5 · Vectors and transformation geometry

4MA1 chủ đề 5 (phiên bản quy trình Issue 2, tháng Mười Một 2017). Foundation 5.2 là bốn phép biến đổi kèm mô tả đầy đủ; 5.1 (vectors) chỉ dành cho cấp độ cao và kéo dài từ ký hiệu đến tổng hợp, độ lớn và các chứng minh hình học đơn giản. Trong kỳ thi Higher tháng Sáu 2024 câu hỏi về vector (2HR Q25) là bài hoàn thiện mẫu A/A*: một chuỗi các điểm biểu diễn bằng $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$, sau đó tìm tỷ lệ chưa biết $k$ thông qua viết cùng một vector theo hai cách độc lập.

Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 5:

Một véc-tơ có cả độ lớn và hướng (một ** vô hướng** chỉ có kích thước). Viết nó in đậm $\mathbf{a}$, gạch dưới, hoặc như $\overrightarrow{OA}$; dưới dạng vector cột $\dbinom{3}{-5}$ — sang ngang, rồi lên trên. Bội số vô hướng làm co giãn: $2\mathbf{a}$ là gấp đôi dài và song song; $-\mathbf{a}$ đảo ngược hướng; $\tfrac12\mathbf{a}$ rút ngắn một nửa.

Phép cộng là đầu nối đuôi: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — lộ trình quan trọng hơn điểm dừng. Đảo ngược vector bằng cách đổi dấu: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Véc-tơ hợp của nhiều đoạn thẳng là véc-tơ đơn nhất từ điểm đầu đến điểm cuối: với $\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AB} = 2\mathbf{b}$ và $\overrightarrow{BC} = 2\mathbf{c}$ (ví dụ trong chính tài liệu hướng dẫn),

Mô-đun (độ lớn) của $\dbinom{x}{y}$ là độ dài theo định lý Pythagoras: $\sqrt{x^2 + y^2}$, nên $\left\lvert \dbinom{3}{-5} \right\rvert = \sqrt{34} \approx 5.83$. Column-vector arithmetic is componentwise: $\dbinom{2}{5} + \dbinom{-1}{3} = \dbinom{1}{8}$.

Chứng minh véc-tơ thể hiện mối quan hệ song song hoặc độ dài bằng một nửa bằng cách viết CÙNG một véc-tơ theo hai cách.

trung điểm của đường chéo $OABC$. Chứng minh rằng các đường chéo chính phân nhau. $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$; $M$ là trung điểm của đường chéo $OB$. Chứng minh rằng các đường chéo chính phân nhau.

Đường chéo: $\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (lộ trình $O \to A \to B$, vì $\overrightarrow{AB} = \mathbf{c}$ trong hình bình hành). Vậy $\overrightarrow{OM} = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c})$. Từ $A$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = -\mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a})$. But the other đường chéo có $\overrightarrow{AC} = -\mathbf{a} + \mathbf{c} = \mathbf{c} - \mathbf{a}$, nên $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\overrightarrow{AC}$: $M$ là trung điểm của $AC$ cũng vậy. Cả hai đường chéo đều chung trung điểm — bị chia đôi. ✓

Họ câu hỏi 2HR tháng Sáu 2024 Q25 yêu cầu hai điều: một véc-tơ như $\tfrac85\mathbf{a} + \tfrac35\mathbf{b}$ dưới dạng đơn giản nhất, sau đó một ẩn số $k$ cho một điểm trên đường thẳng, tìm được bằng cách viết một vector theo hai cách độc lập và đặt các hệ số của $\mathbf{a}$ và của $\mathbf{b}$ bằng nhau. Dưới đây là phương pháp đầy đủ trong một ví dụ gốc.

Ví dụ có lời giải: tìm tỷ lệ chưa biết. Trong tam giác $OAB$, $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $P$ nằm trên $AB$ với $AP : PB = 1 : 2$, và $M$ là trung điểm của $OB$. Các đường thẳng $OP$ và $AM$ cắt nhau tại $Q$. Tìm $OQ : OP$.

Đầu tiên, $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$, do đó $\overrightarrow{OP} = \mathbf{a} + \tfrac13(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}$. $Q$ is on $OP$, nên $\overrightarrow{OQ} = k\left(\tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}\right)$ với một $k$ nào đó.

$Q$ cũng nằm trên $AM$, nơi $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}$, nên $\overrightarrow{OQ} = \mathbf{a} + \lambda\left(\tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}\right) = (1 - \lambda)\mathbf{a} + \tfrac{\lambda}{2}\mathbf{b}$ for some $\lambda$.

Đồng nhất các hệ số: $\mathbf{a}$: $\tfrac23 k = 1 - \lambda$, và $\mathbf{b}$: $\tfrac13 k = \tfrac12\lambda$, nên $\lambda = \tfrac23 k$. Khi đó $\tfrac23 k = 1 - \tfrac23 k$, giving $k = \tfrac34$ (and $λ = \tfrac12$). So $OQ : OP = 3 : 4$, và $Q$ cũng là trung điểm của $AM$. Đừng bao giờ giả sử một điểm là trung điểm; hãy gán cho nó một ký hiệu ($k$, $\lambda$) và đồng nhất.

Một phép quay cần tâm, góc và hướng (ngược chiều kim đồng hồ là dương, theo chiều kim đồng hồ là âm); một phép đối xứng cần một đường trục đối xứng ($x = 1$, $y = 2$, $y = x$, $y - x = 0$); một tịnh tiến cần khoảng cách và hướng, viết dưới dạng ma trận cột $\dbinom{a}{b}$. Các phép quay, phản xạ và tịnh tiến giữ nguyên độ dài và góc, nên hình ảnh bằng nhau với hình ban đầu.

Quy tắc tọa độ cho các trường hợp nhanh: phản xạ qua trục $x$: $(x, y) \to (x, -y)$; trục $y$: $(x, y) \to (-x, y)$; trong $y = x$: $(x, y) \to (y, x)$; quay $90°$ ngược chiều kim đồng hồ quanh $O$: $(x, y) \to (-y, x)$; quay $180°$: $(x, y) \to (-x, -y)$; tịnh tiến theo $\dbinom{a}{b}$: $(x, y) \to (x+a, y+b)$. Vẽ lại giấy sẽ làm phần còn lại — nhưng MÔ TẢ phải nêu rõ mọi yếu tố cần thiết.

Ví dụ minh họa: hai phép biến đổi thành một. Tam giác $T$ có các đỉnh $(1, 1)$, $(3, 1)$ và $(1, 2)$. Phản xạ $T$ qua $y = x$, sau đó phản xạ ảnh qua trục $x$. Mô tả phép biến đổi đơn thực hiện cả hai việc trên.

Xét một điểm bất kỳ: $(x, y) \to (y, x)$ trong $y = x$, sau đó $(y, x) \to (y, -x)$ đối với trục $x$. Vậy $(1, 1) \to (1, -1)$, $(3, 1) \to (1, -3)$ và $(1, 2) \to (2, -1)$. Quy tắc $(x, y) \to (y, -x)$ là một phép quay $90°$ theo chiều kim đồng hồ quanh $(0, 0)$. Cả ba — ảnh tương tự, không bằng nhau. Một mô tả đầy đủ phải nêu rõ "di chuyển" đều không nhận điểm nào.

Một phép phóng đại được xác định bởi một tâm phóng đại và một hệ số phóng đại dương (bao gồm phân số, có hoặc không đánh dấu tâm): $(x, y) \to (kx, ky)$ quanh gốc tọa độ. Phóng đại giữ nguyên góc nhưng KHÔNG giữ nguyên độ dài — hình ảnh tương tự, không bằng nhau. Một mô tả đầy đủ phải nêu rõ phép biến hình và mọi tham số: "quay, $90°$ ngược chiều kim đồng hồ quanh $(0, 1)$"; "phản xạ qua đường thẳng $y = x$"; "tịnh tiến theo $\dbinom{3}{-2}$"; "phóng đại, hệ số phóng đại 2, tâm $(1, 1)$". Bỏ sót tâm hoặc hướng sẽ bị mất điểm.

• Sử dụng ký hiệu vectơ, vectơ cột, bội vô hướng và cộng/trừ từng thành phần (H 5.1 A–D).
• Tìm lực resultant dọc theo lộ trình; đảo ngược bằng cách đổi dấu (H 5.1 F).
• Tính模 (độ lớn) bằng định lý Pythagoras (H 5.1 E; ví dụ cụ thể (3, −5) → √34).
• Chứng minh trung điểm, song song và tỷ lệ bằng cách viết một vectơ theo hai cách độc lập — tuyệt đối không giả sử là trung điểm (H 5.1 G; tháng Sáu 2024 2HR Q25).
• Quay, phản xạ và tịnh tiến, sử dụng vectơ cột cho phép tịnh tiến; nêu việc bảo toàn tính bằng nhau (F 5.2 A–I).
• Phóng to với tâm và hệ số phóng (bao gồm phân số); mô tả đầy đủ phép biến đổi (F 5.2 J–M).

Ghi chú biên: các vectơ ở mức này nằm trong hai chiều với hệ số phóng dương chỉ; hệ số phóng âm thuộc về phần học sau. Thí sinh Foundation gặp 5.2 chỉ. Các ví dụ có lời giải được điều chỉnh từ đề cao cấp tháng Sáu 2024 đã xem xét hoặc nguyên bản (xem bằng chứng đánh giá của meta); câu hỏi trên tờ giấy là nguyên bản trừ khi có nhãn.