motion positive.

T is less than the hanging weight 20 N. A nonzero net downward force is needed for acceleration.

A massless ideal pulley equates tension, not tension and weight. Subtract frame velocities component by component before taking a speed magnitude.

constraint: A condition linking allowed positions or motions of connected bodies.

relative velocity: Velocity of one object measured in another moving frame.

A charged conductor can have zero field inside its material while its potential remains nonzero.

Prerequisites: 2, 47.

• Add Coulomb forces as vectors using the actual geometry
• Compute flux from symmetry or solid angle 立体角 with a stated orientation
• Find conductor fields and potentials using induced surface charges

For a point charge Q at position r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Superpose vectors, not field magnitudes. For two positive charges attracting an electron, forces in the same direction add; opposite directions subtract; perpendicular components combine by Pythagoras. Define the observation point and the direction of each force first. Potential is the scalar sum V=ΣQ/(4πε0r) with zero at infinity. A zero potential does not generally mean a zero field, since E=−∇V.

Gauss’s law is the closed-surface integral ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. It determines a local field simply only when symmetry makes the normal field uniform or makes other flux contributions zero. A charge near an infinite plane sends half its total flux through that plane in magnitude: the plane subtends solid angle 2π out of 4π. The result is independent of distance and lateral position, but its sign depends on the chosen plane normal and charge sign. An open plane does not enclose a charge; using closed-surface wording for it is incorrect.

In electrostatic equilibrium 静电平衡, the electric field inside conducting material is zero and the conductor has constant potential. Place a charge Q at the centre of a conducting spherical shell with inner radius a, outer radius b and shell net charge q. A Gaussian surface inside the material requires inner-surface charge −Q, so the outer surface has q+Q. Spherical symmetry makes the external field that of total Q+q at the centre. The material’s potential, zero at infinity, is (Q+q)/(4πε0b), independent of the material observation radius.

In the cavity of that centred-charge shell, the field is Q/(4πε0r²) radially for 0<r<a. Potential includes both the point-charge contribution and constant shell contributions; continuity holds across each surface even though the normal field jumps at a surface charge. Keep cavity, conductor material and exterior separate. An off-centre charge still induces total inner charge −Q, but its cavity field is no longer the simple centred radial field. Zero interior conductor field follows equilibrium, not an assumption that every surface charge distribution is uniform.

A centred point charge Q lies in a conducting spherical shell of net charge q. Electrostatic equilibrium makes the field zero inside the metal. A Gaussian surface in the metal encloses zero net charge, so $Q_{inner}=-Q$. Charge conservation gives $Q_{outer}=q+Q$. With outer radius b and zero potential at infinity,

Here Q = +2 nC and q = -1 nC. The cavity is not conducting material; its field need not vanish.

Do not confuse the open-plane half-flux result with enclosed charge. A conductor’s zero field fixes a constant potential, not necessarily zero potential.

solid angle: Angular area subtended by a surface, measured in steradians.

induced surface charge 感应表面电荷: Charge rearranged on a conductor to satisfy electrostatic equilibrium.

Điện trở nằm trên nhánh song song chịu điện áp của nhánh đó, có thể khác với điện áp nguồn vì còn có điện trở mắc nối tiếp.

Tiền đề: 2, 30.

• Giải các mạng điện trở và phân biệt đại lượng hiệu dụng (rms) từ đại lượng cực đại AC
• Áp dụng liên kết thông lượng, chiều Lenz và từ trường vòng dòng điện
• Sử dụng tỷ số điện tích/khối lượng và cân bằng lực trường chéo

Đối với mạch điện trở lý tưởng ổn định, điện trở nối tiếp cộng lại và độ dẫn song song cộng lại. Rút gọn mạng lưới trong khi vẫn giữ nguyên các nút cùng điện thế. Với nguồn 24 V, điện trở nối tiếp 2 Ω và hai nhánh song song 3 Ω và 6 Ω, điện trở tương đương song song là 2 Ω. Tổng dòng điện là 6 A, điện áp nhánh là 12 V và dòng điện nhánh lần lượt là 4 A và 2 A. Dòng điện qua mỗi thành phần không nhất thiết bằng tổng dòng điện; hãy kiểm tra tổng dòng và tổng điện thế Kirchhoff sau khi rút gọn.

Đối với dòng điện điều hòa I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). Mạch RLC nối tiếp có độ kháng sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) và công suất tiêu tán trung bình Irms²R=Vrms Irms cosφ. Cuộn cảm/tụ điện lý tưởng trao đổi năng lượng lưu trữ mà không tiêu tán trung bình. Nếu dòng hiệu dụng đã cho sẵn, đừng nhân thêm hệ số 1/2. Diode chỉnh lưu lý tưởng dẫn theo chiều thuận và chặn ngược: diode mắc nối tiếp có hướng phù hợp sẽ cắt bỏ nửa chu kỳ âm của điện áp điện trở điều hòa; bản thân nó không tạo ra bộ chỉnh lưu toàn chu kỳ.

Thông lượng từ là ∫B·dA, hoặc BA cosθ đối với từ trường đều với θ đo từ pháp tuyến diện tích. Suất điện động Faraday là −N dΦ/dt. Đối với từ trường vuông góc thay đổi và hình dạng vòng cố định, độ lớn trung bình của nó là NA|ΔB|/Δt. Xác định dấu hoặc chiều dòng điện dựa vào sự phản đối sự thay đổi thông lượng, không phải phản đối chính từ trường. Từ trường tại tâm một vòng tròn đơn là μ0I/(2R), thu được từ Biot–Savart: mỗi yếu tố đóng góp theo cùng một hướng trục. Cuộn dây dày N vòng nhân kết quả này lên N lần.

Đối với điện tích không tương đối tính có vận tốc vuông góc với từ trường đều B, lực từ |q|vB cung cấp lực hướng tâm mv²/r. Do đó r=mv/(|q|B) và tần số góc cyclotron là |q|B/m, độc lập với vận tốc trong xấp xỉ này. Dấu điện tích xác định chiều quay. Deuteron có khối lượng gấp khoảng hai lần proton và cùng điện tích, trong khi hạt alpha có khối lượng gấp bốn lần và điện tích gấp đôi; tần số của chúng mỗi cái bằng một nửa giá trị proton. Trong trường E và B chéo, chuyển động không bị lệch yêu cầu lực điện và lực từ ngược chiều và v=E/B. Hãy kiểm tra hướng vector trước khi sử dụng độ lớn này.

Nguồn lý tưởng 24 V dẫn qua 2 ohm mắc nối tiếp với các nhánh song song 3 và 6 ohm. Xác định các nút trước khi rút gọn mạng lưới.

Nhánh kia mang 4 A; tổng các dòng điện nhánh bằng dòng điện nguồn.

Đừng áp dụng điện áp pin cho mọi nhánh hay chia đôi công suất dòng điện hiệu dụng (rms) thêm lần nữa. Góc thông lượng sử dụng pháp tuyến diện tích; bộ chọn cũng cần các hướng lực đối kháng.

giá trị hiệu dụng: Căn bậc hai của trung bình bình phương, dùng cho dòng điện hoặc điện áp xoay chiều hiệu dụng.

liên kết từ thông: Tổng từ thông qua các vòng dây cuộn.

A charged capacitor can change its electric field across a gap even though no conduction current crosses the gap.

Prerequisites: 13, 29, 47.

• Use displacement current 位移电流 and material wave-speed relations
• Determine wave-field directions and radiated energy flow
• Apply Maxwell boundary conditions without confusing field components

Ampere–Maxwell law in vacuum is ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). The added displacement-current term depends on the time rate of electric flux through the chosen surface. It ensures consistent results for a loop whose spanning surface either crosses a capacitor wire or passes between the plates. Displacement current is not magnetic flux or an integral over earlier electric flux. For a uniform plate field, the gap contribution is ε0A dE/dt; signs follow the oriented surface.

In a homogeneous, linear, lossless dielectric 电介质 with permeability μ and permittivity ε, Maxwell equations give wave speed v=1/sqrt(με) and refractive index n=c/v=sqrt(μrεr). For nonmagnetic material μr≈1, so v=c/sqrt(εr). Use the stated frequency-dependent material constants when dispersion matters; a static dielectric constant need not describe every optical frequency. Vacuum waves have E/B=c; in this simple medium the relation is E/B=v.

For a plane wave travelling along unit vector n, B=(n×E)/v. Both fields are perpendicular to propagation and to each other. Phase kz−ωt propagates toward +z, while kz+ωt propagates toward −z. If E is along x+y and propagation is +z, B is along −x+y, because z×x=y and z×y=−x. The Poynting vector 坡印廷矢量 S=E×H (E×B/μ in this medium) points along energy transport. In the radiation zone of an accelerating charge, energy flux is outward from the source, not necessarily in the instantaneous direction of charge motion.

Maxwell’s divergence equation ∇·B=0 gives continuity of the normal B component across an interface: a thin pillbox has no magnetic charge inside. The tangential H jump is related to surface current; it need not vanish. Under an ideal superconducting Meissner-state model with zero interior B, the exterior normal component at the boundary must therefore be zero, leaving any nonzero exterior B tangent to the surface. This conclusion is conditional on the stated zero-interior model; it does not follow by assuming all exterior field is zero. For electrostatics, normal D can instead jump by free surface charge.

A plane wave travels along positive z in a linear lossless nonmagnetic dielectric. With relative permittivity 9,

If E points along positive x, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ points along positive y. For E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ points along propagation. Check that material constants apply at the wave frequency.

Displacement current uses changing electric flux. Zero interior B fixes the exterior normal component, not every exterior component. Distinguish wave propagation from particle motion.

displacement current: Electric-flux time-derivative contribution in Ampere–Maxwell law.

Poynting vector: Electromagnetic energy flux per unit area and time.

Người lái xe nghe thấy tiếng vọng từ bức tường đứng yên với âm cao thay đổi: cả âm đi ra và âm phản xạ đều chịu tác động của hệ số Doppler.

Kiến thức nền tảng: 3.

• Áp dụng các hệ số Doppler của nguồn và người quan sát trong khung tham chiếu môi trường
• Suy ra tần số ống cho phép từ các điều kiện biên dịch chuyển
• Phân biệt sự thay đổi về tần số, bước sóng và điều kiện biên

Đối với âm thanh trong môi trường đứng yên, tách riêng chuyển động của nguồn khỏi chuyển động của người quan sát. Một nguồn tiến lại với tốc độ u_s làm nén khoảng cách giữa các mặt sóng và tạo ra tần số nhận được f = c/(c−u_s) tại người quan sát đứng yên. Một người quan sát tiến lại nguồn đứng yên với tốc độ u_o sẽ gặp nhiều mặt sóng hơn mỗi giây và đo được f = (c+u_o)/c. Tốc độ được đo tương đối với môi trường; công thức âm học cho nguồn và người quan sát không đối xứng khi hoán đổi vai trò. Chuyển động lùi lại đảo dấu phù hợp. Các biểu thức này giả định chuyển động dưới âm速 dọc theo đường truyền.

Đối với còi di chuyển hướng tới bức tường phản xạ đứng yên với tốc độ u, bức tường đầu tiên nhận được f_wall = fc/(c−u). Sự phản xạ từ bức tường đứng yên giữ nguyên tần số trong khung tham chiếu môi trường. Người lái xe đang di chuyển sau đó tiến đến các mặt sóng phản xạ và nhận được f_echo = f_wall(c+u)/c = f(c+u)/(c−u). Khi u/c nhỏ, độ lệch phân số xấp xỉ 2u/c, nhưng biểu thức chính xác có tử số và mẫu số khác nhau. Bề mặt phản xạ di chuyển cần bước Doppler riêng; không nên áp dụng blindly kết quả của bức tường đứng yên.

Tại đầu ống mở lý tưởng, dịch chuyển không khí là bụng và biến thiên áp suất là nút. Tại đầu kín cứng, dịch chuyển là nút và áp suất là bụng. Đối với hai đầu mở, chiều dài L chứa n nửa bước sóng, cho f_n = nc/(2L), n=1,2,… . Đối với một đầu kín, nó chứa số lẻ phần tư bước sóng, cho f_n = (2n−1)c/(4L). Ống thực tế có thể cần sửa chữa đầu; mô hình GRE lý tưởng sử dụng chiều dài đã nêu mà không thêm điều chỉnh.

Đóng một đầu của ống vốn mở hai đầu sẽ làm giảm một nửa tần số cơ bản ban đầu và chỉ giữ lại các bội số lẻ của tần số cơ bản mới này. Các tần số cũ là bội số nguyên của c/(2L), tức là bội số chẵn của c/(4L), do đó không có tần số nào là tần số cho phép của phổ mới một đầu kín. Điều này khác với việc chỉ xóa bỏ các họa âm chẵn trong khi vẫn giữ nguyên tần số cơ bản cũ. Khi môi trường không đổi, tốc độ sóng không đổi; tần số và bước sóng thay đổi cùng nhau để thỏa mãn hình học điều kiện biên mới.

Một còi tiến lại bức tường đứng yên trong không khí tĩnh. Xử lý hành trình đi và trở lại riêng biệt. Bức tường đầu tiên nhận $f_w=fc/(c-u)$; sự phản xạ giữ nguyên tần số này trong khung tham chiếu môi trường. Người nghe di chuyển sau đó nhận $f_e=f_w(c+u)/c$.

Hiệu ứng Doppler này sử dụng vận tốc tương đối với môi trường. Nó không phải là công thức sóng ánh sáng.

Tiếng vang cần cả hai nhân tố Doppler. Đóng ống sẽ thay đổi âm cơ bản; các bội lẻ được tính từ âm cơ bản mới, không phải âm cơ bản cũ.

bụng dịch chuyển: Vị trí sóng dừng nơi biên độ dịch chuyển không khí đạt cực đại.

Hệ số Doppler: Hệ số nhân tần số tạo ra bởi chuyển động của nguồn hoặc người quan sát xác định.

A gas cell in one arm of a Michelson interferometer 干涉仪 is crossed twice. Counting only one passage halves the inferred refractive-index change.

Prerequisites: 3, 33.

• Calculate telescope magnification and grating resolving power 分辨本领
• Relate Michelson fringe counts to double-pass optical path changes
• Trace surface normals before applying Snell and reflection laws

For an ideal astronomical telescope adjusted for relaxed viewing at infinity, the objective forms its focal-plane image and the eyepiece collimates the emerging light. Lens separation is f_objective+f_eyepiece; angular magnification magnitude is f_objective/f_eyepiece. The usual two-converging-lens telescope produces an inverted image, represented by a negative signed angular magnification under a consistent convention. A finite final-image distance changes lens separation; do not use the infinity adjustment without checking the condition.

Resolving power R=λ/Δλ describes the smallest distinguishable wavelength separation near λ. For an ideal diffraction grating in order m with N illuminated slits, R=mN. This is a resolution criterion, not simply the angular position formula d sinθ=mλ. Increasing illuminated slit count sharpens the principal peaks; increasing slit spacing mainly changes their angular locations. A measured λ=600 nm and Δλ=3 nm gives R=200, independent of converting both lengths to metres because their ratio uses matching units.

Michelson interference depends on the optical path difference between the arms. If one arm contains a gas cell of geometric length L and index changes from n to 1 upon evacuation, a double passage changes path by 2L(n−1). If N fringes pass, the magnitude of this change is Nλ, so n−1=Nλ/(2L). For a moving mirror instead, displacement Δx gives path change 2Δx. Fringes count phase cycles; one fringe is one wavelength of optical path, not one wavelength of mirror motion.

Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

A Michelson interferometer sends light twice through a gas cell of length L. Evacuation changes path by $2L(n-1)$. N fringes correspond to path change $N\lambda$.

Thus n = 1.00030. Moving a mirror is also double-pass; a fringe is not one wavelength of mirror motion.

Use optical path, not just geometric distance. Refraction angles are measured from the normal of the actual surface, and telescope focal-length addition assumes a final image at infinity.

resolving power: Wavelength divided by the smallest resolvable wavelength separation.

optical path length 光程: Geometric path weighted by refractive index along the ray.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

Tủ lạnh có thể di chuyển nhiều nhiệt hơn cả công được cung cấp cho nó. Tỷ lệ này là hệ số hiệu suất, không phải hiệu suất phải nhỏ hơn một.

Tiền đề: 4.

• Áp dụng quy ước dấu công và nhiệt theo định luật I cho quá trình khí
• So sánh cân bằng entropy thuận nghịch và diện tích chu trình P–V
• Phân biệt hiệu suất động cơ với hệ số hiệu năng của máy lạnh

Sử dụng ΔU=Q−W, trong đó Q là nhiệt lượng đi vào hệ và W là công do hệ thực hiện. Công biên quasi-dừng là ∫P dV, dương khi giãn nở. Đối với một lượng khí lý tưởng xác định, nội năng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ. Ở thể tích không đổi W=0, nên ΔU=Q; đối với quá trình đẳng nhiệt của khí lý tưởng ΔU=0, nên Q=W. Quá trình cách nhiệt có nghĩa là Q=0, không phải nhiệt độ không đổi. Trong suốt một chu trình, trạng thái quay về ban đầu và ΔU=0, nên tổng nhiệt bằng tổng công ngay cả khi các giai đoạn riêng lẻ có sự truyền nhiệt khác nhau.

Đối với quá trình giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng, PV là hằng số. Với nhiệt dung riêng không đổi, đường đi cách nhiệt thuận nghịch tuân theo PV^γ=hằng số, với γ=Cp/Cv>1; đi qua cùng trạng thái ban đầu thì áp suất giảm nhanh hơn khi thể tích tăng. Đường đẳng áp nằm ngang trên biểu đồ P–V. Một chu trình kín chiều kim đồng hồ có ∮P dV dương; đảo ngược chiều sẽ thay đổi dấu. Đối với vòng chữ nhật, độ lớn là ΔPΔV, và vòng tam giác có diện tích bằng một nửa diện tích hình chữ nhật bao quanh tương ứng. Sử dụng Pa và m³ để tính joule, không dùng giá trị lít chưa chuyển đổi.

Đối với quá trình truyền nhiệt thuận nghịch, dS=δQ_rev/T; entropy là hàm trạng thái còn nhiệt phụ thuộc vào đường đi. Một quá trình thuận nghịch gồm hệ và môi trường có tổng biến thiên entropy bằng không, nhưng entropy riêng của hệ có thể tăng hoặc giảm. Các quá trình tự phát không thuận nghịch tạo ra tổng entropy không âm. Quá trình giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch làm tăng entropy khí lên nR ln(V2/V1); bể nhiệt mất đi đúng lượng đó. Tính thuận nghịch không yêu cầu nhiệt độ hệ không đổi, công bằng không hay biến thiên nội năng bằng không.

Một động cơ thuận nghịch giữa TH và TC có hiệu suất W/QH=1−TC/TH. Máy lạnh thuận nghịch có COP=QC/W=TC/(TH−TC), và bơm nhiệt có QH/W=TH/(TH−TC). Sử dụng nhiệt độ tuyệt đối Kelvin. Trên biểu đồ T–S thuận nghịch, độ lớn nhiệt dọc theo đường đẳng nhiệt bằng T nhân với biến thiên entropy; diện tích hình chữ nhật Carnot chính là độ lớn công. Làm lạnh di chuyển nhiệt từ vùng lạnh sang nóng bằng cách tiêu thụ công, đảo ngược chu trình động cơ. COP có thể vượt một mà không vi phạm định luật bảo toàn vì lượng nhiệt di chuyển không hoàn toàn được cung cấp bởi công.

Máy lạnh thuận nghịch truyền entropy Delta S từ Tc sang Th.

COP vượt một là có thể vì nhiệt được di chuyển, chứ không phải toàn bộ được sản sinh từ công.

Tổng sản sinh entropy bằng 0 không có nghĩa là biến thiên entropy hệ bằng 0. Tủ lạnh sử dụng CT/(TH−CT), không phải công thức hiệu suất động cơ.

sản sinh entropy: Tổng entropy không âm được tạo ra bởi tính không thuận nghịch.

hệ số hiệu năng: Nhiệt lượng hữu ích được truyền chia cho công đầu vào đối với máy lạnh hoặc bơm nhiệt.

Một khối khí có thể có vận tốc trung bình bằng không trong khi các hạt của nó có tốc độ trung bình đáng kể. Các hướng đối lập triệt tiêu trong vectơ trung bình; tốc độ không mang dấu.

Tiền đề: 4, 35.

• Chuẩn hóa mật độ tốc độ liên tục và giải thích đơn vị của chúng
• Phân biệt vectơ trung bình, tốc độ trung bình và tốc độ xác suất nhất
• Sử dụng trọng số Boltzmann với bội số và hàm phân bố

Đối với mật độ xác suất tốc độ liên tục f(v), f(v)dv xấp xỉ xác suất trong khoảng hẹp và ∫from0to∞ f(v)dv=1. Mật độ có đơn vị nghịch đảo tốc độ và bản thân nó không phải là xác suất. Nếu P(v)dv đếm số hạt trong khoảng đó, diện tích của nó là số hạt N và f=P/N. Một hình thang tăng qua độ rộng v0, duy trì phẳng qua độ rộng 2v0, sau đó giảm qua độ rộng v0 có diện tích 3av0 cho chiều cao a. Chuẩn hóa theo diện tích trước khi tính trung bình hoặc diễn giải chiều cao biểu đồ.

Trong khí cân bằng đẳng hướng không có dòng chảy tổng thể, mỗi phân bố thành phần vận tốc đều đối xứng, do đó ⟨v_vector⟩=0. Tốc độ v=|v_vector| luôn không âm và có giá trị trung bình dương. Đối với khí lý tưởng cổ điển, mật độ phân bố tốc độ Maxwell tỷ lệ thuận với v²exp[−mv²/(2kBT)]. Mode của nó là sqrt(2kBT/m), giá trị trung bình là sqrt(8kBT/(πm)) và tốc độ hiệu dụng (rms) là sqrt(3kBT/m). Đây là ba đại lượng khác nhau. Yếu tố v² khiến mật độ tốc độ bằng 0 tại v=0, mặc dù mật độ vectơ vận tốc đạt cực đại tại vectơ không.

Đối với phân bố liên tục, xác suất để có đúng một tốc độ xác định bằng không; các xác suất khác không chỉ áp dụng cho khoảng giá trị. Phát biểu này không ngụ ý rằng không có hạt nào có tốc độ nhỏ tùy ý, hay rằng máy dò có độ phân giải hữu hạn không thể ghi nhận một cột dữ liệu bằng không. Nhiệt độ thay đổi thang đo của phân bố Maxwell: các tốc độ đặc trưng tỷ lệ thuận với sqrt(T/m). Việc tăng gấp đôi nhiệt độ không làm tăng gấp đôi tốc độ, và các hạt nặng hơn sẽ có tốc độ trung bình thấp hơn ở cùng một nhiệt độ.

Trong tập hợp chính tắc ở nhiệt độ T, một trạng thái có năng lượng E_i có trọng số exp(−E_i/(kBT)). Chia cho hàm phân chia Z=Σexp(−E_i/(kBT)) để thu được xác suất. Nếu mức năng lượng có suy biến g_i, xác suất của mức năng lượng đó là g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Năng lượng bằng nhau cho mỗi trạng thái không đồng nghĩa với xác suất bằng nhau cho mỗi mức khi độ suy biến khác nhau. Đối với mức cơ bản có suy biến 1 và mức kích thích có suy biến 2 ở khe Δ=kBT ln2, trọng số tổng của mức kích thích là 2e^(−ln2)=1: cả hai mức đều có xác suất 1/2. Các giả thiết Maxwell–Boltzmann cổ điển khác với các trạng thái chiếm đóng Bose–Einstein và Fermi–Dirac lượng tử.

Một tập hợp chính tắc có suy biến mức cơ bản là 1 và suy biến mức kích thích là g tại khe Delta.

Với g = 4 và $\Delta=k_BT\ln2$, Đây là xác suất cho toàn bộ mức kích thích. Mỗi trạng thái trong số bốn trạng thái này có xác suất 1/6.

Chiều cao mật độ không phải là xác suất. Vận tốc trung bình, tốc độ trung bình và mốt khác nhau; hãy bao gồm độ suy biến trước khi chuẩn hóa xác suất của các mức.

mật độ xác suất: Xác suất trên một đơn vị của biến liên tục, tích phân của nó cho xác suất của khoảng giá trị.

hàm phân chia: Tổng các trọng số thống kê dùng để chuẩn hóa xác suất các trạng thái cân bằng.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Các độ sâu dòng điện lặp lại cách đều có thể biểu thị sự mất đi lặp lại cùng một mức năng lượng kích thích, thay vì là một chuỗi các mức nguyên tử khác nhau.

Kiến thức nền tảng: 7.

• Phân biệt ngưỡng quang điện và tia X đặc trưng
• Áp dụng quy mô phổ khối lượng giảm và điền spin nhiều electron
• Giải thích khoảng cách năng lượng Franck–Hertz mà không cần tạo ra các mức mới

Động năng cực đại của electron quang điện là Kmax=hν−ϕ với tần số photon vượt ngưỡng ν0=ϕ/h. Độ lớn điện thế dừng thỏa eVs=Kmax, do đó Vs tỷ lệ tuyến tính với ν trên ngưỡng. Tăng cường độ ở tần số cố định làm tăng số lượng photon khả dụng và thường là dòng quang điện, chứ không phải động năng cực đại của electron quang điện. Dưới ngưỡng, mô hình một photon đơn giản sẽ không phát ra electron quang điện bất kể cường độ nào. Công thoát là thuộc tính của bề mặt, không tỷ lệ thuận với tần số chiếu sáng.

Tia X đặc trưng xuất hiện khi một electron lấp đầy lỗ trống trong lớp vỏ trong, phát ra photon bằng với hiệu năng lượng giữa các lớp vỏ. Các vạch sắc nét của chúng phụ thuộc vào nguyên tử mục tiêu. Tia hãm (Bremsstrahlung) sinh ra từ sự suy giảm tốc của electron năng lượng cao trong điện trường hạt nhân và tạo ra nền liên tục, với điểm cuối năng lượng được xác định bởi năng lượng electron tới. Nền liên tục và các vạch rời rạc có thể xuất hiện cùng nhau; sự tồn tại của cái này không loại trừ cái kia. Các cơ chế này khác với huỳnh quang nhìn thấy, tán xạ phonon và bắt giữ hạt.

Đối với nguyên tử hai thân giống hydro, thay khối lượng electron bằng khối lượng giảm μ=m_eM/(m_e+M). Trong mô hình Coulomb đơn giản, năng lượng các mức tỷ lệ với −μZ²/n², do đó tần số phổ tỷ lệ với μZ² và bước sóng tỷ lệ nghịch. Đối với positronium M=m_e, μ=m_e/2 và hằng số Rydberg của nó bằng một nửa giá trị khối lượng hạt nhân vô hạn. Đối với hạt nhân nặng, μ tiến gần đến m_e. Trong nguyên tử nhiều electron, sử dụng việc điền orbital và quy tắc Hund thay vì mô hình hydro: các orbital suy biến được chiếm đơn lẻ với spin song song trước khi ghép đôi. Carbon 2p² cho hai electron chưa ghép đôi và tổng spin S=1; oxygen 2p⁴ có hai electron chưa ghép đôi và cũng S=1. Các cặp đã điền đóng góp bằng không cho tổng spin.

Trong thí nghiệm Franck–Hertz, electron bị gia tốc mất năng lượng qua kích thích không đàn hồi một khi đạt ngưỡng nguyên tử. Khoảng cách lặp lại giữa các độ sâu hoặc đỉnh dòng trong điện thế gia tốc do đó có thể xác định cùng một mức năng lượng kích thích bị mất một, hai hoặc nhiều lần. Khoảng cách ΔV tương ứng với năng lượng eΔV; các đỉnh ở 4,8,12 V không nhất thiết đại diện cho ba mức năng lượng kích thích riêng biệt. Điện thế tiếp xúc và điện trường cản trở có thể dịch chuyển vị trí tuyệt đối của các đỉnh, vì vậy hãy sử dụng khoảng cách và điều kiện thiết bị được nêu. Nếu nguyên tử kích thích quay trở lại bằng một photon có năng lượng đó, bước sóng là hc/(eΔV).

Trong hiệu ứng quang điện một photon, sử dụng công thoát bề mặt phi.

Đối với năng lượng photon 4.5 eV và phi = 2.0 eV, Độ lớn điện thế dừng là 2.5 V. Cường độ cao hơn ở cùng tần số làm thay đổi tốc độ electron khả dụng, chứ không phải động năng cực đại này.

Cường độ dòng điện và điện thế dừng trả lời cho những câu hỏi khác nhau. Bao gồm khối lượng rút gọn và suy biến quỹ đạo, và sử dụng khoảng cách Franck–Hertz thay vì coi mỗi cực đại là một mức năng lượng mới.

công thoát: Năng lượng tối thiểu cần thiết để loại bỏ một electron khỏi bề mặt chỉ định.

khối lượng giảm: Khối lượng hiệu dụng hai vật m1m2/(m1+m2) cho chuyển động tương đối.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Đo độ dẫn điện đơn thuần không cho biết electron hay lỗ trống nào chi phối sự vận chuyển. Một phép đo Hall từ tính cung cấp bài kiểm tra có dấu.

Tiên quyết: 8, 46.

• So sánh năng lượng liên kết trên mỗi nucleon và năng lượng phản ứng
• Phân biệt lepton, meson và baryon với các ràng buộc bảo toàn
• Suy luận dấu hạt tải chủ đạo từ mô hình Hall một hạt tải

Năng lượng liên kết B là năng lượng cần thiết để tách một hạt nhân thành các nucleon tự do cấu tạo nên nó, bằng với khối lượng thiếu hụt tương ứng nhân với c². Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon B/A là đại lượng so sánh thích hợp giữa các số khối khác nhau; một hạt nhân nặng hơn có thể có tổng B lớn hơn nhưng B/A nhỏ hơn. Đỉnh rộng của B/A nằm gần vùng sắt/niken. Phản ứng nhiệt hạch của hạt nhân nhẹ và phân rã của hạt nhân rất nặng có thể giải phóng năng lượng khi sản phẩm có tổng năng lượng liên kết lớn hơn. Đối với một phản ứng, Q=(khối lượng nghỉ ban đầu−khối lượng nghỉ cuối cùng)c²; Q dương nghĩa là năng lượng được giải phóng. Luôn so sánh các đồng vị cụ thể và sản phẩm cuối cùng được chỉ định, không chỉ tên nguyên tố.

Các lepton như electron, muon và neutrino không được cấu tạo từ các quark cấu tử trong Mô hình Chuẩn. Một muon âm mang điện tích −e và spin 1/2, giống như electron, nhưng có khối lượng khác và thuộc về một họ hương vị khác; nó không phải là meson mặc dù có tên gọi lịch sử. Hadron chứa quark: meson thông thường có một quark và một antiquark, còn baryon thông thường có ba quark. Các antibaryon tương ứng có ba antiquark. Các mô hình phân loại cơ bản này không ngụ ý rằng mọi hạt tổ hợp đều là baryon hoặc meson đơn giản.

Kiểm tra điện tích, năng lượng, động lượng, số baryon và các số lepton liên quan trong một quá trình đề xuất. Ba quark uud của proton cộng lại mang điện tích +e; neutron udd cộng lại bằng không. Phân rã beta-minus n→p+e−+antineutrino bảo toàn điện tích và bao gồm antineutrino để cân bằng số lepton và động học. Khối lượng riêng của một hạt không đủ để phân loại nó là quark, lepton hay hadron. Ngưỡng phản ứng có thể yêu cầu động năng vượt quá hiệu khối lượng nghỉ tỏa nhiệt khi có các ràng buộc khác áp dụng.

Trong vật dẫn một hạt tải đơn giản, lực Lorentz từ trường ngang xây dựng điện trường Hall cho đến khi lực tác dụng lên hạt tải ngang cân bằng. Với quy ước tensor/dấu đã nêu, hệ số Hall là R_H=1/(nq); q âm cho hệ số âm kiểu electron, q dương cho hệ số dương kiểu lỗ trống. Độ lớn điện trở suất đơn thuần không tiết lộ dấu này. Thiết lập hướng dòng điện, từ trường và điện thế một cách nhất quán trước khi đọc cực tính thô. Chất bán dẫn có cả electron và lỗ trống đóng góp đều đòi hỏi mô hình hai hạt tải có trọng số độ di chuyển; hệ số đơn giản không nhất thiết bằng nghịch đảo của mật độ hạt tải tổng cộng.

Trong mô hình hiệu ứng Hall một hạt tải, sử dụng $R_H=1/(nq)$ với quy tắc dây dẫn cố định. Đối với electron, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ trên mét khối,

Hệ số âm chỉ ra các hạt tải kiểu electron theo mô hình này, không phải mật độ âm. Cực tính điện thế thô chỉ có ý nghĩa khi đã khai báo hướng từ trường và hướng dây dẫn.

So sánh năng lượng liên kết trên mỗi nucleon, không chỉ tổng năng lượng liên kết. Một muon là lepton, và dấu Hall đòi hỏi quy ước đo lường và mô hình mang điện được công bố.

năng lượng liên kết trên mỗi nucleon: Năng lượng liên kết hạt nhân chia cho số lượng nucleon.

hệ số Hall: Hệ số tỷ lệ có dấu liên hệ giữa điện trường Hall ngang với mật độ dòng điện và từ trường dưới một quy ước đã nêu.

Lực căng của con lắc thay đổi suốt quá trình dao động, nhưng phương trình góc của nó có thể được suy ra mà không cần giải lực căng.

Tiên quyết: 1, 47.

• Deriving chuyển động Euler–Lagrange sau khi áp đặt ràng buộc holonomic
• Sử dụng tọa độ tuần hoàn để xác định động lượng chính tắc bảo toàn
• tuyến tính hóa trạng thái cân bằng ổn định và kiểm tra tần số thu được

Một ràng buộc loại bỏ một tọa độ độc lập trước khi bạn thiết lập năng lượng động. Đối với con lắc có chiều dài cố định, hãy chọn θ từ phương thẳng đứng hướng xuống: x=l sinθ và y=−l cosθ. Vi phân cả hai tọa độ cho ta v²=l²θdot², không phải l² sin²θ θdot². Do đó T=ml²θdot²/2 và V=mgl(1−cosθ), với thế năng bằng 0 tại điểm thấp nhất. Chiều dài cố định là một ràng buộc holonomic: nó là một mối quan hệ giữa các tọa độ và có thể cả thời gian. Ràng buộc vận tốc lăn cần có phân tích riêng; đừng tự động coi mọi ràng buộc đều là sự thay thế tọa độ.

Đối với ràng buộc lý tưởng và hệ thống bảo thường thông thường, phương trình tác dụng cực trị là d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 với L=T−V. Các biến thiên triệt tiêu tại hai đầu mút thời gian. Con lắc cho ∂L/∂θdot=ml²θdot và ∂L/∂θ=−mgl sinθ, nên ml²θddot+mgl sinθ=0. Đạo hàm của động lượng tác động lên mọi thừa số phụ thuộc thời gian: đối với bán kính thay đổi, d(mr²θdot)/dt chứa 2mr rdot θdot. Phương pháp biến phân không có nghĩa là cơ năng được bảo toàn trong hệ thống phụ thuộc thời gian.

Đối với chuyển động tâm phẳng, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Góc θ là tọa độ tuần hoàn vì L không phụ thuộc rõ ràng vào θ, mặc dù L phụ thuộc vào θdot. Động lượng chính tắc pθ=mr²θdot là hằng số. Phương trình bán径向 là m rddot=mrθdot²−dV/dr. Số hạng đầu tiên là một phần của gia tốc tọa độ, không phải là một lực thực mới hướng ra ngoài trong khung quán tính. Sự bảo toàn của pθ làm cho tốc độ góc tăng khi r giảm; tốc độ góc không đổi là một tình huống khác, được điều khiển bởi bên ngoài.

Gần trạng thái cân bằng ổn định q0, khai triển V đến bậc hai và sử dụng quán tính cục bộ không đổi M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Khi đó tần số dịch chuyển nhỏ là sqrt(V″/M). Đối với con lắc sinθ≈θ theo radian, nên ω=sqrt(g/l); phép xấp xỉ yêu cầu biên độ nhỏ. Một V″ âm sẽ dẫn đến mất ổn định, không phải dao động với tần số đo lường được phức. Hãy kiểm tra phương trình phi tuyến đầy đủ trước, sau đó nêu xấp xỉ và so sánh đơn vị: V″/M phải có đơn vị nghịch đảo bình phương thời gian.

Đối với chiều dài con lắc cố định l, sử dụng theta từ phương thẳng đứng hướng xuống: x = l sin theta, y = -l cos theta. Cả hai vận tốc Cartesian đều cho $T=ml^2\dot\theta^2/2$ và $V=mgl(1-\cos\theta)$. Phương trình Euler-Lagrange— là

Chia cho $ml^2$ trước khi tuyến tính hóa: Phép xấp xỉ này sử dụng radian. Biến thiên tại đầu mút triệt tiêu trong suy luận tác dụng cực trị.

Một tọa độ tuần hoàn vắng mặt khỏi chính L; vận tốc của nó chưa hẳn phải vắng mặt. Đừng loại bỏ đạo hàm theo thời gian của thừa số r² đang thay đổi.

ràng buộc holonomic: Một ràng buộc có thể biểu diễn dưới dạng mối quan hệ giữa các tọa độ và có thể cả thời gian.

tọa độ tuần hoàn: Một tọa độ vắng mặt rõ ràng khỏi Lagrangian, với động lượng chính tắc bảo toàn dưới phương trình Euler–Lagrange.

A person standing still on a turning platform needs a real inward force, although their platform-relative acceleration is zero.

Prerequisites: 26.

• Transform acceleration with translating and rotating frame 旋转参考系 terms
• Determine centrifugal, Coriolis and Euler directions from cross products
• Separate apparent forces from real interactions and test inertial limits

In a translating frame with origin acceleration A, Newton’s equation becomes m a′=F_real−mA. An upward-accelerating elevator therefore has N−mg=ma in the ground frame, or N−mg−ma=0 for its stationary passenger in the elevator frame. These are the same prediction. The additional term is an apparent force caused by the chosen accelerating coordinates; it is not a new contact with another body. Uniform translation with A=0 changes velocity but needs no apparent force.

For a rotating basis, differentiating a vector adds Ω×that vector. Applying this twice gives a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Here r and v′ are measured relative to the moving origin in its rotating axes; all vectors in a calculation must be expressed in the same basis at the same instant. Move the last three rotational terms to the force side to obtain Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), and Euler −mΩdot×r. A constant rotation removes the Euler term, not the Coriolis term.

Take Ω along +z, an anticlockwise platform viewed from above, and a particle at r along +x. Centrifugal force 离心力 is along +x with magnitude mΩ²r. If the particle moves outward with v′ along +x, then Ω×v′ is +y, so Coriolis force 科里奥利力 points −y. Reversing the relative velocity reverses Coriolis; keeping v′=0 makes it vanish. Coriolis is perpendicular to v′ and does no instantaneous work on that relative motion. Centrifugal force is outward from the rotation axis, not necessarily outward from the chosen origin in an arbitrary three-dimensional position.

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

In a rotating frame, Coriolis force uses the relative velocity.

For m = 2 kg, Omega = 2 rad/s along z, r = 1 m along x and v' = 3 m/s along x, Euler force is zero only because Omega is constant. These are coordinate terms, not extra physical contacts.

The relative velocity v′ belongs in the Coriolis term. Using the full inertial velocity counts rotation twice.

Coriolis force: The apparent rotating-frame force −2mΩ×v′ caused by relative motion.

centrifugal force: The apparent rotating-frame force −mΩ×(Ω×r), directed away from the rotation axis.

Một ống nhỏ mang cùng lưu lượng ổn định như một ống lớn, nhưng hành vi áp suất của nó phụ thuộc vào cả tốc độ và tổn thất nhớt.

Tiền đề: 10, 47.

• Kết hợp bảo toàn không nén được với áp suất, thế năng và động năng
• Áp dụng các hệ thức thủy tĩnh và Bernoulli chỉ trong điều kiện được nêu rõ
• Sử dụng độ nhớt, tỷ lệ Poiseuille và số Reynolds để phân biệt các chế độ dòng chảy

Đối với dòng chảy ổn định, khối lượng chất lỏng đi qua các mặt cắt liên tiếp trong một đơn vị thời gian là bằng nhau: ρAv là hằng số. Chất lỏng không nén được có ρ gần như không đổi, do đó Q=Av là lưu lượng thể tích. Khi bán kính ống giảm một nửa, diện tích giảm bốn lần và tốc độ trung bình tăng gấp bốn lần để giữ nguyên Q. Áp suất không xác định được Q nếu không có mô hình về phần còn lại của hệ thống. Trong chất lỏng đứng yên, dp/dz=−ρg với z hướng lên trên; do đó áp suất tăng thêm ρgh tại khoảng cách h bên dưới bề mặt. Sử dụng áp suất tuyệt đối hoặc áp suất tương đối nhất quán ở cả hai vế.

Đối với chuyển động ổn định, không nén được, không nhớt dọc theo một đường streamline mà không có bơm hay tổn thất tiêu tán, phương trình Bernoulli cho p+ρv²/2+ρgz=hằng số. Ba số hạng này là năng lượng trên một đơn vị thể tích và có đơn vị áp suất. Ở cùng độ cao, tốc độ lớn hơn yêu cầu áp suất tĩnh nhỏ hơn dưới những giả thiết này. Đầu ra cao hơn cũng sử dụng năng lượng áp suất/động năng để đạt được thế năng trọng trường. Phương trình Bernoulli dọc theo một đường streamline không nhất thiết dẫn đến cùng hằng số trên các đường streamline khác trong dòng xoáy. Điểm dừng (stagnation point) có v=0 và chuyển hóa năng lượng vận tốc cục bộ thành sự gia tăng áp suất trong mô hình lý tưởng.

Độ nhớt vận chuyển động lượng giữa các lớp chất lỏng lân cận. Đối với dòng chảy laminar phát triển đầy đủ ổn định của chất lỏng Newton không nén được trong ống tròn, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Ở đây Δp là độ sụt áp suất dọc theo ống, η là độ nhớt động lực và L là chiều dài ống. Khi gấp đôi bán kính ở Δp, η và L không đổi, Q tăng lên 16 lần. Khi gấp đôi Q ở hình học không đổi cần gấp đôi độ sụt áp suất. Tổn thất áp suất nhớt này không thể cộng trực tiếp vào phương trình Bernoulli không tổn thất như thể không có gì thay đổi; hãy bao gồm tổn thất áp suất/tốc đầu tiêu tán hoặc sử dụng mô hình nhớt.

Số Reynolds Re=ρvD/η so sánh ảnh hưởng quán tính và nhớt dựa trên tốc độ đặc trưng v và kích thước D. Đối với ống, hãy sử dụng tốc độ trung bình và đường kính bên trong, không phải bán kính. Re không thứ nguyên: mật độ nhân với tốc độ nhân với kích thước có cùng đơn vị với độ nhớt động lực. Re nhỏ ủng hộ sự chi phối của nhớt; quá trình chuyển sang dòng chảy rối phụ thuộc vào hình học và nhiễu loạn, vì vậy một ngưỡng đơn lẻ không phải là quy luật phổ quát. Tỷ lệ Poiseuille không an toàn sau khi đã giả định dòng chảy rối. Hãy kiểm tra bảo toàn lưu lượng, dấu của sự thay đổi áp suất và chế độ dòng chảy trước khi chọn công thức.

Dòng chảy lý tưởng ngang, ổn định và không nén được có các tiết diện 4 và 1 cm². Tại tiết diện đầu tiên, tốc độ là 1 m/s. Bảo toàn lưu lượng và Bernoulli cho

Các hệ thức này giả định không có bơm, tổn thất nhớt hoặc thay đổi độ cao. Một ống nhỏ thực tế có thể vi phạm chúng.

Phương trình liên tục giữ cho Q không đổi trong một ống dẫn ổn định; Poiseuille so sánh Q giữa các hệ thống khác nhau ở mức độ giảm áp suất xác định. Hãy nêu rõ những đại lượng nào được giữ cố định trước khi so sánh lũy thừa của bán kính.

lưu lượng thể tích: Thể tích chất lưu đi qua một tiết diện trong một đơn vị thời gian, Q=Av với v là tốc độ trung bình.

hệ số nhớt động lực: Hệ số liên hệ giữa ứng suất cắt và gradient vận tốc trong chất lưu Newton.

Putting a dielectric into a capacitor changes the field differently depending on whether its battery remains connected.

Prerequisites: 13, 15.

• Relate free and bound charge to D, E and polarisation
• Compare fixed-charge and fixed-voltage dielectric changes
• Use magnetic constitutive response and free-current boundary conditions

Electric polarisation 电极化强度 P is electric dipole moment per unit volume, measured in C/m². Define D=ε₀E+P so that ∇·D=ρ_free; the total charge, including bound charge, still appears in ∇·E=ρ_total/ε₀. Bound volume charge is ρ_b=−∇·P and bound surface charge is σ_b=P·n, where n points outward from the material. Uniform P therefore gives no bound charge in the bulk but can give surface charges of opposite sign. A dielectric is not an ideal metal: polarisation need not make its internal electric field zero.

For a linear isotropic dielectric, P=ε₀χ_e E and D=εE with ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. These simple scalar relations assume the response is linear and ignore anisotropy, strong dispersion and nonlinear effects. In a fully filled, large parallel-plate capacitor with negligible edge effects, D normal to the plates equals the free surface-charge density. If σ_free stays fixed, increasing ε reduces E=σ_free/ε. The bound charges oppose the applied field; their magnitude is not automatically equal to the free plate charge.

For plate area A and spacing d, C=εA/d. Disconnecting the battery fixes free charge Q: V=Q/C falls and stored energy U=Q²/(2C) falls when a dielectric increases C. Leaving an ideal voltage source connected fixes V: Q=CV and stored energy U=CV²/2 both rise. The source supplies energy and moving the dielectric can involve mechanical work; compare the stated electrical energy quantity rather than assuming the capacitor alone is an isolated system. At a material interface n·(D₂−D₁)=σ_free, whereas static tangential E is continuous. Normal E generally changes when permittivity changes.

Magnetisation M is magnetic dipole moment per unit volume, measured in A/m. In SI, B=μ₀(H+M); for a linear isotropic response M=χ_m H and B=μ₀(1+χ_m)H. B and H have different units and roles. A long uniform solenoid has H≈nI when end and demagnetising effects are negligible; material response then changes B. Free surface current sets n×(H₂−H₁)=K_free, and normal B remains continuous. Ferromagnetic hysteresis and saturation cannot be represented by one constant χ_m over every field.

A capacitor is disconnected before inserting a linear dielectric with relative permittivity 4. Free charge stays fixed; capacitance 电容 becomes four times its original value.

If an ideal battery stays connected instead, V is fixed: The source exchanges energy. Do not compare isolated charge and fixed voltage as the same experiment.

Use free charge in the D equation and total charge in the E equation. Do not confuse fixed Q with fixed V, or identify B numerically with H.

electric polarisation: Electric dipole moment per unit volume, P, contributing bound charge.

magnetisation: Magnetic dipole moment per unit volume, M, entering B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Hai khe bằng nhau có thể có hiệu đường đi đúng cho giao thoa tăng cường nhưng vẫn không truyền năng lượng ở góc đó.

Tiền đề cần thiết: 3, 17.

• Suy ra và đánh giá cường độ khe đơn trường xa bằng sự chồng chập biên độ
• Tách khoảng cách vân giao thoa khe đôi khỏi độ rộng bao hình khẩu độ hữu hạn
• Xác định các bậc bị thiếu và nêu giới hạn của công thức trường xa và góc nhỏ

Đối với khe được chiếu sáng đồng đều có độ rộng a, các đóng góp trường xa trên toàn bộ bề mặt khe đến với độ lệch pha k sinθ. Hãy cộng các biên độ phức trước khi bình phương: tích phân chuẩn hóa theo x từ −a/2 đến a/2 là sinβ/β, trong đó β=πa sinθ/λ. Tỷ số cường độ là (sinβ/β)². Tại θ=0 hãy lấy giới hạn sinβ/β→1, thay vì coi điểm trung tâm là xác định không rõ hoặc tối. Các điểm zeros xuất hiện tại a sinθ=mλ với số nguyên m khác 0. Đỉnh chính nằm giữa hai điểm zeros đầu tiên và có chiều rộng gấp đôi một khoảng khoảng cách từ zeros này sang zeros kế tiếp trong sinθ. Các cực đại đỉnh phụ không nằm chính giữa các điểm zeros của chúng.

Ở góc nhỏ trên màn hình cách xa L, y≈Lθ và sinθ≈θ cho ta các điểm zeros đầu tiên y≈±Lλ/a. Do đó, độ rộng trung tâm là 2Lλ/a. Sử dụng mét nhất quán: khe milimet và bước sóng nanomet khác nhau sáu cấp số nhân. Đối với góc lớn hơn, sử dụng θ=asin(mλ/a) và y=L tanθ; biểu thức góc nhỏ của y lúc này sẽ không còn chính xác. Điều kiện trường xa đòi hỏi các tia gần như song song từ các phần khác nhau của khẩu độ, ví dụ L lớn hơn nhiều so với a²/λ, hoặc cấu trúc mặt phẳng tiêu cự tương đương. Mẫu Fresnel trường gần không thể áp dụng định luật cường độ này một cách máy móc.

Đối với hai khe giống nhau đồng đều được chiếu sáng có độ rộng a và khoảng cách tâm d, mẫu chuẩn hóa là (sinβ/β)² cos²α, với α=πd sinθ/λ và cường độ trung tâm là chuẩn hóa. Hệ số cos² tạo ra các bậc giao thoa d sinθ=nλ; hệ số khe đơn cung cấp các điểm zeros của bao hình rộng hơn. Khoảng cách lân cận giao thoa góc nhỏ là λL/d. Tăng d làm thu hẹp khoảng cách vân; tăng a làm thu hẹp bao hình. Đây là hai thay đổi riêng biệt. Công thức giao thoa khe hẹp equal-height đơn lẻ không dự đoán được sự giảm dần độ sáng hay các bậc bị thiếu của khẩu độ hữu hạn. Các nguồn không liên kết không duy trì số hạng chéo phụ thuộc pha giống nhau.

Một bậc bị thiếu xảy ra khi nλ/d=mλ/a đồng thời, dẫn đến n=m d/a. Nếu d/a là số nguyên r, các bậc ±r, ±2r v.v. bị hủy bởi các điểm zeros của khẩu độ. Đừng đếm một bậc tại biên bao hình là một vân sáng khả kiến. Trong bao hình trung tâm, các tâm bậc giao thoa danh nghĩa thỏa mãn |n|<d/a; khi r là số nguyên thì có 2r−1 such centers. Đối với độ rộng khe hữu hạn, các cực đại cục bộ chính xác bị dịch chuyển nhẹ do sự thay đổi của bao hình, do đó vị trí các bậc giao thoa chỉ là xấp xỉ của các tâm đỉnh quan sát được. Hãy xác định đại lượng nào đang được yêu cầu trước khi coi mọi cực đại cos² là cực đại chính xác của tích.

Đối với hai khe hẹp, tách biệt khoảng cách giao thoa khỏi envelopes nhiễu xạ đơn khe.

Nếu d = 5a, cực đại envelope thứ nhất $a\sin\theta=\lambda$ trùng với bậc n = 5. Các tâm bậc danh nghĩa trong envelope trung tâm là n = -4 đến +4: tổng cộng chín vị trí. Đây là các tâm giao thoa; envelope có thể dịch chuyển nhẹ các cực đại chính xác của tích hợp.

Cộng biên độ trường trước khi bình phương, phân biệt a và d, và loại trừ các bậc biên tối. Một cực đại giao thoa đơn lẻ không đảm bảo đó là cực đại của toàn bộ hình ảnh.

diffraction envelope: Yếu tố cường độ phụ thuộc vào khẩu độ điều chế mẫu hình giao thoa.

missing order: Bậc giao thoa bị triệt tiêu do trùng với cực tiểu cường độ khẩu độ.

Khoảng cách ảnh âm là kết quả hình học định vị ảnh ảo, không phải phép tính thất bại cần thay bằng giá trị tuyệt đối.

Kiến thức nền tảng: 3.

• Định vị ảnh thấu kính mỏng paraxial và gương cầu với quy ước dấu đã công bố
• Sử dụng độ phóng đại có dấu để phân loại hướng và tính chất thực hoặc ảo
• Theo dõi vị trí ảnh liên tiếp làm vật cho phần tử kế tiếp mà không đặt lại hình học

Sử dụng quy ước thực là dương cho đơn vị này: vật thật gửi tia tới phân kỳ vào phần tử, nên s>0; chùm tới hội tụ trước đó có thể đại diện cho vật ảo, s<0. A real image has s′>0, trong khi ảnh ảo có s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 và thấu kính phân kỳ f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; s′ âm đặt ảnh ảo ở phía đầu vào. Phát biểu quy ước trước khi thế số, vì các quy ước tọa độ có dấu khác sẽ đưa ra phương trình có dạng khác nhau.

Đối với thấu kính hội tụ mỏng, tia song song với trục sau khi đi qua thấu kính đi qua tiêu điểm xa, và tia đi qua tâm quang học lý tưởng tiếp tục thẳng không bị lệch. Giao điểm của chúng xác định ảnh thật; các kéo dài ngược lại có thể định vị ảnh ảo. xấp xỉ paraxial sử dụng các tia gần trục và bỏ qua độ dày và sai lệch. Với s>f>0, s′ là dương và M là âm: ảnh là thật và đảo chiều. Với 0<s<f, s′ là âm và M là dương: ảnh là ảo, cùng chiều và phóng to. Tại s=f, tia sau khi đi qua thấu kính song song và không tồn tại mặt phẳng ảnh hữu hạn. Thấu kính phân kỳ với vật thật tạo ra ảnh ảo cùng chiều thu nhỏ.

Đối với gương cầu trong cùng quy ước thực là dương, tiêu cự lõm f>0 và lồi f<0, với f=R/2 trong giới hạn paraxial. Ảnh phản xạ thật nằm phía trước gương ở phía ánh sáng tới; ảnh ảo nằm phía sau nó. Do đó, khoảng cách ảnh dương có một bên vật lý khác đối với gương so với thấu kính truyền qua. Tia song song phản xạ qua tiêu điểm lõm; tia hướng qua tâm bán kính quay lại đường đi. Tia phản xạ lồi phân kỳ như thể phát ra từ tiêu điểm phía sau gương. Sử dụng cùng phương trình và M=−s′/s với các giá trị có dấu, thay vì ngầm kết hợp hình học gương với sơ đồ tọa độ thấu kính.

Đối với dãy thấu kính tách biệt, trước hết hãy tính tọa độ ảnh thực từ thấu kính đầu tiên. So với thấu kính tiếp theo, xác định xem tia tới có phân kỳ từ một điểm trước nó hay vẫn hội tụ về một điểm sau nó; đây lần lượt là vật thật và vật ảo. Chỉ sau đó mới gán khoảng cách vật có dấu và giải lại. Độ phóng đại ngang tổng cộng là tích của các độ phóng đại có dấu riêng lẻ đối với các phần tử paraxial thẳng hàng. Khoảng cách giữa các phần tử không tự động là khoảng cách vật thứ hai. Tính chất thật/ảo hình học phụ thuộc vào sự hội tụ, không phải do ảnh cuối cùng bị phóng to hay thu nhỏ. Các kết quả lý tưởng này không mô hình hóa độ phân giải quang học sóng hoặc sai lệch cầu/trung sắc.

Sử dụng khoảng cách dương cho vật thật và tiêu cự dương cho thấu kính hội tụ. Với f = 12 cm và khoảng cách vật thật s = 8 cm,

Vậy s' = -24 cm và $M=-s'/s=+3$. Ảnh ảo đứng upright, nằm cùng phía với vật. Các khoảng cách có dấu xác định mặt vật lý; khoảng cách âm không phải là lỗi toán học.

Giữ nguyên dấu cho đến khi giải thích hình học; ảnh gương dương nằm ở phía tới, trong khi ảnh thấu kính truyền qua dương nằm ở phía đi ra.

ảnh ảo: Ảnh giả tưởng được xác định bằng cách kéo dài ngược các tia thay vì sự hội tụ thực tế của các tia đi ra.

độ phóng đại ngang: Tỷ số chiều cao ảnh có dấu trên chiều cao vật, −s′/s theo quy ước đã công bố.

Hai lớp tường nối tiếp dẫn cùng một dòng nhiệt ổn định, nhưng độ giảm nhiệt độ của chúng chưa chắc đã bằng nhau.

Tiền đề: 4.

• Kết hợp điện trở nhiệt dẫn truyền và phân biệt dòng nhiệt với thông lượng nhiệt
• Cân bằng nhiệt mulher và nhiệt ẩn với điều kiện cách ly và nhiệt dung đã nêu
• Tính toán giãn nở nhiệt tự do và ứng suất nhiệt bị ràng buộc cùng các giới hạn của chúng

Đối với dẫn truyền ổn định một chiều qua tấm đồng nhất, định luật Fourier cho thông lượng nhiệt q_x=−κ dT/dx. Với độ dẫn nhiệt κ không đổi, diện tích A, độ dài L và hiệu nhiệt độ nóng-lạnh ΔT, dòng nhiệt là Qdot=κAΔT/L. Định nghĩa điện trở nhiệt R_th=L/(κA), đo bằng K/W; độ giảm nhiệt độ là Qdot R_th. Các lớp nối tiếp không có nguồn nội tại mang cùng Qdot và điện trở của chúng cộng lại. Các đường song song ở cùng nhiệt độ điểm cuối có dòng nhiệt cộng lại, nên nghịch đảo điện trở cộng lại. Thông lượng nhiệt là rate per area, W/m², và không nhất thiết giống nhau giữa các lớp có diện tích khác nhau. Điện trở tiếp xúc giao diện và rò rỉ nhiệt phải được bao gồm nếu được chỉ định.

Nhiệt dung C=dQ/dT phụ thuộc vào quá trình nhiệt động lực học và không giống như nhiệt dung riêng c trên mỗi đơn vị khối lượng. Đối với khoảng vật liệu không có chuyển pha, Q=∫mc(T)dT, hoặc mcΔT khi c không đổi. Trong nhiệt lượng kế cách ly, tổng các biến thiên năng lượng của tất cả các vật, bao gồm cả bình chứa khi liên quan, và đặt tổng bằng không. Tại chuyển pha ở nhiệt độ cân bằng, năng lượng thêm vào có thể làm thay đổi tỷ lệ pha thay vì nhiệt độ: Q=mℓ sử dụng nhiệt ẩn ℓ trong J/kg. Trước tiên cung cấp nhiệt mulher để đạt đến điểm chuyển pha, sau đó tính toán nhiệt ẩn. Đừng để trung bình nhiệt độ có trọng số đơn giản dự đoán một nhiệt độ không khả thi khi nóng chảy hoặc đông đặc là một phần của quá trình.

Đối với thanh giãn nở tự do và thay đổi nhiệt độ nhỏ, ΔL≈αL₀ΔT với hệ số giãn nở tuyến tính α. Đối với vật rắn đẳng hướng với biến dạng nhỏ, mỗi kích thước nhận được nhân tố 1+αΔT, do đó ΔA/A≈2αΔT và ΔV/V≈3αΔT. Một lỗ trống giãn nở cùng với vật liệu xung quanh như thể vùng thiếu hụt của nó cũng đã giãn nở. Các mối quan hệ này giả định hệ số gần như không đổi và không có ràng buộc cơ học; tinh thể dị hướng cần hệ số theo phương. Nếu một thanh đàn hồi bị ngăn không cho thay đổi chiều dài, biến dạng cơ học của nó triệt tiêu biến dạng nhiệt. Với ứng suất kéo dương, σ≈−YαΔT trong quá trình gia nhiệt, trong đó Y là mô đun Young. Ước lượng biến dạng nhỏ này yêu cầu phản ứng đàn hồi mà không có chảy plast hoặc mất ổn định.

Truyền dẫn truyền năng lượng theo gradient nhiệt độ, đối lưu vận chuyển nó với vật chất di chuyển, và bức xạ nhiệt có thể đi qua chân không. Đối với bề mặt ở nhiệt độ T hướng về môi trường lớn ở nhiệt độ T_env, một mô hình cơ bản của vật thể xám cho tốc độ bức xạ tổng hợp εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Sử dụng đơn vị kelvin tuyệt đối trong các lũy thừa bậc bốn này, thay vì giá trị độ C. Một khối đồng nhất mà nhiệt độ bên trong gần như không đổi có thể tuân theo C dT/dt=−hA(T−T_env) dưới điều kiện làm mát Newton với h không đổi. Khi đó sự chênh lệch nhiệt độ suy giảm theo τ=C/(hA), chứ không phải toàn bộ nhiệt độ (độ C hoặc kelvin) suy giảm về không. xấp xỉ này yêu cầu gradient nội tại đủ nhỏ; một vật thể bị giới hạn bởi truyền dẫn cần mô hình nhiệt độ không gian.

Hai tấm song song nối tiếp nhau mang cùng một tốc độ dòng nhiệt ổn định. Gọi điện trở nhiệt là 0.08 và 0.24 K/W. Nhiệt độ biên là 60 và 20 độ Celsius.

Nhiệt độ giao diện là 50 độ Celsius khi tấm 1 chạm vào phía nóng. Tốc độ dòng nhiệt có đơn vị watt; thông lượng nhiệt chia nó cho diện tích.

Giữ W tách biệt khỏi W/m², bao gồm nhiệt kế hoặc năng lượng ẩn khi cần thiết, và không sử dụng chiều dài tự do mở rộng cùng với các giả định ứng suất bị ràng buộc.

điện trở nhiệt: Sự chênh lệch nhiệt độ trên mỗi đơn vị tốc độ truyền nhiệt ổn định, đo bằng K/W.

nhiệt ẩn: Năng lượng được truyền tải trong quá trình biến pha tại nhiệt độ chuyển tiếp; nhiệt ẩn riêng là theo đơn vị khối lượng.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

A fermionic energy level can contain several particles when it contains several distinct states; the exclusion rule applies per complete state.

Prerequisites: 20, 35, 38.

• Compute mean occupation 平均占据数 per complete quantum state for fermions and bosons
• Count allowed identical-particle occupations and identify the classical dilute limit
• Compare classical quadratic-mode heat capacity with a quantum oscillator response

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=$\hbar$ω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

Occupation number 占据数 refers to one complete single-particle state. For $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

The classical dilute approximation gives $e^{-x}=1/4$; it is not exact here. A g-fold level has mean total occupation $g\bar n$, so a fermionic level can contain more than one particle while each complete state still obeys exclusion.

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

mean occupation: Ensemble average number of particles in one complete quantum state or a specified group of states.

equipartition: Classical equilibrium rule assigning kBT/2 to each independent quadratic Hamiltonian term.

Sự dịch chuyển năng lượng bậc nhất bằng không có thể tồn tại song song với việc thay đổi trạng thái và sự dịch chuyển bậc cao khác không.

Kiến thức nền tảng: 5, 24.

• Tính toán sự dịch chuyển năng lượng bậc nhất không suy biến như các giá trị kỳ vọng chuẩn hóa
• Sử dụng tính đối xứng và ma trận phần tử để đánh giá giới hạn tương tác yếu
• Chéo hóa nhiễu loạn bên trong một không gian suy biến chính xác

Giả sử H=H₀+λW, trong đó λ là một tham số không thứ nguyên nhỏ và các trạng thái riêng của H₀ đã biết và được chuẩn hóa. Đối với mức năng lượng không suy biến n, sự điều chỉnh năng lượng bậc nhất là λ⟨n|W|n⟩. Trong không gian vị trí, đối với thế nhân với hàm sóng, điều này là λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx với tích phân trên miền cho phép. Giá trị thế tại một điểm không phải là giá trị kỳ vọng; mật độ xác suất của trạng thái sẽ trọng số hóa toàn bộ miền. Đối với hố vô hạn 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Phản xạ qua tâm làm ⟨x⟩=L/2, do đó thế yếu thêm γx có độ dịch chuyển γL/2 cho mọi mức hố không suy biến ở bậc nhất. γ có đơn vị là năng lượng trên chiều dài.

Đối với sự nhiễu loạn lẻ so với tâm, chẳng hạn như γ(x−L/2), mật độ xác suất của trạng thái riêng hố chưa bị nhiễu là chẵn, nên giá trị kỳ vọng chéo bằng không. Thay vào đó, sự nhiễu loạn bậc hai có tâm η(x−L/2)² sẽ tạo ra độ dịch chuyển ηL²[1/12−1/(2π²n²)], mang giá trị dương khi η>0 và phụ thuộc vào n. Tính chẵn lẻ chỉ khiến tích phân bậc nhất bằng không đối với trạng thái và đối xứng toán tử cụ thể đó. Các phần tử ma trận ngoài đường chéo vẫn có thể thay đổi hàm sóng. Đừng biến sự triệt tiêu đối xứng thành tuyên bố rằng mọi sự điều chỉnh năng lượng đều bằng không hoặc trạng thái ban đầu vẫn chính xác.

Đối với trạng thái không suy biến, thành phần đóng góp chủ yếu từ trạng thái chưa nhiễu m khác tỷ lệ thuận với λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Do đó, điều kiện nhỏ có ý nghĩa cần so sánh các phần tử ma trận coupling với các khoảng cách mức năng lượng liên quan, chứ không chỉ so với mức năng lượng tuyệt đối tùy ý. Ở bậc hai, sự điều chỉnh năng lượng chứa Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Đối với trạng thái không suy biến thấp nhất, tất cả các mẫu số này đều âm, nên sự điều chỉnh bậc hai không dương trong mô hình này. Gần một mức suy biến, mẫu số nhỏ làm phá vỡ khai triển không suy biến; hãy sử dụng không gian con ghép nối thay vì chia cho không.

Nếu một mức của H₀ hoàn toàn suy biến, hãy chọn một cơ sở trực chuẩn hóa trong không gian con đó và xây dựng ma trận Hermitian của sự nhiễu loạn tại đó. Các giá trị riêng của nó là các độ dịch chuyển năng lượng bậc nhất, và các vector riêng xác định các tổ hợp làm chéo hóa sự tách mức dẫn đầu. Đối với không gian con hai trạng thái với nhiễu ε[[2,1],[1,2]], các tổ hợp đối xứng và phản đối xứng chuẩn hóa có độ dịch chuyển 3ε và ε. Đọc chỉ hai phần tử chéo sẽ dự đoán sai hai độ dịch chuyển là 2ε. Một bội số vô hướng chung của ma trận đơn vị sẽ dịch chuyển cả hai trạng thái bằng nhau và không tách mức suy biến của chúng; các coupling ngoài không gian con có thể quan trọng ở bậc cao hơn.

Một không gian con suy biến yêu cầu chéo hóa ma trận trước khi tính các độ dịch chuyển bậc nhất. Giả sử sự nhiễu loạn giới hạn trong hai trạng thái là $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Các độ dịch chuyển là epsilon và 3 epsilon. Các trạng thái chuẩn hóa là $(1,-1)/\sqrt2$ và $(1,1)/\sqrt2$. Đọc chỉ các phần tử chéo sẽ bỏ sót sự tách mức. Các coupling đến các mức khác phải giữ yếu so với khoảng cách năng lượng của chúng.

Sử dụng trọng số trạng thái chuẩn hóa, giữ nguyên đơn vị nhiễu loạn và chéo hóa khối suy biến. Sự triệt tiêu bậc nhất và bất biến chính xác là hai tuyên bố khác nhau.

độ dịch chuyển năng lượng bậc nhất: Sự điều chỉnh nhiễu loạn yếu dẫn đầu được cho bởi giá trị kỳ vọng của trạng thái chưa nhiễu.

lý thuyết nhiễu loạn suy biến: Phương pháp trước hết chéo hóa sự nhiễu loạn trong một không gian con suy biến chưa nhiễu.

Hai electron có thể chia sẻ một orbital không gian nếu trạng thái tổng hợp không gian-cuối của chúng có tính bất đối xứng cần thiết.

Kiến thức nền tảng: 5, 36.

• Xây dựng các trạng thái không gian hai orbital đối xứng và phản đối xứng được chuẩn hóa
• Kết hợp tính đối xứng không gian và spin để tạo ra các trạng thái hai electron cho phép
• Đếm số lượng chiếm đầy đủ các trạng thái và diễn giải các tương quan do trao đổi gây ra

Đối với các hạt giống nhau, việc hoán vị mọi tọa độ và nhãn spin sẽ làm thay đổi hàm sóng tổng hợp của fermion bằng một dấu âm và giữ nguyên trạng thái boson. Các ô trống toán học 1 và 2 chỉ các tham số chứ không phải là các hạt phân biệt vĩnh viễn. Đối với hai orbital trực giao khác nhau a và b, các tổ hợp không gian là Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Tính trực giao khiến các tổ hợp này được chuẩn hóa và cung cấp các giá trị riêng trao đổi ±1. Nếu hai orbital giống nhau, tổ hợp phản đối xứng đồng nhất bằng không và công thức đối xứng hiển thị không được chuẩn hóa đúng; trạng thái không gian chiếm đôi đơn giản là a(1)a(2). Hãy kiểm tra lại sự chuẩn hóa bất cứ khi nào các orbital hoặc sự chồng chập của chúng thay đổi.

Hai hạt spin-1/2 có một trạng thái đơn (↑↓−↓↑)/√2 với tổng spin S=0; nó phản đối xứng dưới sự trao đổi. Ba trạng thái bộ ba ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 và ↓↓ có S=1 và đối xứng. Electron yêu cầu trạng thái tổng hợp phản đối xứng, vì vậy trạng thái không gian đối xứng ghép với trạng thái đơn, trong khi trạng thái không gian phản đối xứng ghép với bộ ba. Hai electron trong cùng một orbital không gian có thể tạo thành trạng thái đơn, nhưng không thể tạo thành bộ ba ở đó trong trạng thái hai electron đơn giản này. Nguyên lý loại trừ Pauli ngăn chặn việc chiếm giữ cùng một trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh, bao gồm cả spin. Các electron ngược spin trong một orbital là hai trạng thái hoàn chỉnh khác nhau; mô tả sự loại trừ như mỗi orbital chỉ chứa một electron sẽ bỏ qua sự phân biệt này.

Đối với hai orbital không gian a,b và hai trạng thái spin mỗi loại, có bốn trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh. Hai electron giống nhau có chọn(4,2)=6 mẫu chiếm: hai trạng thái đơn chiếm đôi, một trạng thái đơn orbital khác nhau, và ba trạng thái bộ ba orbital khác nhau. Đối với ba orbital không gian, có sáu trạng thái hoàn chỉnh và chọn(6,2)=15 mẫu. Đếm các phân bổ có thứ tự sẽ đếm thừa các hạt giống nhau. Các boson không spin trong hai orbital thay vào đó có ba sự chiếm: cả hai trong a, một trong mỗi, cả hai trong b. Các đếm này giả định không có hạn chế năng lượng thêm và các trạng thái đơn hạt khả dụng đã nêu; hạn chế tổng năng lượng hoặc chiếu spin sẽ thay đổi tập con được cho phép.

Một trạng thái không gian phản đối xứng thỏa mãn Ψ_−(x,x)=0, nên mật độ vị trí liên hợp của nó biến mất trên đường trùng hợp. Một trạng thái không gian đối xứng không nhất thiết phải biến mất tại đó. Sự khác biệt xuất phát từ sự giao thoa giữa các biên độ trao đổi, ngay cả đối với các hạt không tương tác; đây không phải là lực đẩy cổ điển được áp đặt riêng biệt. Đối với giếng có chiều dài L, chọn a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Tại x₁=L/4 và x₂=3L/4, biên độ không gian phản đối xứng là −2/L và mật độ của nó là 4/L²; biên độ đối xứng là không. Đây là các mật độ xác suất liên hợp trên hai độ dài, không phải là xác suất vô chiều tại các điểm chính xác. Tương thích spin vật lý vẫn quyết định trạng thái điện tử tổng hợp nào sử dụng mỗi tổ hợp không gian.

Đối với các orbital khác nhau trực giao a và b, các trạng thái không gian đối xứng và phản đối xứng là

Một trạng thái tổng hợp hai electron phải là phản đối xứng dưới sự trao đổi đồng thời vị trí và spin. Vì vậy, không gian đối xứng ghép với trạng thái đơn spin; không gian phản đối xứng ghép với bộ ba spin. Nếu cả hai electron đều chiếm a, tích không gian là đối xứng và chỉ cho phép spin đơn. Công thức chuẩn hóa orbital khác nhau không thể đơn giản được tái sử dụng cho a = b.

Hoán vị tất cả các đối số không gian và spin. Đừng nhầm lẫn không gian phản đối xứng với trạng thái tổng hợp phản đối xứng, hoặc sử dụng hệ số √2 orbital khác nhau cho hai orbital giống nhau.

trạng thái đơn spin: Trạng thái hai spin-1/2 phản đối xứng với tổng spin S=0.

H determinante Slater: Cấu trúc fermion phản đối xứng từ các trạng thái đơn hạt hoàn chỉnh; các trạng thái trùng lặp khiến nó biến mất.

A bound wavefunction can extend outside a finite well 有限深势阱 even though the particle’s energy is below the external potential.

Prerequisites: 5, 24, 37.

• Match decaying finite-well states and derive parity-dependent quantisation conditions
• Interpret dimensionless bound-state roots and distinguish confinement from scattering
• Use hydrogenic quantum numbers, angular momentum and radial probability measures

Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

For an even bound state 束缚态 write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

A finite well has V = -V0 for $|x|<a$ and zero outside. A bound energy lies strictly between -V0 and zero. Define

Even parity gives an interior cosine and decaying tails. Matching value and derivative at a gives Odd parity instead gives $-k\cot(ka)=\kappa$. Solve only within valid parity intervals; a root at a tangent pole is not a bound state.

Use the declared potential zero, match ψ′ as well as ψ, and include the radial shell measure. A bound tail and a continuum travelling wave have different energy regimes.

bound state: Normalisable stationary state with confined probability and discrete energy in the specified model.

radial probability density 径向概率密度: Probability per radial distance, including the spherical-shell measure after angular integration.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

A photon beam has no definite range, yet a heavy charged particle does; shielding calculations fail if the two are swapped.

Prerequisites: 7, 17, 21.

• Distinguish charged-particle stopping and range from exponential photon attenuation
• Compute attenuated intensity and detected counts with stated coefficients
• Explain stimulated emission, population inversion 粒子数反转 and optical cavity resonance conditions

Heavy charged particles lose energy continuously through many small collisions, so they have an approximate range: under a constant-loss model a particle with initial energy E0 and loss rate dE/dx stops after E0/(dE/dx). Electrons straggle more and radiate. Photons instead interact in single events, so a narrow beam attenuates exponentially as I=I0 e^(−μx) with no definite maximum depth; the half-value layer 半值层 is ln2/μ.

Apply the exponential only to the stated narrow-beam geometry: μ=0.2 /cm gives a half-value layer of 3.47 cm and I/I0=e^(−2)≈0.135 after 10 cm. Multiply by detector efficiency for recorded counts: with μx=ln4 and ε=0.25 the recorded fraction is 0.25×1/4=1/16. Build-up from scattered photons makes broad-beam shielding transmit more than the narrow-beam exponential; state the geometry.

Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.

A linear cavity of length L supports standing modes with L=mλ/2, i.e. frequencies ν_m=mc/(2L) with spacing c/(2L): for L=30 cm the spacing is 500 MHz. Gain must exceed the round-trip losses for oscillation. Interferometers such as Michelson use the same coherence: fringe counts track optical path changes, as in the gas-cell measurement.

A narrow beam has attenuation $I=I_0e^{-\mu x}$ and half-value layer $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Three half-value layers transmit 1/8. This model excludes scattered build-up into the detector. For a linear vacuum laser cavity, adjacent longitudinal modes are separated by $c/(2L)$. Net stimulated gain requires $N_2/g_2>N_1/g_1$; the simpler $N_2>N_1$ assumes equal degeneracies.

Assigning photons a definite range or charged particles a single exponential law, and forgetting that equilibrium two-level populations cannot invert. Check which interaction model the beam species requires.

half-value layer: The material thickness that halves an exponentially attenuated beam, equal to ln2/μ.

population inversion: A non-equilibrium state with more population in the upper laser level than the lower, enabling net stimulated emission.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Writing the Laplacian of a radial function as f″ drops a term; the operator belongs to the coordinates, not the symbol.

Prerequisites: Algebra, differentiation and vector components.

• Use the divergence 散度 and Laplacian in the coordinate system selected by the symmetry
• Solve a simple separated boundary-value mode problem
• Check convergence, units and stability of an original numerical update

Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.

Separation of variables 分离变量法 turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

A spherical radial field has divergence

For $A_r=Cr$, it gives 3C, not C. Fixed string ends require $X(0)=X(L)=0$, hence $X_n=\sin(n\pi x/L)$ with positive integer n. Euler for $\dot y=-\lambda y$ gives $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. For positive h, bounded absolute stability permits $h\leq2/\lambda$; decay to zero requires the strict inequality $0<h<2/\lambda$. At the upper endpoint the numerical solution alternates without decay. Stability does not establish accuracy.

Applying the Cartesian Laplacian to a radial function, summing modes that violate the boundary conditions, or calling a bounded-looking run converged without refining the step. Match operator, boundaries and stability condition 稳定性条件 to the actual problem.

separation of variables: Solving a partial differential equation by writing the unknown as a product of single-variable factors.

stability condition: The step-size restriction that keeps a numerical recurrence from amplifying errors.