Từ một túi đá đến một ngôi sao
Một túi đá, một cây cầu lắc lư và một ngôi sao xa xôi đều liên quan đến năng lượng. Đơn vị này kết nối chuyển động phân tử, biến đổi hạt nhân, dao động và quan sát thiên văn. Nhiệm vụ thường là kiểm chứng một tuyên bố, không chỉ tính toán một con số: nêu mô hình, giữ đơn vị trong suốt phép tính, sau đó so sánh kết quả của bạn với tuyên bố đó.
WPH15 bao gồm các phát biểu 125–171 của Vấn đề Pearson 3. Nó cũng sử dụng Các Unit 1, 2 và 4. Làm qua các tờ 5.1–5.9 trước bộ thật tương ứng. Sử dụng các hằng số cung cấp nhất quán: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ và $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ trừ khi câu hỏi đưa ra giá trị địa phương khác. Ở đây $k_B$ là hằng số Boltzmann; $k_s$ ký hiệu cho hằng số lò xo.
Sưởi ấm, biến đổi pha và hiệu chuẩn nhiệt điện trở
Theo dõi năng lượng, không chỉ theo dõi nhiệt độ
Nội năng là tổng năng lượng trong chuyển động ngẫu nhiên và tương tác của các phân tử: động năng ngẫu nhiên cộng với thế năng liên phân tử. Nó loại bỏ động năng của cả vật thể di chuyển cùng nhau. Nhiệt độ liên quan đến động năng ngẫu nhiên trung bình của phân tử, không phải nội năng tổng cộng. Hai mẫu ở cùng nhiệt độ có thể có nội năng khác nhau vì lượng chất và trạng thái của chúng khác nhau.
Nhiệt dung riêng $c$ là năng lượng cần thiết mỗi kilogram để tăng nhiệt độ lên một kelvin mà không thay đổi trạng thái. Nhiệt ẩn riêng $L$ là năng lượng truyền qua mỗi kilogram trong một quá trình biến đổi trạng thái cụ thể ở nhiệt độ không đổi.
Mức chênh lệch nhiệt độ $1\ ^\circ\mathrm C$ bằng mức chênh lệch $1\ \mathrm K$. Nhiệt độ tuyệt đối trong các định luật khí và bức xạ phải dùng kelvin. Trong quá trình nóng chảy hoặc sôi, năng lượng thay đổi cấu trúc phân tử và thế năng trong khi nhiệt độ không đổi trong biến đổi pha áp suất không đổi lý tưởng. Một túi đá hấp thụ năng lượng từ thực phẩm/môi trường xung quanh khi nó tan chảy. Nó không gửi “năng lượng lạnh” vào thực phẩm.
Ở công suất gia nhiệt không đổi, độ dốc đường cong nhiệt độ – thời gian càng lớn nghĩa là $mc$ càng nhỏ, miễn là tổn thất nhiệt là không đáng kể. Một đoạn ngang không có nghĩa là quá trình truyền năng lượng đã dừng lại. Đối với máy sưởi, năng lượng đầu vào là $E_{\rm in}=Pt=VIt$; năng lượng nhiệt hữu ích có thể nhỏ hơn vì năng lượng thoát ra môi trường xung quanh.
Ví dụ minh họa. Một khối băng mass $0.40\ \mathrm{kg}$ ở nhiệt độ $-10\ ^\circ\mathrm C$ tan thành nước ở nhiệt độ $0\ ^\circ\mathrm C$. Sử dụng $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ và $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Đã biết: khối lượng, nhiệt độ ban đầu/cuối cùng và hằng số vật liệu. Tại sao: làm nóng chất rắn và tan chảy là hai quá trình truyền năng lượng riêng biệt.
Ví dụ minh họa. Một máy sưởi power $1000\ \mathrm W$ đun sôi bay hơi $0.20\ \mathrm{kg}$ nước trong thời gian $600\ \mathrm s$. Tìm hiệu suất, sử dụng $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Đối với các lần đổ nước ấm bình thủy tinh lặp lại, hãy tính tổng thể tích nước, số lần đổ và tổng thời gian hoạt động. So sánh năng lượng trong cùng khoảng thời gian đã nêu. Tổn thất chờ đợi trong một ngày và năng lượng cần thiết để đun sôi nước là các đại lượng khác nhau; hãy nêu rõ một phép so sánh cụ thể thực sự xác định điều gì.
CP12: hiệu chỉnh bộ điều nhiệt
Một nhiệt điện trở có điện trở thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt điện trở hệ số nhiệt âm (NTC) thông thường giảm điện trở khi bị nung nóng. Trong bộ chia điện áp:
Với nhiệt điện trở là điện trở phía dưới và điện áp đầu ra đo trên nó, việc làm nóng sẽ làm giảm điện áp đầu ra. Hoán vị các điện trở sẽ đảo ngược xu hướng đó. Bộ điều nhiệt đóng/ngắt ở ngưỡng đầu ra đã chọn; bản thân bộ chia điện áp không phải là thiết bị chuyển mạch hoàn chỉnh.
Đối với thực hành cốt lõi 12, đặt nhiệt điện trở và nhiệt kế chuẩn gần nhau trong bồn nước khuấy. Giữ các tiếp điểm điện khô ráo và cách điện. Ở nhiều nhiệt độ khác nhau trong phạm vi dự kiến, hãy đợi cân bằng nhiệt và ghi lại nhiệt độ cùng điện áp bộ chia. Giữ nguyên điện áp nguồn và điện trở cố định. Sử dụng vôn kế trở kháng đầu vào cao để giảm tải. Vẽ đồ thị đầu ra theo nhiệt độ và nội suy điện áp cho nhiệt độ chuyển mạch đã chọn. Lặp lại số đo hoặc so sánh quá trình làm nóng/làm nguội để phát hiện độ trễ. Đừng giả định hiệu chuẩn tuyến tính nếu không có bằng chứng. Sử dụng điện áp thấp và cẩn thận với nước nóng.
CP13: đo nhiệt ẩn
Cung cấp công suất điện đã đo cho vật liệu trong quá trình chuyển pha. Đo khối lượng tan chảy hoặc bay hơi trong khoảng thời gian xác định sau khi điều kiện ổn định. Cân đo sự thay đổi khối lượng; không nhầm lẫn thể tích chất lỏng thu được với khối lượng. Nếu không hiệu chỉnh tổn thất, $L=VIt/\Delta m$ giả sử toàn bộ năng lượng cung cấp đều gây ra sự chuyển pha.
Một phép hiệu chỉnh hữu ích là so sánh hai mức công suất ở cùng một nhiệt độ chuyển pha ổn định. Nếu công suất thất thoát nhiệt xấp xỉ không đổi, việc lấy hiệu hai phép đo sẽ loại bỏ phần thất thoát này:
Nêu rõ giả thiết thất thoát không đổi. Một phép đo kiểm soát nóng chảy mà không có bộ gia nhiệt là phương pháp hiệu chỉnh khác khả thi trong thí nghiệm đá thích hợp. Giảm thất thoát nhiệt bằng cách dùng vật liệu cách nhiệt nơi an toàn; tránh văng nước, bề mặt nóng và các kết nối nguồn điện không an toàn.
Khí lý tưởng và động năng phân tử
Kelvin và mô hình khí lý tưởng
Nhiệt độ tuyệt đối là $0\ \mathrm K$, khoảng $-273\ ^\circ\mathrm C$. Đây là giới hạn dưới của nhiệt độ nhiệt động lực học. Trong mô hình khí lý tưởng cổ điển, động năng tịnh tiến trung bình tiến tới zero khi nhiệt độ tiến tới zero. Khí thực ngưng tụ trước khi đạt đến giá trị ngoại suy đó; không khẳng định rằng phân tử trong mọi vật liệu thực đều mất hoàn toàn năng lượng có thể.
Nhiệt độ tuyệt đối được đo bằng kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ với độ chính xác thường dùng ở đây. Khí lý tưởng bao gồm các hạt có thể tích không đáng kể, không có lực tương tác giữa các phân tử trừ trong va chạm đàn hồi, và chuyển động ngẫu nhiên. Áp suất phát sinh từ sự thay đổi động lượng tại thành bình.
Ở đây $N$ là số phân tử, không phải số mol. Sử dụng áp suất tính bằng pascal, thể tích tính bằng mét khối và nhiệt độ tính bằng kelvin. Với số phân tử không đổi:
Ở thể tích không đổi, áp suất tỉ lệ thuận với nhiệt độ kelvin. Ở nhiệt độ không đổi, $pV$ là hằng số. Bao gồm áp suất môi trường nếu đồng hồ đo báo áp suất tương đối với khí quyển.
Ví dụ giải. Một bình $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ cứng chứa khí ở $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ và $300\ \mathrm K$. Tìm $N$ và áp suất sau khi làm nóng lên $360\ \mathrm K$.
Nếu một phân tử có khối lượng $m_0$, tổng khối lượng khí là $Nm_0$. Đối với hình cầu, trước hết tìm $V=4\pi r^3/3$; bán kính bằng một nửa đường kính.
Suy diễn mối liên hệ năng lượng phân tử
Mối quan hệ áp suất của thuyết động học là $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, trong đó $\langle c^2\rangle$ là tốc độ bình phương trung bình. Nó suy ra từ sự thay đổi động lượng đàn hồi tại thành bình và chuyển động bình phương trung bình như nhau theo ba phương vuông góc. Tốc độ bình phương root (RMS) là $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; nó không phải là bình phương của tốc độ trung bình.
Đối với hình lập phương cạnh $l$, một phân tử có thành vận tốc $c_x$ làm thay đổi động lượng thành bình một lượng $2m_0c_x$ trong mỗi va chạm đàn hồi. Thời gian quay trở lại cùng thành đó là $2l/c_x$. Do đó lực trung bình của nó là $m_0c_x^2/l$. Tổng hợp trên tất cả các phân tử và chia cho diện tích thành $l^2$:
Chuyển động ngẫu nhiên phân bố đều theo các phương vuông góc, nên $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Điều này dẫn đến mối quan hệ áp suất ở trên. Đẳng thức hai biểu thức cho $pV$, triệt tiêu $N$, sau đó sắp xếp lại:
Ở cùng một nhiệt độ, các loại khí khác nhau có cùng động năng tịnh tiến trung bình, nhưng phân tử nhẹ hơn có tốc độ RMS lớn hơn. Nếu tốc độ gấp đôi ở cùng nhiệt độ, khối lượng phân tử là một phần tư. Làm nóng tăng động năng phân tử trung bình; nó không khiến mọi phân tử có cùng tốc độ.
CP14: áp suất và thể tích ở nhiệt độ không đổi
Giữ cố định một lượng khí trong xi-lanh hoặc trụ đo chuẩn được nối với cảm biến áp suất. Kiểm tra độ chuẩn và sử dụng áp suất tuyệt đối. Bao gồm thể tích chết của ống nối nếu đáng kể. Thay đổi thể tích dần dần, chờ đợi sau mỗi lần thay đổi để nhiệt độ trở về nhiệt độ môi trường, sau đó ghi lại nhiều cặp áp suất–thể tích. Không để khí bị rò rỉ. Đồ thị $p$ theo $1/V$ nên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong khoảng sai số. Đường cong $p$–$V$ không phải là đường thẳng. Tránh áp suất quá cao và đảm bảo các kết nối chắc chắn. Nén nhanh làm nóng khí và phá vỡ điều kiện nhiệt độ không đổi dự kiến.
Năng lượng liên kết, phân hạch và tổng hợp hạt nhân
Độ hụt khối là sự chênh lệch năng lượng
Một hạt nhân chứa $Z$ proton và $A-Z$ neutron. Khối lượng của nó nhỏ hơn tổng khối lượng các nucleon tự do này. Độ hụt khối tương ứng với năng lượng liên kết cần thiết để tách hoàn toàn hạt nhân thành các nucleon tự do:
Ở đây $c_0$ là tốc độ ánh sáng, khác với nhiệt dung riêng. Đơn vị khối lượng nguyên tử thống nhất là $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Chuyển đổi tất cả khối lượng về cùng một đơn vị trước khi trừ. Khối lượng hạt nhân và khối lượng nguyên tử trung hòa không thể hoán đổi cho nhau nếu không tính đến electron một cách nhất quán. Sử dụng các giá trị khối lượng mà đề bài cung cấp.
Ví dụ có hướng dẫn. Một hạt nhân có độ hụt khối $0.030\ \mathrm u$ và $A=4$. Tìm năng lượng liên kết trên mỗi nucleon.
Tại sao cả phản ứng tổng hợp và phân hạch đều có thể giải phóng năng lượng
Đường cong năng lượng liên kết trên mỗi nucleon tăng nhanh ở các hạt nhân nhẹ, đạt cực đại gần sắt/niken, sau đó giảm dần ở các hạt nhân nặng. Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon cao hơn thường có nghĩa là các nucleon bị liên kết chặt chẽ hơn. Chính giá trị dọc (trục tung) chứ không chỉ số khối mới quan trọng khi so sánh các điểm.
Phản ứng tổng hợp hạt nhân kết hợp các hạt nhân nhẹ. Phân hạch hạt nhân chia một hạt nhân nặng thành các sản phẩm nhỏ hơn, thường kèm theo neutron. Năng lượng được giải phóng khi tổng năng lượng liên kết của sản phẩm lớn hơn và tổng khối lượng nghỉ nhỏ hơn so với chất tham gia. Đối với một phản ứng, hãy tính hiệu khối lượng tổng cộng, không chỉ là sự chênh lệch giữa hai giá trị năng lượng liên kết trên mỗi nucleon. Tổng năng lượng được bảo toàn.
Tổng hợp hạt nhân đòi hỏi nhiệt độ rất cao để cung cấp đủ động năng cho các hạt nhân vượt qua lực đẩy tĩnh điện, và mật độ/không gian giam giữ cao để tạo ra đủ lần va chạm gần và duy trì việc giải phóng năng lượng. Nhiệt độ và mật độ đóng vai trò khác nhau. Chỉ nêu "áp suất cao" không giải thích được cơ chế passphrase lực đẩy.
Bức xạ nền và sự phân rã
Chọn bức xạ dựa trên tương tác của nó
Bức xạ alpha gồm hạt nhân heli: ion hóa mạnh, tầm ngắn và bị ngăn chặn bởi giấy hoặc vài cm không khí. Bức xạ beta gồm electron hoặc positron: ít ion hóa hơn, xuyên thấu tốt hơn, thường bị ngăn chặn bởi vài mm nhôm. Bức xạ gamma là sóng điện từ: ion hóa yếu nhưng xuyên thấu mạnh; chì hoặc bê tông làm giảm cường độ nhưng không tạo ra độ dày cắt ngang rõ rệt.
Trong buồng sương mù, vệt alpha dày chủ yếu do ion hóa mạnh, và tương đối thẳng vì hạt có khối lượng lớn so với hạt beta. Vệt beta mỏng hơn và dễ bị lệch hướng hơn. Đừng hoán đổi các lời giải thích này. Bức xạ beta có thể đo độ dày giấy vì một phần đi qua và một phần bị hấp thụ; thay đổi độ dày sẽ làm thay đổi tốc độ đếm truyền qua.
Trong phương trình hạt nhân, bảo toàn số nucleon và số hiệu nguyên tử. Phân rã beta-trừ biến neutron thành proton; số khối không đổi và số hiệu nguyên tử tăng thêm một. Bao gồm antineutrino khi cần thiết, như trong Đơn vị 4:
Phân rã alpha làm giảm $A$ xuống bốn đơn vị và $Z$ xuống hai đơn vị. Phát xạ gamma không làm thay đổi cả $A$ lẫn $Z$. Phương trình hạt nhân bảo toàn nhiều hơn hai đại lượng này: năng lượng và động lượng vẫn còn ý nghĩa.
Xác định đúng tín hiệu nền trước khi áp dụng mô hình
Bức xạ nền đến từ các nguồn như đá, tia vũ trụ và môi trường. Đo lường trong thời gian đủ dài khi không có nguồn thử nghiệm. Trừ tốc độ đếm nền khỏi mọi đọc số bao gồm nguồn và nền. Giữ nhất quán đơn vị thời gian đếm. Tốc độ đếm máy dò đã hiệu chỉnh tỷ lệ thuận với hoạt độ nguồn chỉ khi hình học và độ nhạy phát hiện không đổi; nó không tự động là hoạt độ tính bằng becquerel.
Ví dụ có hướng dẫn. Máy dò đọc được $62\ \mathrm{min^{-1}}$ tại khoảng cách $r$, bao gồm nền là $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Dự đoán tốc độ tổng hợp tại $2r$ đối với nguồn gamma đẳng hướng nhỏ với độ hấp thụ bỏ qua.
Không chia nền cho bốn: vì không phải toàn bộ nền đều đến từ nguồn thử nghiệm.
Sự kiện ngẫu nhiên, quần thể có thể dự báo
Phân rã phóng xạ là tự phát: một hạt nhân không bền phân rã mà không cần kích thích bên ngoài. Nó mang tính ngẫu nhiên: thời điểm chính xác cho từng hạt nhân riêng lẻ không thể dự đoán được. Một quần thể lớn có quy luật phân rã thống kê có thể dự báo được. Hoạt độ $A$ là số phân rã mỗi giây, đo bằng béc-ke-ri, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.
Hằng số phân rã $\lambda$ là xác suất phân rã trên một đơn vị thời gian của một hạt nhân. Thời gian bán rã $t_{1/2}$ là khoảng thời gian để quần thể chưa phân rã hoặc hoạt độ giảm đi một nửa về mặt trung bình.
Tại một thời gian bán rã, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Lấy logarit hai vế ta có:
Đường thẳng log-activity–time có hệ số góc $-\lambda$. Hãy lấy logarit của các tốc độ đã hiệu chỉnh, chứ không phải các giá trị đọc được bao gồm cả nền. Đọc nhiều khoảng thời gian bán rã từ đồ thị và lấy trung bình; hãy đo từ mức hoạt độ đã hiệu chỉnh, chứ không phải từ tổng số đếm bằng 0.
Ví dụ minh họa. Một nguồn phát có thời gian bán rã $3.0\ \mathrm{years}$. Khi nào hoạt độ sẽ giảm xuống còn $2.0\%$ so với giá trị ban đầu?
Hãy sử dụng một phân số, chứ không phải $2.0$ nằm trong logarit. Nếu tính công suất từ một nguồn phóng xạ, $P=A E_{\rm decay}$, với năng lượng mỗi phân rã tính bằng joule. Đây là công suất hạt nhân giải phóng; công suất điện hữu ích có thể nhỏ hơn. Chuyển đổi thời gian bán rã sang giây khi hoạt độ yêu cầu tính bằng béc-ke-ri.
CP15: sự hấp thụ tia gamma bởi chì
Giữ cố định vị trí nguồn phát, vật hấp thụ và máy đếm. Đo nền trước, sau đó đếm trong các khoảng thời gian bằng nhau và đã biết cho nhiều độ dày chì khác nhau. Lặp lại hoặc kéo dài thời gian đếm vì số đếm dao động. Trừ tốc độ nền trước khi so sánh sự truyền qua. Nếu mỗi độ dày bằng nhau đều gây ra sự giảm tỷ lệ như nhau, thì sự suy giảm là theo hàm mũ; đồ thị log速率 hiệu chỉnh theo độ dày sẽ xấp xỉ là đường thẳng. Ba lần độ dày bán giá trị sẽ truyền qua $1/8$, chứ không phải $1/3$.
Hằng số hấp thụ của vật liệu không phải là hằng số phân rã theo thời gian của nguồn phát. Tránh các giá trị đọc quá gần nền, nơi việc trừ đi tạo ra sai số tương đối lớn. Xử lý các nguồn phát bằng các dụng cụ được chỉ định dưới sự giám sát, giữ khoảng cách, giảm thiểu thời gian tiếp xúc và trả chúng vào lớp chắn. Tuyệt đối không chạm tay vào nguồn phát hay hướng nó về phía con người. Giữ cho việc xử lý chì sạch sẽ và rửa tay sau khi làm việc.
Chuyển động điều hòa đơn giản, đồ thị và năng lượng
Điều kiện lực hồi phục
Chuyển động điều hòa đơn giản (SHM) xảy ra khi gia tốc hợp thành tỉ lệ thuận với li độ so với vị trí cân bằng cố định và hướng về phía nó:
Dấu âm biểu thị hướng hồi phục. Tốc độ không đổi, lặp lại đơn thuần hay một lực chỉ hướng về tâm không đủ để thiết lập chuyển động điều hòa đơn giản. Đối với lò xo treo thẳng đứng, hãy đo $x$ từ vị trí cân bằng khi đã tải trọng. Trọng lượng đã được cân bằng tại đó; hợp lực đối với li độ là $-k_sx$.
Đối với việc thả từ li độ cực đại dương tại $t=0$:
Ở đây $A_0$ là biên độ, chứ không phải hoạt độ phóng xạ. Pha phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu được chọn; một li độ hình sin có thể mô tả cùng chuyển động đó với gốc tọa độ khác. Vi phân đồ thị: độ dốc li độ–thời gian là vận tốc, và độ dốc vận tốc–thời gian là gia tốc. Tại li độ cực đại, tốc độ bằng 0 và gia tốc hướng ngược về vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng, tốc độ đạt cực đại và gia tốc bằng 0.
Ví dụ minh họa. Đồ thị cho biết biên độ $0.030\ \mathrm m$ và chu kỳ $0.50\ \mathrm s$. Tìm vận tốc cực đại và gia tốc cực đại.
Hoặc tìm vận tốc cực đại từ tiếp tuyến của đồ thị li độ tại vị trí cân bằng. Chuyển centimet sang mét. Độ dốc thẳng âm $a$–$x$ là $-\omega^2$, nên lấy giá trị âm trước căn.
Chu kỳ và năng lượng
Đối với vật gắn lò xo lý tưởng và con lắc đơn ở góc nhỏ:
Chiều dài con lắc là từ điểm treo đến tâm quả nặng. Chu kỳ góc nhỏ không phụ thuộc vào khối lượng quả nặng. Tỷ số chu kỳ cho một lò xo không đổi là $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Sử dụng tổng khối lượng mới trước khi tìm khối lượng thêm vào.
Ví dụ minh họa. Một vật có khối lượng $0.50\ \mathrm{kg}$ có chu kỳ $0.80\ \mathrm s$. Việc thêm khối lượng làm tăng chu kỳ lên $1.00\ \mathrm s$ trên cùng một lò xo.
Đối với bộ dao động lò xo không tắt dần, năng lượng chuyển hóa giữa dạng thế đàn hồi và động năng:
Do đó đồ thị $E_k$–$x$ là parabol mở xuống: bằng không tại $\pm A_0$, đạt cực đại dương tại $x=0$. Đồ thị $E_p$–$x$ mở lên. Tổng của chúng không đổi trong mô hình không tắt dần. Trong hệ thống có tắt dần, năng lượng bị truyền ra ngoài nên biên độ giảm. Tổng năng lượng bao gồm cả môi trường xung quanh vẫn được bảo toàn.
CP16: suy luận khối lượng chưa biết từ cộng hưởng
Giữ nguyên hệ lò xo/chỗ đỡ. Treo nhiều quả nặng đã biết, kích thích bằng dao động nhỏ và thay đổi tần số để tìm biên độ ổn định lớn nhất cho mỗi quả nặng. Ghi lại tần số cộng hưởng, lặp lại chậm rãi quanh mỗi đỉnh. Với tắt nhẹ, nó xấp xỉ tần số riêng. Vẽ đồ thị $1/f^2$ theo tổng khối lượng đã biết; mô hình lò xo cho ta độ dốc $4\pi^2/k_s$. Sử dụng phép hiệu chuẩn để suy luận khối lượng chưa biết từ tần số cộng hưởng của nó.
Cần tính đến giá treo và, nơi đáng kể, khối lượng di chuyển hiệu dụng của lò xo. intercept khác không có thể đại diện cho đóng góp này; không bắt buộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ nếu không có cơ sở. Giữ biên độ nhỏ và dưới giới hạn đàn hồi. Cố định các quả nặng và giá đỡ, giữ chân tránh xa. Đo chu kỳ tự do có thể cung cấp sự so sánh độc lập hữu ích, nhưng bài thực hành yêu cầu sử dụng tần số cộng hưởng.
Dao động cưỡng bức, cộng hưởng và tắt dần
Dao động tự do xảy ra sau một kích thích ban đầu mà không cần lực điều khiển tuần hoàn liên tục. Dao động cưỡng bức được duy trì bởi lực điều khiển tuần hoàn; tần số ổn định của nó chính là tần số điều khiển. Tần số riêng là tần số của dao động tự do đối với hệ thống dưới các điều kiện nêu ra.
Cộng hưởng xảy ra khi tần số điều khiển bằng hoặc gần tần số riêng, dẫn đến truyền năng lượng hiệu quả và biên độ ổn định lớn. Nó không có nghĩa là “tần số tối đa”. Đối với hệ tắt nhẹ, đỉnh biên độ nằm gần tần số riêng không tắt. Tắt mạnh hơn làm giảm và mở rộng đỉnh; không trình bày mọi đỉnh tắt đều nằm chính xác tại tần số riêng không tắt.
Tắt dần truyền năng lượng ra khỏi dao động, ví dụ thông qua công cản làm tăng nhiệt năng của bộ giảm xóc và môi trường xung quanh. Tắt mạnh có thể giảm chuyển động nguy hiểm của cầu/nhà cửa. Biến dạng dẻo của vật liệu dẻo cũng hấp thụ năng lượng cơ học không thể đảo ngược; biến dạng đàn hồi thuần túy trả lại năng lượng dự trữ và không phải là cơ chế giống nhau.
Giải thích ví dụ. Người đi bộ cung cấp lực điều khiển tuần hoàn cho cây cầu. Nếu tần số của họ gần tần số riêng, năng lượng được truyền hiệu quả vào cầu và biên độ tăng lên. Bộ giảm xóc thực hiện công chống lại chuyển động, truyền năng lượng dao động sang dạng nhiệt, do đó biên độ ổn định bị giới hạn. Liên kết nguyên nhân và hệ quả theo thứ tự này thay vì liệt kê “cộng hưởng, năng lượng, tắt dần”.
Đối với cùng hình dạng và biên độ, việc thêm khối lượng vào con lắc nhẹ làm tăng năng lượng cơ học dự trữ trong khi chu kỳ góc nhỏ lý tưởng không đổi. Dưới điều kiện tổn thất cản tương đương, nó có thể mất một tỷ lệ năng lượng nhỏ hơn mỗi chu kỳ. So sánh tắt dần trong ngữ cảnh này không chứng minh rằng mọi bộ dao động nặng hơn luôn tắt chậm hơn.
Trường trọng lực và quỹ đạo
Trường và thế năng có ý nghĩa khác nhau
Trường trọng lực là vùng không gian mà tại đó một vật có khối lượng chịu tác dụng của lực. Cường độ trường trọng lực $g=F/m$ là lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng thử nghiệm. Nó là vector hướng về phía nguồn khối lượng cô lập. Định luật Newton áp dụng cho chất điểm, hoặc bên ngoài nguồn phân bố đối xứng cầu, là:
$r$ là khoảng cách từ tâm đến tâm, không phải độ cao so với bề mặt. Đối với chuyển động cục bộ gần Trái Đất, giá trị hằng số $g$ có thể phù hợp. Trên phạm vi khoảng cách radial lớn, nó không còn là hằng số.
Thế năng hấp dẫn là thế năng trên mỗi đơn vị khối lượng, với giá trị bằng không ở vô cực:
Thế năng là đại lượng vô hướng và mang giá trị âm tại khoảng cách hữu hạn. Di chuyển ra xa làm cho thế năng trở nên ít âm hơn, do đó thế năng tăng lên trong khi lực hút yếu đi. Giá trị đồ thị thế năng và bán kính tương ứng của nó cho $M=-Vr/G$.
Trường hấp dẫn và điện trường đều có dạng radial đối với các nguồn điểm cô lập và độ lớn lực của chúng tuân theo định luật bình phương nghịch đảo. Hấp dẫn tác động lên khối lượng và luôn hút trong mô hình này. Lực điện tác động lên điện tích và có thể hút hoặc đẩy. Hướng của điện trường tuân theo hướng của lực tác động lên điện tích thử dương; một điện tích âm sẽ bị đẩy ngược lại.
Ví dụ giải. Một vệ tinh $1000\ \mathrm{kg}$ di chuyển từ bán kính $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ đến $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ quanh Trái Đất, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Tìm độ biến thiên thế năng của nó.
Dấu dương là giá trị cuối trừ giá trị đầu. Đây không phải là tổng năng lượng phóng, vì động năng cũng có thể thay đổi. $mg\Delta h$ với bề mặt Surface恒定$g$ là không phù hợp trong khoảng cách này.
Suy luận quỹ đạo tròn
Lực hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm:
Khối lượng quay tròn triệt tiêu.Chu kỳ tăng theo bán kính. Để xuất hiện cố định trên một điểm của hành tinh đang quay, một vệ tinh cần có quỹ đạo tròn xích đạo, cùng hướng quay và tốc độ góc/ chu kỳ khớp nhau. Chỉ khớp chu kỳ thì chưa đủ.
Ví dụ giải. Đối với $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ và chu kỳ $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, tìm bán kính quỹ đạo tĩnh.
Trừ bán kính hành tinh chỉ khi được yêu cầu tính chiều cao so với bề mặt. Đối với trường bề mặt của một ngôi sao, hãy dùng bán kính của nó, không phải đường kính được liệt kê; kiểm chứng một tuyên bố về trường gấp nhiều lần trường Trái Đất bằng cách tính tỷ số.
Bức xạ sao, khoảng cách và sự tiến hóa
Nhiệt độ, độ sáng và cường độ nhận được
Một vật đen hấp thụ toàn bộ bức xạ điện từ tới và là một vật phát nhiệt lý tưởng. Phổ liên tục của nó có dạng đặc trưng. Khi nhiệt độ tăng, tổng công suất phát ra trên mỗi đơn vị diện tích tăng và dịch chuyển đỉnh bước sóng sang bước sóng ngắn hơn. Diện tích dưới đường cong cường độ phổ biểu diễn tổng cường độ chỉ khi có định nghĩa trục phổ thích hợp.
Độ sáng $L_\star$ là tổng công suất phát ra. Cường độ $I$ nhận được tại khoảng cách $d$ là công suất trên mỗi đơn vị diện tích thu. Đối với một ngôi sao vật đen hình cầu có bán kính $R$ phát ra đồng đều theo mọi hướng:
Diện tích đầu tiên là bề mặt phát; diện tích thứ hai là quả cầu thu mở rộng. Đừng thay thế khoảng cách quan sát vào diện tích bề mặt của ngôi sao. Các vật phát thực tế có thể không phải là vật đen hoàn hảo, và vật liệu trung gian có thể hấp thụ bức xạ.
Hằng số Wien được nêu để mô tả phổ trên mỗi đơn vị bước sóng. Một cực đại của phổ được vẽ theo mỗi đơn vị tần số không chuyển đổi thành cực đại bước sóng đó chỉ bằng cách thay $\lambda$ bằng $c_0/f$. Nếu bài thi đưa ra tần số tương ứng với đỉnh bước sóng đã cho, hãy chuyển đổi bước sóng đã cho đó bằng $c_0=f\lambda$. Đừng biến quy ước nhiệm vụ cụ thể này thành quy tắc chung cho mọi đồ thị phổ.
Ví dụ giải. Phổ bước sóng của một ngôi sao đạt cực đại tại $580\ \mathrm{nm}$ và bán kính của nó là $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Tìm nhiệt độ, độ sáng và cường độ tại $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.
Giữ nguyên nhiệt độ chưa làm tròn vì nó được nâng lên lũy thừa bốn. So sánh cường độ nhận được với tham chiếu đã nêu trước khi chấp nhận một tuyên bố về nhiệt độ hành tinh hoặc công suất.
Hai phương pháp đo khoảng cách
Thấu thị tam giác đo sự dịch chuyển góc biểu kiến của một ngôi sao gần so với các ngôi sao nền xa khi Trái Đất di chuyển quanh Mặt Trời. Các quan sát cách nhau sáu tháng sử dụng đường cơ là hai bán kính quỹ đạo Trái Đất. Góc thấu thị $p$ bằng một nửa độ dịch chuyển tổng cộng. Với các $p$ nhỏ (tính bằng radian), khoảng cách được tính theo $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Một parsec là khoảng cách tạo ra góc thấu thị $1$ giây cung; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Không sử dụng đường kính Trái Đất hoặc Mặt Trời làm đường cơ quỹ đạo.
Ở khoảng cách lớn, $p$ trở nên quá nhỏ để thiết bị có thể đo chính xác. Giới hạn này liên quan đến độ phân giải góc/độ bất định tương đối, không nhất thiết là do ngôi sao quá mờ để nhìn thấy.
Một nến chuẩn là một vật thể có độ sáng tuyệt đối đã biết. Xác định một nến chuẩn trong cụm sao, đo cường độ nhận được và áp dụng $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Độ sáng biểu kiến của nó không được giả định trước. Các sao biến Cepheid có mối quan hệ được hiệu chuẩn giữa chu kỳ và độ sáng tuyệt đối. Đo nhiều chu kỳ ánh sáng đầy đủ, chia cho số lượng chúng, đọc kỹ bảng hiệu chuẩn và chuyển đổi bất kỳ đơn vị nào từ độ sáng tuyệt đối Mặt Trời. Một đường thẳng trên trục logarit không tự động biểu thị mối quan hệ tuyến tính giữa các đại lượng gốc.
Ví dụ minh họa. Một nến chuẩn có $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ và cường độ nhận được là $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.
Đọc biểu đồ Hertzsprung–Russell
Biểu đồ Hertzsprung–Russell biểu diễn độ sáng tuyệt đối theo chiều dọc và nhiệt độ bề mặt theo chiều ngang, thường với nhiệt độ giảm dần sang phải và thang đo logarit. Dãy chính kéo dài từ các ngôi sao nóng, sáng ở góc trên bên trái đến các ngôi sao mát, mờ ở góc dưới bên phải. Siêu khổng lồ đỏ có nhiệt độ thấp nhưng độ sáng cao do diện tích bề mặt lớn. Lùn trắng có nhiệt độ cao nhưng độ sáng thấp do diện tích bề mặt nhỏ. Đánh dấu Mặt Trời gần mức độ sáng tuyệt đối 1 và khoảng $5800\ \mathrm K$ trên dãy chính.
Các ngôi sao hình thành khi lực hấp dẫn co rút một đám mây khí và bụi. Lõi nóng lên cho đến khi phản ứng tổng hợp hydro có thể duy trì một ngôi sao trên dãy chính; áp suất hướng ra cân bằng với lực hấp dẫn. Trong một ngôi sao giống Mặt Trời, hydro ở lõi cuối cùng cạn kiệt, phản ứng tổng hợp giảm đi và lực hấp dẫn co rút lõi. Nhiệt độ lõi tăng lên; sự đốt cháy hydro lớp vỏ và sau đó là phản ứng tổng hợp heli gắn liền với sự mở rộng thành siêu khổng lồ đỏ. Các lớp ngoài bị mất đi, để lại lõi lùn trắng không còn phản ứng tổng hợp bền vững. Nó nguội đi qua một thời gian rất dài. Mặt Trời sẽ không trở thành siêu tân tinh hay sao neutron.
Một ngôi sao có khối lượng lớn hơn nhiều có thể tổng hợp các nguyên tố nặng hơn thông qua các giai đoạn sau. Khi lõi của nó không còn thu năng lượng từ phản ứng tổng hợp, sự sụp đổ và siêu tân tinh có thể để lại sao neutron hoặc hố đen, tùy thuộc vào phần dư. Một ngôi sao trên dãy chính có khối lượng lớn có nhiều nhiên liệu hơn nhưng tiêu thụ nó nhanh hơn nhiều do lõi nóng hơn. Do đó, tuổi thọ trên dãy chính của nó có thể ngắn hơn. Hãy giải thích tốc độ phản ứng tổng hợp, không chỉ riêng lượng nhiên liệu. Lộ trình trên biểu đồ HR cho thấy sự thay đổi nhiệt độ/độ sáng tuyệt đối, không phải là một ngôi sao đang di chuyển qua không gian.
Sự dịch chuyển Doppler và vũ trụ học
So sánh cùng một vạch quang phổ
Hiệu ứng Doppler là sự thay đổi tần số/bó sóng quan sát được gây ra bởi chuyển động tương đối dọc theo đường ngắm. Các mặt sóng liên tiếp đến xa nguồn phát hơn khi nguồn di chuyển ra xa và đến gần nhau hơn khi nguồn di chuyển tới. Chuyển động ra xa tạo ra bó sóng dài hơn và tần số thấp hơn; chuyển động tới tạo ra bó sóng ngắn hơn và tần số cao hơn. Chuyển động hoàn toàn vuông góc với đường ngắm không phải là vận tốc rời xa trong mô hình đơn giản.
Đối với bức xạ điện từ ở tốc độ rời xa thấp:
Đỏ dịch $z$ mang giá trị dương khi nguồn phát ra xa. Đối với các dịch chuyển nhỏ, độ lớn của nó cũng xấp xỉ bằng độ giảm phân tử của tần số quan sát so với tần số phát ra. Nêu quy ước dấu: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ mang giá trị âm khi nguồn phát ra xa. Đừng đồng nhất hóa dịch đỏ dương với sự tăng tần số có dấu. Phép xấp xỉ $v/c_0$ không phải là công thức tương đối论 tốc độ cao tổng quát.
Ví dụ minh họa. Một vạch được phát ra ở $500\ \mathrm{nm}$ và được quan sát thấy ở $505\ \mathrm{nm}$.
Để sử dụng các vạch hấp thụ của một ngôi sao, hãy nhớ lại Đơn vị 2: photon chỉ bị hấp thụ khi năng lượng của chúng khớp với các mức năng lượng nguyên tử được cho phép. So sánh cùng một vạch quang phổ đã xác định, không phải hai nguyên tố khác nhau.
Đối với hai rìa đối diện của một ngôi sao đang quay, một bên di chuyển tới trong khi bên kia di chuyển ra xa. Nếu các dịch chuyển của chúng bằng nhau và ngược dấu, khoảng cách giữa hai bó sóng quan sát được sẽ gấp đôi độ dịch chuyển của mỗi rìa. Chia đôi khoảng cách này trước khi tìm vận tốc xích đạo. Sau đó áp dụng $T=2\pi R/v$. Điều này giả định rằng vận tốc rìa dọc theo đường ngắm quan sát được đại diện cho vận tốc quay xích đạo dưới điều kiện hình học quan sát nêu trên.
Định luật Hubble và giới hạn của nó
Ở các thang đo vũ trụ học lớn, tốc độ lùi xa xấp xỉ tuân theo định luật Hubble:
Hằng số Hubble $H_0$ có đơn vị là nghịch đảo của thời gian. Trong $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, chuyển đổi kilomet sang mét và megaparsec sang mét trước khi lấy nghịch đảo trong đơn vị giây. Các vật thể gần đó có thể có chuyển động cục bộ không tuân theo mối quan hệ quy mô lớn.
Ví dụ đã giải. Sử dụng $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ và $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ để ước tính thang thời gian giãn nở.
Nghịch đảo là thời gian Hubble. Việc diễn giải nó như một độ tuổi dựa trên mô hình cho tốc độ giãn nở trong quá khứ; đây không phải là độ tuổi chính xác độc lập với mô hình. Một $H_0$ lớn hơn sẽ dẫn đến thang thời gian nghịch đảo nhỏ hơn. Bằng chứng về sự giãn nở ủng hộ một vũ trụ đặc hơn, nóng hơn ở quá khứ; điều này không mô tả một vụ nổ vào không gian trung tâm-xung quanh vốn đã trống rỗng từ trước.
Vật chất tối được suy luận từ các hiệu ứng hấp dẫn mà chỉ riêng vật chất nhìn thấy không thể giải thích, chẳng hạn như sự quay và chuyển động của thiên hà. Nó không nhất thiết phải phát ra ánh sáng có thể phát hiện được. Lượng vật chất tạo ra lực hấp dẫn ảnh hưởng đến cách thức thay đổi của sự giãn nở, do đó sự bất định về thành phần vật chất và mô hình giãn nở sẽ ảnh hưởng đến các dự đoán về vận mệnh của vũ trụ. Đừng suy luận rằng chỉ riêng một phép đo $H_0$ duy nhất chứng minh sự giãn nở vĩnh viễn hoặc sự sụp đổ trong tương lai. Các mô hình hiện đại cũng xem xét năng lượng tối; kết quả 171 cụ thể đòi hỏi việc hiểu rõ tranh cãi liên quan đến $H_0$, vật chất tối, độ tuổi và vận mệnh, chứ không chỉ học thuộc lòng một dự đoán không điều kiện.
Tự kiểm tra
- Tại sao nội năng có thể tăng mà nhiệt độ không tăng trong quá trình biến đổi pha?
- Một lượng khí cố định bị làm nóng trong bình kín. Thang đo nhiệt độ nào bắt buộc phải được sử dụng để so sánh áp suất?
- Năng lượng liên kết mỗi nucleon cao hơn có nghĩa là cần ít hay nhiều năng lượng hơn để tách rời mỗi nucleon trên trung bình?
- Tại sao phải trừ nền trước khi sử dụng tỷ lệ đếm hoặc logarit?
- Đường thẳng $a$–$x$ có hệ số góc là $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Tìm tần số góc.
- Tại sao vận tốc cực đại của dao động điều hòa lại nằm tại vị trí cân bằng mặc dù gia tốc bằng không tại đó?
- Tại sao một cây cầu bị cản có thể bị tác động bởi ngoại lực cùng tần số nhưng dao động với biên độ nhỏ hơn?
- Việc nâng vệ tinh lên bán kính lớn hơn sẽ làm tăng hay giảm thế năng hấp dẫn có dấu của nó?
- Một ngôi sao rất nóng nhưng mờ. Vùng HR nào là khả thi, và yếu tố nào có thể giải thích độ sáng thấp của nó?
- Khi sử dụng độ phân tách bước sóng giữa hai bờ quay ngược chiều, tại sao cần một hệ số nhân đôi?
Đáp án: (1) thế năng phân tử thay đổi; (2) kelvin; (3) nhiều hơn; (4) nền không tuân theo quy luật phân rã/cách ly của nguồn; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) lực hồi phục tổng hợp bằng không tại đó nhưng năng lượng chủ yếu là động năng; (7) tổn thất năng lượng lớn hơn giới hạn biên độ ổn định; (8) tiến tới không; (9) sao lùn trắng, bề mặt phát xạ nhỏ; (10) một bờ bị dịch chuyển xanh trong khi bờ kia bị dịch chuyển đỏ.