GAC016 Toán học III: Vi phân Tích phân & Ứng dụng Nâng cao

Vận tốc trung bình không cho biết vận tốc tức thời của mọi thời điểm, và độ dịch chuyển có dấu không luôn bằng tổng quãng đường. Giải tích làm cho những phân biệt này trở nên chính xác.

GAC016 phát triển đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng. Yêu cầu hiện tại của trung tâm bạn sẽ xác định các bài đánh giá và yêu cầu chấm điểm; các trang thực hành gốc này không thiết lập quyết định tín chỉ đại học hay mô hình kỳ thi chính thức.

Xác định biến độc lập, tập xác định và đơn vị. Ký hiệu $dy/dx$ là đạo hàm theo x; một dấu chấm trên y thường biểu thị đạo hàm theo thời gian. Các ký hiệu đó mô tả cùng một phép toán chỉ khi các biến độc lập của chúng tương ứng.

Đối với các ứng dụng, hãy giải thích ý nghĩa của tốc độ hoặc giá trị tích lũy trong mô hình đã nêu. Tốc độ thay đổi thể tích âm là -3 cm³/s có nghĩa là thể tích đang giảm ở tốc độ đó, chứ không phải bản thân thể tích mang giá trị âm.

Đạo hàm là tốc độ thay đổi: $y$ thay đổi nhanh thế nào khi $x$ thay đổi. Về mặt hình học nó là hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm.

Giới hạn đó chính là định nghĩa. Vi phân từ các nguyên tắc cơ bản sử dụng thương sai phân cho h khác không và sau đó lấy giới hạn của nó. Các giới hạn một bên không bằng nhau, chẳng hạn như đối với $|x|$ tại zero, ngăn chặn đạo hàm ngay cả khi hàm số liên tục.

• Quy tắc lũy thừa, trên tập xác định mà lũy thừa có đạo hàm: nếu $y = x^n$ thì $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• Quy tắc tích: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Quy tắc thương, nơi $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Quy tắc chuỗi: nếu $y = f(g(x))$ thì $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Điểm dừng xảy ra nơi $f'(x) = 0$. Đạo hàm bậc hai sau đó phân loại một điểm dừng khi nó khác không: âm tính cho cực đại cục bộ maximum và dương tính cho cực tiểu cục bộ minimum. Đạo hàm bậc hai bằng không là không xác định; hãy sử dụng dấu của đạo hàm hoặc bằng chứng khác. Một điểm uốn dừng có thể không phải là cực trị.

Ví dụ minh họa. hệ số góc tiếp tuyến khác với hệ số góc dây cung

Đã biết: $f(x)=x^2$. Dây cung giữa x bằng 1 và 2 có hệ số góc là 3, nhưng đạo hàm tại x bằng 1 là 2.

Hệ số góc trung bình trên một khoảng hữu hạn không nhất thiết bằng hệ số góc tức thời tại bất kỳ đầu mút nào.

Sử dụng trang thực hành gốc 3.1 để kiểm tra phương pháp, tập xác định và cách diễn giải so với lời giải của nó.

Tích phân bất định tìm nguyên hàm. Tích phân xác định đo lường sự tích lũy có dấu, điều này có thể khác với diện tích hình học. Đối với hàm dưới dấu tích phân liên tục, định lý cơ bản của giải tích liên kết tích phân xác định với hiệu của các giá trị nguyên hàm tại các cận.

• Một tích phân bất định không có cận và cần hằng số tích phân : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ cho $n \neq -1$.
• Một tích phân xác định có cận và cho ra một con số: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Tích phân theo phương pháp đổi biến đảo ngược quy tắc chuỗi.
• ⚠ Quên $+c$ trong một tích phân bất định là lỗi mất điểm phổ biến nhất trong mô-đun, và nó bị mất ở những câu hỏi mà bạn đã trả lời đúng về mặt khác.

Ví dụ minh họa. diện tích âm và dương có thể triệt tiêu lẫn nhau

Đã biết: $f(x)=x$ từ -1 đến 1. Tích phân xác định của nó bằng 0 vì phần đóng góp âm và dương triệt tiêu lẫn nhau.

Diện tích hình học thay vào đó cộng lại độ lớn của hai vùng tam giác.

Sử dụng trang thực hành gốc 3.2 để kiểm tra phương pháp, tập xác định và cách diễn giải so với lời giải của nó.

• Tối ưu hóa tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng: viết đại lượng dưới dạng hàm số của một biến trên tập xác định khả thi đã nêu, lấy đạo hàm, tìm các ứng viên và biện minh cho tối ưu hóa yêu cầu. Kiểm tra các biên bao gồm và ràng buộc số nguyên khi phù hợp.
• Các tốc độ thay đổi nối tiếp nhau: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Diện tích giữa hai đường cong là $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ nơi $f$ là đường cong trên cùng在整个区间。如果它们的顺序改变，则在交点处拆分。
• Chi phí biên và doanh thu biên là đạo hàm của các mô hình chi phí và doanh thu liên tục đã nêu. Chúng là các tốc độ tức thời, không tự động là các thay đổi rời rạc chính xác theo đơn vị.

Ví dụ minh họa. chu vi cố định khiến diện tích trở thành biến số

Đã biết: hình chữ nhật có chu vi 20, nên tổng chiều dài và chiều rộng là 10. Gọi chiều rộng là x; chiều dài là $10-x$ và $0.

Ứng viên dừng là $x=5$. Vì $A''(x)=-2<0$ và diện tích tiến tới 0 ở cả hai đầu tập xác định, ứng viên này là cực đại toàn cục. Nó là hình vuông 5x5 với diện tích 25.

Sử dụng trang thực hành gốc 3.3 để kiểm tra phương pháp, tập xác định và cách diễn giải so với lời giải của nó.