IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨Xem trước danh sách⁩

GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance · ⁨GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính⁩

GAC Mathematics · ⁨Toán học GAC⁩ · Topic 2 · ⁨Chủ đề 2⁩

Train · ⁨Luyện tập⁩
2.1

What this module is, and how it is marked · ⁨Mô-đun này là gì và cách chấm điểm⁩
English

A cheaper headline rate need not produce the cheaper total, and a larger survey need not produce a more representative result. Mathematics II uses explicit rules, calculations and evidence limits to examine such questions.

GAC010 covers sequences, finance, probability and statistics. Your centre's current brief determines assessment tasks, weights, tools and deadlines. A test 测验, projects 项目, an examination 考试 and coursework 平时作业 may use different instructions; these original practice sheets do not establish their official pattern or university credit.

Show the known data, why the formula applies, the symbolic equation and the substitution. State the unit and interpret the result. A statistical summary describes a defined set of observations or a stated model; it does not automatically establish a cause or a whole-population finding.

All financial amounts, rates, fees and pay rules in the examples are invented teaching conditions. Use their stated timing and rounding assumptions rather than assuming an actual tax or lending rule.

Tiếng Việt

Tỷ lệ tổng thể thấp hơn không nhất thiết dẫn đến tổng chi phí thấp hơn, và một khảo sát lớn hơn không nhất thiết tạo ra kết quả đại diện hơn. Toán học II sử dụng các quy tắc cụ thể, phép tính và giới hạn bằng chứng để xem xét các câu hỏi như vậy.

GAC010 bao gồm dãy số, tài chính, xác suất và thống kê. Chương trình hiện tại của trung tâm bạn sẽ quyết định nhiệm vụ đánh giá, trọng số, công cụ và thời hạn. Một bài kiểm tra, dự án, bài thi và bài tập trên lớp có thể sử dụng các hướng dẫn khác nhau; các tờ thực hành gốc này không thiết lập mẫu chính thức hay tín chỉ đại học cho chúng.

Trình bày dữ liệu đã biết, lý do áp dụng công thức, phương trình ký hiệu và phép thay thế. Nêu đơn vị và diễn giải kết quả. Một tóm tắt thống kê mô tả một tập quan sát xác định hoặc một mô hình được nêu rõ; nó không tự động thiết lập nguyên nhân hay kết luận về toàn bộ quần thể.

Tất cả các khoản tiền, tỷ lệ, phí và quy tắc thanh toán trong các ví dụ là điều kiện giảng dạy giả định. Hãy sử dụng các giả định về thời điểm và làm tròn được nêu rõ thay vì giả định một quy tắc thuế hoặc vay thực tế nào.

2.1

Sequences and series · ⁨Dãy số và cấp số⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 1 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

Module purpose: On completion of this module, students should be able to apply a basic knowledge of the principles of probability and statistics to solving and analysing common financial problems.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.1: Solve problems using arithmetic and geometric sequences and series.

Tiếng Việt

Đơn vị 1 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Mục tiêu mô-đun: Sau khi hoàn thành mô-đun này, học sinh sẽ có khả năng áp dụng kiến thức cơ bản về các nguyên lý xác suất và thống kê để giải quyết và phân tích các vấn đề tài chính thông thường.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.1: Giải các vấn đề bằng cách sử dụng dãy số cấp số cộng, cấp số nhân và các series tương ứng.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English

A sequence 数列 is an ordered list of numbers; a series 级数 is their sum.

An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed common difference 公差 $d$ each step. A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed common ratio 公比 $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • The sums are $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ and $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ for $r \neq 1$.
  • A geometric series with $|r| < 1$ has a sum to infinity 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Keep a term separate from a total. Some financial models compound geometrically, while others use simple interest or cash flows. Match the model to the specified rule.

Worked example. row counts differ by a constant amount

Known: row counts are 4, 7 and 10, continuing with the same difference. Thus $a=4$ and $d=3$. For the fifth row:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

For the first five rows together, use the arithmetic sum, not the fifth term.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Practice sheet 2.1 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt

Một dãy số là một danh sách các số theo thứ tự; một cấp số là tổng của chúng.

Một dãy số cộng thêm một công sai cố định $d$ ở mỗi bước. A dãy số nhân nhân với một công bội cố định $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • Tổng là $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ và $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ cho $r \neq 1$.
  • Một cấp số nhân với $|r| < 1$ có tổng vô hạn $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Giữ một số hạng riêng biệt khỏi tổng. Một số mô hình tài chính tăng trưởng theo cấp số nhân, trong khi những mô hình khác sử dụng lãi đơn hoặc dòng tiền. Hãy khớp mô hình với quy tắc đã chỉ định.

Ví dụ có lời giải. số lượng hàng khác nhau một lượng không đổi

Ba hàng chứa 4, 7 và 10 chấm, minh họa cho sự chênh lệch không đổi là 3.

Đã biết: số lượng hàng là 4, 7 và 10, tiếp tục với cùng độ chênh lệch. Do đó $a=4$ và $d=3$. Đối với hàng thứ năm:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

Đối với năm hàng đầu tiên, hãy dùng tổng cấp số cộng, không phải số hạng thứ năm.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Tờ thực hành 2.1 cung cấp một bộ bài tập ngày càng khó hơn kèm lời giải chi tiết.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
test/test/ kiểm thử
projects/ˈprɒdʒekts/ dự án
examination/eɡˌzæmɪˈneɪʃn/ bài kiểm tra
coursework/ˈkɔːsjuːɜːk/ bài tập trên lớp
sequence/ˈsiːkwəns/ dãy (sequence)
series/ˈsɪəriːz/ nối tiếp
arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ cấp số cộng
common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ công sai
geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ cấp số nhân
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ công bội
sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ tổng vô hạn
Gross pay/ɡrəʊs peɪ/ Lương gross (lương trước thuế)
net pay/net peɪ/ lương net
deductions/dɪˈdʌkʃnz/ khoản khấu trừ
Simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ Lãi suất đơn
Depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ Khấu hao
discount/ˈdɪskaʊnt/ chiết khấu
present value/ˈprezənt ˈvæljuː/ giá trị hiện tại
annuity/əˈnjuːɪti/ tiền trả đều
loan repayment/ləʊn rɪˈpeɪmənt/ trả nợ vay
2.2

Finance: earning money and purchasing goods · ⁨Tài chính: kiếm tiền và mua hàng hóa⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 2 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Tiếng Việt

Đơn vị 2 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.2: Áp dụng các phương pháp đại số để giải các vấn đề tài chính và phân tích thông tin.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English

This unit is the arithmetic of an ordinary life, in English.

  • Gross pay 税前工资 is what you earn; net pay 税后工资 is what arrives after deductions 扣除项 such as tax and insurance.
  • Simple interest 单利 is $I = Prt$ — interest on the original amount only.
  • Compound interest is $A = P(1+r)^n$ — interest on the interest, which is why it is geometric.
  • Depreciation 折旧 is a reduction in recorded value. A fixed-percentage model uses $V_n=V_0(1-r)^n$; other depreciation conventions can use different rules.
  • A discount 折扣 of 20% multiplies by 0.8. Two successive discounts of 20% and 10% multiply by $0.8 \times 0.9 = 0.72$, which is a 28% reduction, not 30%.

Worked example. calculate regular and overtime hours separately

Known: 8 hours at 20 units per hour and 2 overtime hours at 1.5 times that rate. Separate the two categories before adding pay.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

If the invented fixed deduction is 15 units, take it from gross pay once.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Practice sheet 2.2 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt

Đơn vị này là phép tính cơ bản của cuộc sống thường nhật, bằng tiếng Anh.

  • Thu nhập gộp là những gì bạn kiếm được; thu nhập ròng là những gì nhận được sau khi trừ đi các khoản như thuế và bảo hiểm.
  • Lãi đơn là $I = Prt$ — lãi chỉ tính trên số tiền gốc.
  • Lãi kép là $A = P(1+r)^n$ — lãi tính trên lãi, vì vậy nó là cấp số nhân.
  • Suy giảm giá trị là sự giảm xuống của giá trị ghi sổ. Mô hình phần trăm cố định sử dụng $V_n=V_0(1-r)^n$; các quy ước suy giảm giá trị khác có thể sử dụng các quy tắc khác.
  • Chiết khấu 20% tương đương nhân với 0.8. Hai lần chiết khấu liên tiếp 20% và 10% được nhân với $0.8 \times 0.9 = 0.72$, đây là mức giảm 28%, không phải 30%.

Ví dụ có lời giải. tính giờ làm việc bình thường và giờ quá giờ riêng biệt

Bảng lương mẫu chia tách 8 giờ làm việc bình thường từ 2 giờ quá giờ, với các mức lương tương ứng.

Đã biết: 8 giờ làm việc bình thường với 20 đơn vị tiền lương/giờ và 2 giờ làm thêm với 1.5 lần mức lương đó. Tách riêng hai loại này trước khi cộng tổng tiền lương.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

Nếu khoản trừ cố định giả định là 15 đơn vị, hãy trừ nó khỏi thu nhập gộp một lần duy nhất.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Tờ thực hành 2.2 cung cấp một bộ bài tập ngày càng khó hơn kèm lời giải chi tiết.

2.3

Finance: investing money and loans · ⁨Tài chính: đầu tư tiền và vay nợ⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 3 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Tiếng Việt

Đơn vị 3 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.2: Áp dụng các phương pháp đại số để giải các vấn đề tài chính và phân tích thông tin.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English
  • Under a stated constant discount rate and timing assumption, the present value 现值 of a future amount is: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • An annuity 年金 has specified payments at regular intervals. A loan repayment 贷款还款 schedule may instead have changing amounts or an adjusted final payment; specify whether interest comes before or after payment.
  • The label APR 年利率 is an annual rate measure whose calculation and included charges depend on the stated convention. This sheet uses explicitly defined period rates, not an unstated APR convention.
  • ⚠ A nominal 12% teaching rate with monthly rate 1% has effective annual growth $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. A different compounding frequency or fee schedule needs a different calculation.

Worked example. interest then payment, in that order

Known: opening balance 1000 units, period rate 2%, end-of-period payment 300 units. Interest comes before payment under this stated convention.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

The next period's interest uses 720, not the original principal.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Practice sheet 2.3 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt
  • Dưới một tỷ lệ chiết khấu cố định và giả định thời điểm được nêu rõ, giá trị hiện tại của một khoản tiền trong tương lai là: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • Tiền trả góp có các khoản thanh toán được chỉ định ở các khoảng thời gian đều đặn. Một lịch trả nợ có thể lại có các khoản thay đổi hoặc khoản thanh toán cuối cùng được điều chỉnh; hãy chỉ định rõ lãi phát sinh trước hay sau khoản thanh toán.
  • Nhãn APR là một thước đo tỷ lệ hàng năm mà cách tính và các khoản phí bao gồm phụ thuộc vào quy ước được nêu rõ. Tờ này sử dụng các tỷ lệ kỳ được xác định rõ ràng, không phải quy ước APR chưa được nêu.
  • Tỷ lệ giảng dạy danh nghĩa 12% với tỷ lệ hàng tháng 1% có tốc độ tăng trưởng thực tế hàng năm là $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. Tần suất lũy kế hoặc biểu phí khác đòi hỏi một phép tính khác.

Ví dụ có lời giải. lãi trước rồi mới thanh toán, theo thứ tự đó

Luồng tiền trong kỳ vay lấy số dư mở đầu là 1000, cộng thêm 2% lãi, rồi trừ đi khoản thanh toán 300.

Đã biết: số dư mở đầu 1000 đơn vị, tỷ lệ kỳ 2%, thanh toán cuối kỳ 300 đơn vị. Lãi phát sinh trước khoản thanh toán theo quy ước được nêu này.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

Lãi của kỳ tiếp theo sử dụng 720, không phải gốc ban đầu.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Tờ thực hành 2.3 cung cấp một bộ bài tập ngày càng khó hơn kèm lời giải chi tiết.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
APR/ˌeɪ piː ˈɑː/ lãi suất thực tế hàng năm (APR)
2.4

Probability: key concepts · ⁨Xác suất: các khái niệm cốt lõi⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 4 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.3: Solve problems using probability and counting techniques.

Tiếng Việt

Đơn vị 4 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.3: Giải các vấn đề bằng cách sử dụng xác suất và kỹ thuật đếm.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English

Probability 概率 measures how likely an event is, on a scale from 0 to 1.

  • For equally likely outcomes, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • Events are mutually exclusive 互斥 when they cannot both happen: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • Events are independent 独立 when one does not affect the other: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • The complement 对立事件 rule, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, is often the fastest route to an answer containing "at least one".
  • Counting techniques 计数方法 supply the denominator: a permutation 排列 counts ordered selections, a combination 组合 counts unordered ones.

Conditional probability is $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ for $P(B)>0$. A union subtracts its overlap: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Association in a supplied table does not by itself establish a cause.

Worked example. a second draw depends on the first

Known: two red and one blue counter, two random draws without replacement. To get two reds, follow the red-red path and multiply its conditional probabilities.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

A first blue leaves only red counters; the blue-blue path has probability zero. The draws are not independent.

Practice sheet 2.4 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt

Xác suất đo lường khả năng xảy ra của một biến cố, trên thang đo từ 0 đến 1.

  • Đối với các kết quả đồng khả năng, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • Các biến cố tương hỗ (không thể xảy ra đồng thời) khi chúng không thể cùng xảy ra: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • Các biến cố độc lập khi một biến không ảnh hưởng đến biến còn lại: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • Quy tắc phản đề, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, thường là cách nhanh nhất để đưa ra đáp án chứa "ít nhất một".
  • Kỹ thuật đếm cung cấp mẫu số: một số hoán vị đếm các lựa chọn có thứ tự, một số tổ hợp đếm các lựa chọn không có thứ tự.

Xác suất có điều kiện là $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ cho $P(B)>0$. Một hợp trừ đi phần giao: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Sự liên hệ trong bảng được cung cấp không tự thiết lập nguyên nhân.

Ví dụ có lời giải. lần rút thứ hai phụ thuộc vào lần đầu

Cây xác suất hai lần rút từ túi có hai quân đỏ và một quân xanh dương, không hoàn lại, gắn nhãn xác suất có điều kiện cho lần rút thứ hai.

Đã biết: hai quân đỏ và một quân xanh dương, hai lần rút ngẫu nhiên không hoàn lại. Để có hai quân đỏ, hãy đi theo đường red-red và nhân các xác suất có điều kiện của nó.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

Một lần rút đầu tiên là màu xanh dương chỉ còn lại các quân màu đỏ; đường blue-blue có xác suất bằng 0. Các lần rút không độc lập.

Tài liệu thực hành 2.4 cung cấp một bộ bài tập tăng dần độ khó kèm lời giải chi tiết.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
Probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ Xác suất
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ tách biệt
independent/ˌɪndɪˈpendənt/ độc lập
complement/ˈkɒmplɪmənt/ phần bù
Counting techniques/ˈkaʊntɪŋ tekˈniːks/ kỹ thuật đếm
permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ hoán vị
combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ sự kết hợp
2.5

Statistics: collecting and displaying data · ⁨Thống kê: thu thập và trình bày dữ liệu⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 5 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Tiếng Việt

Đơn vị 5 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.4: Phân tích dữ liệu đã thu thập bằng các phương pháp thống kê.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English
  • A population 总体 is everyone you want to describe; a sample 样本 is who you actually measure.
  • Generalising to a population needs a suitably representative 有代表性的 sample and an honest account of selection and nonresponse. A class survey can describe that class without establishing a school-wide percentage.
  • Qualitative data 定性数据 are categories; quantitative data 定量数据 measure amounts, either discrete 离散 (counted) or continuous 连续 (measured).
  • Bias 偏差 enters through who you ask, who answers, and how the question is worded, and arithmetic alone does not repair missing or systematically selected observations.

Worked example. equal bar heights can conceal unequal frequencies

Known: class 0 to 10 has frequency 20; class 10 to 30 has frequency 20. Widths differ, so calculate frequency density.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

The second bar is half as high but twice as wide. Both areas represent 20 observations.

Practice sheet 2.5 gives a progressively harder set with worked solutions.

For unequal-width histogram classes, height is frequency divided by class width so that bar area represents frequency. Keep categories in separated bars and numeric continuous intervals in a histogram.

Tiếng Việt
  • Dân số (Population) là toàn bộ đối tượng bạn muốn mô tả; mẫu (Sample) là những đối tượng mà bạn thực sự đo lường.
  • Khái quát hóa cho dân số cần một mẫu đại diện phù hợp và báo cáo trung thực về quá trình chọn mẫu và tỷ lệ không phản hồi. Một cuộc khảo sát lớp học có thể mô tả chính lớp đó mà không cần thiết lập tỷ lệ phần trăm trên toàn trường.
  • Dữ liệu định tính (Qualitative data) là các danh mục; dữ liệu định lượng (Quantitative data) đo lường giá trị số, bao gồm cả dữ liệu rời rạc (discrete) (đếm được) hoặc dữ liệu liên tục (continuous) (đo lường).
  • Độ lệch chuẩn (Bias) xuất hiện thông qua việc ai được hỏi, ai trả lời, và cách câu hỏi được đặt ra; chỉ riêng phép tính toán học không thể khắc phục việc thiếu dữ liệu hoặc các quan sát bị chọn lọc có hệ thống.

Ví dụ minh họa. chiều cao cột bằng nhau có thể che giấu tần số không tương đương

Biểu đồ histogram có các khoảng từ 0 đến 10 và từ 10 đến 30 với mật độ lần lượt là 2 và 1; diện tích của mỗi khoảng đại diện cho tần số 20.

已知: class 0 to 10 has frequency 20; class 10 to 30 has frequency 20. Widths differ, so calculate frequency density.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

Cột thứ hai thấp hơn một nửa nhưng rộng gấp đôi. Cả hai diện tích đều đại diện cho 20 quan sát.

Tài liệu thực hành 2.5 cung cấp một bộ bài tập tăng dần độ khó kèm lời giải chi tiết.

Đối với các nhóm histogram có độ rộng không bằng nhau, chiều cao là tần số chia cho độ rộng nhóm để diện tích cột đại diện cho tần số. Giữ các danh mục trong các cột tách biệt và các khoảng liên tục nằm trong biểu đồ histogram.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ dân số
sample/ˈsæmpl/ mẫu
representative/ˌreprɪˈzentətɪv/ đại diện
Qualitative data/ˈkwɒlɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ dữ liệu định tính
quantitative data/ˈkwɒntɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ dữ liệu định lượng
discrete/dɪˈskriːt/ rời rạc
continuous/kənˈtɪnjuːəs/ liên tục
Bias/ˈbaɪəs/ Thiên kiến
2.6

Statistics: measures of central location · ⁨Thống kê: các thước đo vị trí trung tâm⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 6 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Tiếng Việt

Đơn vị 6 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.4: Phân tích dữ liệu đã thu thập bằng các phương pháp thống kê.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English
  • The mean 平均数 is the total divided by the count. It uses every value, and every outlier.
  • The median 中位数 is the middle value in order. Moving an extreme value without changing the ordered middle may leave it unchanged.
  • The mode 众数 is the most frequent value, and it can identify the most frequent category without imposing a numerical scale. A distribution may have more than one mode or no unique mode.
  • ⚠ Choose the summary for the question. A high extreme can pull the mean above the median. The mean still measures total per observation; the median locates the ordered middle. Neither says that most observations equal it.

Worked example. group size determines a combined mean

Known: group A has 10 scores with mean 60; group B has 20 with mean 75. Recover each group's total before combining.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

The unweighted mean of 60 and 75 would be 67.5, which ignores the unequal counts.

Practice sheet 2.6 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt
  • Trung bình cộng (Mean) là tổng chia cho số lượng. Nó sử dụng mọi giá trị, và mọi giá trị ngoại lai.
  • Median (Trung vị) là giá trị ở giữa khi sắp xếp theo thứ tự. Di chuyển một giá trị cực đoan mà không thay đổi thứ tự ở giữa có thể khiến nó không đổi.
  • Mode (Mốt) là giá trị xuất hiện nhiều nhất, và nó có thể xác định danh mục phổ biến nhất mà không áp đặt thang đo số. Một phân phối có thể có nhiều hơn một mode hoặc không có mode duy nhất.
  • ⚠ Chọn loại số liệu tóm tắt phù hợp với câu hỏi. Một giá trị ngoại lai cao có thể kéo trung bình cộng lên trên trung vị. Trung bình cộng vẫn đo lường tổng per quan sát; trung vị xác định vị trí ở giữa theo thứ tự. Không cái nào nói rằng hầu hết các quan sát đều bằng nó.

Ví dụ minh họa. kích thước nhóm quyết định trung bình cộng gộp

Hai nhóm đóng góp các tổng khác nhau: 10 học sinh có trung bình 60, và 20 học sinh có trung bình 75.

已知: group A has 10 scores with mean 60; group B has 20 with mean 75. Recover each group's total before combining.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

Trung bình cộng không trọng số của 60 và 75 sẽ là 67.5, điều này bỏ qua sự chênh lệch về số lượng.

Tài liệu thực hành 2.6 cung cấp một bộ bài tập tăng dần độ khó kèm lời giải chi tiết.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
mean/miːn/ trung bình
median/ˈmiːdiːən/ trung vị
mode/məʊd/ mật độ
2.7

Statistics: measures of variability · ⁨Thống kê: các thước đo độ biến thiên⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 7 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Tiếng Việt

Đơn vị 7 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.4: Phân tích dữ liệu đã thu thập bằng các phương pháp thống kê.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English
  • The range 全距 is the largest minus the smallest — the full span, so an extreme can change it substantially.
  • The interquartile range (IQR) 四分位距 is the difference $Q_3-Q_1$ spanning the central half by the stated quartile convention. A box plot 箱线图 shows quartiles and a median, with whisker rules that must be specified.
  • The standard deviation 标准差 summarises spread using squared deviations. For a complete population, use: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. A sample estimate uses $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ under that stated convention. Variance has squared units; standard deviation has the original units.
  • A larger standard deviation means a wider spread. Two data sets can share a mean and describe completely different situations.

Worked example. read a five-number summary rather than every observation

Known five-number summary: minimum 2, $Q_1=4$, median 6, $Q_3=8$, maximum 12. The overall span and middle-half span are different.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

The box does not identify every original value, the sample size or why the spread arose.

Practice sheet 2.7 gives a progressively harder set with worked solutions.

For sheet 2.7, quartiles are medians of ordered half-lists, excluding the overall median for an odd count. Whiskers run to the minimum and maximum. Do not mix that convention with software interpolated quartiles or outlier-fence whiskers.

Tiếng Việt
  • Phạm vi (Range) là giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất — toàn bộ phạm span, do đó một giá trị cực đoan có thể làm thay đổi nó đáng kể.
  • Khoảng tứ phân vị (IQR) là sự chênh lệch $Q_3-Q_1$ bao phủ nửa phần trung tâm theo quy ước tứ phân vị đã nêu. Biểu đồ hộp (Box plot) hiển thị các tứ phân vị và median, với các quy tắc râu (whiskers) phải được quy định rõ.
  • Độ lệch chuẩn (Standard deviation) tóm tắt độ phân tán sử dụng các sai số bình phương. Đối với một dân số hoàn chỉnh, hãy dùng: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. Một ước lượng mẫu sử dụng $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ theo quy ước đã nêu. Phương sai có đơn vị bình phương; độ lệch chuẩn có đơn vị gốc.
  • Độ lệch chuẩn lớn hơn có nghĩa là độ phân tán rộng hơn. Hai bộ dữ liệu có thể có cùng trung bình cộng và mô tả hoàn toàn các tình huống khác nhau.

Ví dụ minh họa. đọc tóm tắt năm số thay vì từng quan sát riêng lẻ

Biểu đồ hộp từ giá trị tối thiểu đến tối đa đánh dấu giá trị tối thiểu 2, tứ phân vị đầu 4, median 6, tứ phân vị thứ ba 8 và giá trị tối đa 12.

Đã biết tóm tắt năm số: giá trị nhỏ nhất 2, $Q_1=4$, trung vị 6, $Q_3=8$, giá trị lớn nhất 12. Phạm vi toàn bộ và phạm vi giữa là khác nhau.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

Hộp không xác định được từng giá trị gốc, kích thước mẫu hay lý do tại sao độ phân tán lại xảy ra.

Tài liệu thực hành 2.7 cung cấp một bộ bài tập tăng dần độ khó kèm lời giải chi tiết.

Đối với tài liệu 2.7, các tứ phân vị là trung vị của các nửa danh sách đã sắp xếp, loại trừ trung vị tổng thể nếu số lượng là số lẻ. Râu kéo dài đến giá trị tối thiểu và tối đa. Đừng kết hợp quy ước này với tứ phân vị nội suy phần mềm hoặc râu hàng rào ngoại lai.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
range/reɪndʒ/ tập giá trị
interquartile range (IQR)/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ miền tứ phân vị (IQR)
box plot/bɒks plɒt/ đồ thị hộp
standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ độ lệch chuẩn
2.8

Distributions: the normal distribution · ⁨Phân phối: phân phối chuẩn⁩
Syllabus · ⁨Chương trình⁩
English

Unit 8 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.5: Use the normal distribution to analyse data.

Tiếng Việt

Đơn vị 8 trong tổng số 8 đơn vị của GAC010 Toán học II: Xác suất, Thống kê và Tài chính (Cấp độ II). Mô-đun được giảng dạy trong khoảng 40 giờ học trên lớp cộng với 20 giờ tự học, và được đánh giá tại trung tâm giảng dạy dưới sự giám sát của ACT — không có kỳ thi ngoài.

Các kết quả học tập mà đơn vị này hướng tới:

Mục tiêu học tập GAC010.5: Sử dụng phân phối chuẩn để phân tích dữ liệu.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Nguồn: Chương trình Cambridge International⁩

English
  • The normal distribution 正态分布 is a continuous symmetric bell-shaped model specified by its mean and positive standard deviation. Those two summaries alone do not establish that observed data follow this model.
  • Under a normal model, the approximate empirical rule is: about 68% of values lie within one standard deviation of the mean, 95% within two, and 99.7% within three.
  • A z-score 标准分 says how many standard deviations a value sits from the mean: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, which is what makes two different scales comparable.

For a normal model, use cumulative area $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ and symmetry $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. An interval subtracts its two cumulative bounds. Expected count is sample size times probability and need not be an integer; an observed count is an integer.

Worked example. a threshold is an area beyond a standardised value

Known: an invented measurement model has $\mu=50$ and $\sigma=10$. For values above 60, standardise the threshold.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Use the complement of the supplied cumulative area.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

This is a model probability, not a guarantee that exactly 15.87% of a finite sample exceeds 60.

Practice sheet 2.8 gives a progressively harder set with worked solutions.

Tiếng Việt
  • Phân phối chuẩn (Normal distribution) là một mô hình hình chuông liên tục đối xứng được xác định bởi trung bình cộng và độ lệch chuẩn dương. Chỉ riêng hai số liệu tóm tắt này chưa đủ để khẳng định dữ liệu quan sát tuân theo mô hình này.
  • Theo mô hình chuẩn, quy tắc thực nghiệm xấp xỉ là: khoảng 68% các giá trị nằm trong một độ lệch chuẩn so với trung bình, 95% trong hai, và 99.7% trong ba.
  • Z-score (Giá trị Z) cho biết một giá trị nằm cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, điều này giúp hai thang đo khác nhau trở nên so sánh được.

Đối với mô hình chuẩn, hãy dùng diện tích lũy phân $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ và tính đối xứng $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Một khoảng lấy hiệu của hai cận lũy phân của nó. Số quan sát mong đợi là kích thước mẫu nhân với xác suất và không nhất thiết phải là số nguyên; số quan sát thực tế là một số nguyên.

Ví dụ minh họa. ngưỡng là diện tích vượt quá một giá trị chuẩn hóa

Đường cong chuẩn hóa tiêu chuẩn đánh dấu z bằng 1 và tô đậm vùng đuôi phải vượt qua điểm đó.

已知: an invented measurement model has $\mu=50$ and $\sigma=10$. For values above 60, standardise the threshold.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Sử dụng phần bù của diện tích lũy phân được cung cấp.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

Đây là xác suất mô hình, không phải đảm bảo rằng đúng 15.87% của một mẫu hữu hạn vượt quá 60.

Tài liệu thực hành 2.8 cung cấp một bộ bài tập tăng dần độ khó kèm lời giải chi tiết.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩
English Tiếng Việt
normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ phân phối chuẩn
z-score/zed skɔː/ tỷ số z

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

More topics in GAC Mathematics · ⁨Toán học GAC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong GAC Mathematics · ⁨Toán học GAC⁩⁩

Log in or create account · ⁨Đăng nhập hoặc tạo tài khoản⁩

IGCSE, A-Level & AP