Pearson Edexcel · International A-Level · Physics

Từ tín hiệu điện thoại đến pin

Điện thoại nhận sóng và sử dụng năng lượng điện. Hai loại năng lượng này có vẻ khác nhau, nhưng cả hai đều phụ thuộc vào sự truyền năng lượng. Sóng mang năng lượng mà không mang vật chất di chuyển theo. Một mạch điện truyền năng lượng thông qua dòng điện di chuyển.

Tài liệu tham khảo này bao gồm WPH12 Sóng và Điện, các tuyên bố chương trình 33–80. Thời gian làm bài là 90 phút và tổng điểm là 80. Sử dụng danh sách công thức để hỗ trợ lập luận. Giải thích tại sao phương trình phù hợp với tình huống, hiển thị các phép đổi đơn vị, và kết thúc so sánh bằng một kết luận.

Các đại lượng sóng và đồ thị

Một nguồn dao động lặp lại chuyển động của nó. Biên độ là độ lệch lớn nhất khỏi vị trí cân bằng. Vị trí cân bằng có nghĩa là vị trí nghỉ. Chu kỳ $T$ là thời gian cho một lần dao động hoàn toàn. Tần số $f$ là số lần dao động hoàn toàn mỗi giây; đơn vị của nó là hertz, Hz.

Bôn sóng $\lambda$ là khoảng cách giữa hai điểm gần nhất dao động cùng pha. Tốc độ sóng $v$ là tốc độ mà một pha cố định, chẳng hạn như đỉnh sóng, lan truyền. Nó không phải là tốc độ của một hạt dao động.

• Sóng ngang có các dao động vuông góc với phương truyền sóng. Dây thừng chuyển động lên xuống trong khi nhiễu loạn di chuyển dọc theo dây.
• Sóng dọc có các dao động song song với phương truyền sóng. Âm thanh có các vùng nén, nơi áp suất và mật độ cao hơn, và các vùng giãn, nơi chúng thấp hơn.
• Các phân tử không khí di chuyển qua lại quanh vị trí nghỉ của chúng. Chúng không di chuyển từ loa đến tai bạn cùng với âm thanh.

Đọc trục hoành trước

Đồ thị dịch chuyển – khoảng cách là một khung hình. Khoảng cách giữa các đỉnh lân cận cho biết $\lambda$. Đồ thị dịch chuyển – thời gian theo dõi một hạt. Khoảng cách giữa các đỉnh lân cận cho biết $T$. Cùng một hình dạng đường cong có thể đại diện cho cả hai loại đồ thị, nhưng các đại lượng là khác nhau.

Đối với sóng dọc, đồ thị áp suất – khoảng cách cho thấy các vùng nén tại cực đại áp suất. Đồ thị dịch chuyển phân tử – khoảng cách cho thấy dịch chuyển theo phương truyền sóng. Sự nén tối đa xảy ra nơi dịch chuyển thay đổi nhanh nhất về phía các phân tử lân cận. Cực đại áp suất và cực đại dịch chuyển không nằm ở cùng một vị trí; mẫu của chúng cách nhau một phần tư bước sóng trong sóng âm truyền sin.

Ví dụ minh họa. Micro ghi lại 12 chu kỳ hoàn chỉnh trong $0.030\ \text{s}$. Âm thanh truyền đi với tốc độ $340\ \text{m s}^{-1}$. Tìm tần số và bước sóng của nó.

• Đã biết: số chu kỳ, tổng thời gian và tốc độ. Tần số đếm số chu kỳ mỗi giây; phương trình sóng sau đó liên hệ tốc độ với bước sóng.
  $$f = \frac{N}{t} = \frac{12}{0.030\ \text{s}} = 400\ \text{Hz}$$
  $$v = f\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{400\ \text{Hz}} = 0.85\ \text{m}$$
• Kiểm tra: một chu kỳ mất $T=1/f=0.0025\ \text{s}$. Mười hai chu kỳ mất thời gian được nêu là $0.030\ \text{s}$.

Superposition và sóng dừng

Một mặt sóng nối các điểm có cùng pha. Pha mô tả giai đoạn của một chu kỳ dao động. Một chu kỳ hoàn toàn tương ứng với $360^\circ$ hoặc $2\pi$ radian.

Sự chồng chất có nghĩa là cộng các độ lệch của các sóng chồng lên nhau tại mỗi điểm. Giao thoa là sự gia cường hoặc triệt tiêu xảy ra. Nguồn kết hợp có cùng tần số và hiệu pha không đổi. Hiệu pha của chúng không nhất thiết phải bằng không.

Đối với các sóng có cùng bước sóng, hiệu pha gây ra bởi hiệu đường đi $\Delta x$ là:

Đối với nguồn ban đầu cùng pha, hiệu đường đi $0,\lambda,2\lambda,\ldots$ tạo ra giao thoa tăng cường. Hiệu đường đi bằng nửa số nguyên lần bước sóng tạo ra giao thoa triệt tiêu. Sự triệt tiêu hoàn toàn cũng cần biên độ bằng nhau. Nếu nguồn bắt đầu với một hiệu pha, hãy bao gồm cả nó vào.

Ví dụ có lời giải. Hai loa cùng pha phát ra sóng có bước sóng $0.80\ \text{m}$. Đường đi của chúng đến micro chênh lệch nhau $1.20\ \text{m}$.

• Đã biết: hiệu đường đi và bước sóng. Chuyển đổi hiệu đường đi thành số chu kỳ, sau đó chuyển sang pha.
  $$\Delta\phi = \frac{\Delta x}{\lambda}\,360^\circ = \frac{1.20}{0.80}\,360^\circ = 540^\circ$$
• $540^\circ$ tương đương với $180^\circ$. Các sóng đến ngược pha và giao thoa triệt tiêu. Âm thanh không nhất thiết trở nên im lặng nếu biên độ đến khác nhau.

Cách sóng dừng hình thành

Một sóng dừng hình thành khi hai sóng có cùng tần số và biên độ tương đối di chuyển theo hướng ngược nhau và chồng chất lên nhau. Sự phản xạ tại đầu dây cố định cung cấp sóng quay trở lại.

• Một nút sóng luôn có độ lệch bằng không. Một bụng sóng có biên độ dao động lớn nhất.
• Các nút sóng liền kề cách nhau $\lambda/2$. Một nút sóng và bụng sóng gần nhất cách nhau $\lambda/4$.
• Các điểm nằm giữa cùng một cặp nút sóng dao động cùng pha. Các điểm trong các đoạn lân cận dao động ngược pha.
• Tất cả các điểm có cùng tần số, ngoại trừ nút sóng không dao động. Biên độ phụ thuộc vào vị trí.
• Một sóng dừng lý tưởng không có sự truyền năng lượng ròng dọc theo nó. Sóng lan truyền mang năng lượng theo phương di chuyển của nó.

Đối với dây cố định ở cả hai đầu, chiều dài $L$ chứa một số nguyên $k$ lần bán bước sóng:

Ở đây $T$ là lực căng, không phải chu kỳ; $\mu$ là khối lượng trên đơn vị chiều dài tính bằng $\text{kg m}^{-1}$. Mode cơ bản có $k=1$. Ở mode cố định, tần số tăng theo $\sqrt{T}$, giảm theo $L$, và giảm theo $\sqrt{\mu}$.

Ví dụ có lời giải. Một sợi dây dài $0.60\ \text{m}$ có $\mu=1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1}$ và lực căng $24\ \text{N}$. Tìm tần số cơ bản của nó.

• Đã biết: chiều dài, lực căng và mật độ tuyến tính. Mode cơ bản vừa khít với nửa bước sóng giữa hai đầu cố định.
  $$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{24}{1.5\times10^{-3}}}\ \text{m s}^{-1} = 126\ \text{m s}^{-1}$$
  $$f = \frac{v}{2L} = \frac{126\ \text{m s}^{-1}}{2\times0.60\ \text{m}} = 105\ \text{Hz}$$
• Khi gấp đôi lực căng, tần số sẽ được nhân với $\sqrt{2}$, thay vì nhân với hai.

Sóng dừng trong ống kín

Trong sóng dừng âm thanh đơn giản nhất trong ống kín một đầu, đầu kín là nút dịch chuyển phân tử. Đầu mở xấp xỉ là bụng dịch chuyển. Điều này phù hợp với một phần tư bước sóng vào chiều dài hiệu dụng của ống, do đó $L_{effective}=\lambda/4$. Mẫu hình áp suất bị đảo ngược: đầu kín là bụng áp suất. Đừng gọi nút áp suất là nút dịch chuyển. Các ống thực tế có hệ số hiệu chỉnh nhỏ ở đầu mở; hãy sử dụng chiều dài hiệu dụng nếu đề bài cung cấp.

Ví dụ minh họa. Một ống kín có chiều dài hiệu dụng $0.20\ \text{m}$ và tần số cơ bản $425\ \text{Hz}$. Điều kiện biên cho $\lambda=4L=0.80\ \text{m}$; sau đó $v=f\lambda=425\times0.80=340\ \text{m s}^{-1}$. Thay vào đó, dây buộc hai đầu phù hợp với nửa bước sóng ở chế độ cơ bản. Hãy chọn từ các điều kiện biên, chứ không phải từ từ “sóng dừng”.

Thực hành cốt lõi 4: tốc độ âm thanh

Sử dụng máy phát tín hiệu, loa, micro di chuyển được và màn hình dao động hai chùm. Nối một kênh màn hình dao động với tín hiệu tham chiếu của máy phát và kênh kia với tín hiệu ra của micro. Cả hai đường ghi đều có cùng tần số.

1. Giữ tần số không đổi. Di chuyển micro dọc theo một đoạn đo lường ra xa khỏi loa. Tìm vị trí mà các đường ghi cùng pha.
2. Di chuyển đến một vị trí cùng pha khác. Các vị trí cùng pha liên tiếp cách nhau một bước sóng. Đo trên nhiều bước sóng và chia cho số lượng của chúng.
3. Đọc chu kỳ từ thang đo thời gian: đếm số ô ngang qua nhiều chu kỳ, sau đó chia. Tìm $f=1/T$ và sử dụng $v=f\lambda$.
4. Lặp lại các vị trí và tần số. Giữ micro trên trục của loa. Giảm âm thanh phản xạ bằng cách làm việc away from walls (xa tường). Đo vị trí từ điểm tham chiếu cố định của micro.

Đo nhiều bước sóng sẽ giảm sai số phần trăm trong khoảng cách. Đo nhiều chu kỳ cũng làm tương tự đối với thời gian. Thí nghiệm ống cộng hưởng cũng có thể đo tốc độ âm thanh, nhưng nó không thay thế thí nghiệm thực hành được chỉ định này.

Thực hành cốt lõi 5: dây rung

Sử dụng máy tạo rung được dẫn bởi máy phát tín hiệu. Chạy dây qua ròng rọc đến một khối treo. Lực căng khoảng $mg$ khi ma sát ròng rọc nhỏ. Tăng tần số cho đến khi xuất hiện mẫu sóng dừng rõ ràng.

• Khám phá lực căng: giữ $L$, $\mu$ và chế độ không đổi. Biến đổi khối treo. Vẽ đồ thị $f^2$ theo $T$; độ dốc cho chế độ cơ bản là $1/(4L^2\mu)$.
• Khám phá chiều dài: giữ lực căng, loại dây và chế độ không đổi. Vẽ đồ thị $f$ theo $1/L$.
• Khám phá mật độ tuyến tính: đo khối lượng và chiều dài của dây, $\mu=m/l$. Sử dụng các dây khác nhau với lực căng, chiều dài rung và chế độ không đổi. Vẽ đồ thị $f^2$ theo $1/\mu$.
• Đo chiều dài giữa các nút biên. Tìm cộng hưởng từ cả tần số cao hơn và thấp hơn rồi lặp lại. Cố định giá đỡ và tránh xa các khối rơi xuống.

Cường độ, khúc xạ và phân cực

Cường độ là công suất trên một đơn vị diện tích vuông góc với hướng truyền năng lượng:

Đơn vị của nó là $\text{W m}^{-2}$. Đối với bộ thu, công suất tới là $P=IA$. Công suất hữu ích nhỏ hơn nếu hiệu suất dưới 100%. Chuyển đổi diện tích cẩn thận: $1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2$.

Ví dụ minh họa. Cường độ bức xạ là $800\ \text{W m}^{-2}$ trên một tấm pin mặt trời $25\ \text{cm}^2$. Hiệu suất là 20%. Nó có thể cung cấp $0.50\ \text{W}$?

• Đã biết: cường độ, diện tích, hiệu suất. Trước hết tìm công suất tới, sau đó tính công suất hữu ích.
  $$P_{\text{in}} = IA = 800\ \text{W m}^{-2}\times25\times10^{-4}\ \text{m}^2 = 2.0\ \text{W}$$
  $$P_{\text{out}} = \eta P_{\text{in}} = 0.20\times2.0\ \text{W} = 0.40\ \text{W}$$
• $0.40\ \text{W}<0.50\ \text{W}$, do đó không thể cung cấp đủ công suất hữu ích yêu cầu.

Khúc xạ và phản xạ toàn phần

Khúc xạ là sự thay đổi hướng sóng khi tốc độ thay đổi tại mặt phân cách. Tia sáng đi dọc theo pháp tuyến sẽ thay đổi tốc độ mà không đổi hướng. Pháp tuyến vuông góc với mặt phân cách. Đo mọi góc của tia sáng từ pháp tuyến này.

Chỉ số khúc xạ $n$ so sánh tốc độ ánh sáng trong chân không $c$ với tốc độ trong vật liệu. Tần số giữ nguyên qua mặt phân cách, nên bước sóng thay đổi theo tốc độ. Khi vào môi trường có chỉ số khúc xạ cao hơn $n$, tia sáng bị bẻ về phía pháp tuyến; khi vào môi trường có chỉ số thấp hơn $n$, tia sáng bị bẻ ra xa pháp tuyến.

Phản xạ toàn phần yêu cầu truyền từ môi trường có chỉ số khúc xạ cao sang thấp và góc tới lớn hơn góc giới hạn $C$.

Tại $C$, góc khúc xạ là $90^\circ$; gọi góc tới lớn hơn $C$ là phản xạ toàn phần. Dưới $C$, một phần năng lượng thường bị phản xạ và một phần truyền qua. Sợi quang sử dụng lõi có chỉ số cao và vỏ bọc có chỉ số thấp. Tăng chỉ số của vỏ bọc sẽ làm tăng góc giới hạn và có thể ngăn chặn tia sáng previously bị phản xạ bị giam giữ.

Ví dụ minh họa. Ánh sáng truyền từ thủy tinh có chiết suất 1.50 vào không khí. Góc tới $45^\circ$ có tạo ra phản xạ toàn phần không?

• Đã biết: hai chỉ số khúc xạ và góc tới. Tính góc tại mặt phân cách trước khi so sánh.
  $$C = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right) = 41.8^\circ$$
• Ánh sáng truyền về phía chỉ số thấp hơn và $45^\circ>41.8^\circ$. Cả hai điều kiện đều thỏa mãn, nên phản xạ toàn phần xảy ra.

Đo chỉ số khúc xạ

Đặt khối trong suốt hình chữ nhật lên giấy và vẽ đường viền. Dùng chùm tia hẹp từ hộp tia. Đánh dấu hai điểm trên tia tới và hai điểm trên tia ló. Tháo khối và nối các điểm biên để tái tạo tia bên trong. Vẽ pháp tuyến tại điểm tới và dùng thước đo góc để đo góc tới $i$ và góc khúc xạ $r$.

Lặp lại với nhiều góc tới khác nhau, giữ nguyên cùng vật liệu và màu ánh sáng. Vẽ đồ thị $\sin i$ theo chiều dọc và $\sin r$ theo chiều ngang. Đối với ánh sáng từ không khí vào khối, hệ số góc chính là chỉ số khúc xạ của khối so với không khí. Sử dụng tam giác lớn trên đường phù hợp nhất. Chùm tia hẹp và các điểm đánh dấu tia tách xa nhau giúp giảm sai lệch định hướng. Các góc rất nhỏ gây ra sai lệch phần trăm góc lớn.

Phân cực phẳng

Phân cực phẳng giới hạn dao động ngang trong một mặt chứa phương truyền dẫn. Ánh sáng chưa phân cực có dao động trong nhiều mặt. Bộ phân cực truyền một hướng dao động. Xoay bộ phân cực thứ hai: các hướng truyền song song cho độ sáng tối đa; các hướng vuông góc lý tưởng cho bóng tối. Tia vẫn truyền tiến về phía trước; hướng dao động của nó thay đổi để chọn lọc.

Sóng dọc không thể phân cực phẳng vì dao động của chúng đã nằm dọc theo phương truyền. Do đó, hiện tượng phân cực là bằng chứng cho thấy ánh sáng là sóng ngang.

nhiễu xạ và xung-echo

Nhiễu xạ là sự lan tỏa của sóng tại khe hở hoặc mép. Sự lan tỏa lớn hơn khi độ rộng khe tương đương với bước sóng. Khe hở rộng vẫn bị nhiễu xạ ở các cạnh, nhưng sóng ở trung tâm lan tỏa ít hơn.

Trong xây dựng Huygens, mỗi điểm trên mặt sóng đóng vai trò là nguồn phát các sóng con. Vẽ các sóng con có bán kính bằng nhau sau cùng một khoảng thời gian. Đường tiếp tuyến chung phía trước của chúng tạo thành mặt sóng mới. Tại khe hẹp, chỉ một phần nhỏ của mặt sóng ban đầu cung cấp sóng con, nên các mặt sóng emerging lan rộng ra. Điều này giải thích hiện tượng lan rộng mà không cần giả thuyết sự thay đổi tần số tại khe.

Lưới nhiễu xạ và thực hành cốt lõi 6

Một lưới nhiễu xạ chứa nhiều khe cách đều nhau. Các cực đại sáng xuất hiện khi các đóng góp từ các khe lân cận đến đúng pha:

Ở đây $k$ là bậc nhiễu xạ nguyên, $d$ là khoảng cách giữa các khe, và $\theta$ được đo từ phương truyền thẳng. Phương trình giả thiết chiếu tới vuông góc. Nếu lưới có $N$ vạch trên mét, thì $d=1/N$. Đừng nhầm lẫn bậc nhiễu xạ với chiết suất; giấy in có thể dùng $n$ cho cả hai ý nghĩa.

Ví dụ mẫu. Một lưới có 600 vạch trên milimet. Ánh sáng bậc nhất xuất hiện ở góc $18.0^\circ$. Tìm bước sóng của nó.

• Đã biết: mật độ vạch và góc bậc nhất. Chuyển đổi mật độ vạch trước khi lấy nghịch đảo.
  $$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{600\times10^3\ \text{m}^{-1}} = 1.67\times10^{-6}\ \text{m}$$
  $$\lambda = \frac{d\sin\theta}{k} = \frac{1.67\times10^{-6}\ \text{m}\times\sin18.0^\circ}{1} = 5.15\times10^{-7}\ \text{m}$$
• Đây là $515\ \text{nm}$. Kiểm tra từng bậc cao hơn đề xuất bằng công thức $k\lambda/d\leq1$.

Đối với CP6, chiếu tia laser công suất thấp vuông góc lên lưới và đặt màn hình vuông góc với chùm trung tâm. Đo khoảng cách màn hình $D$ và độ lệch $x$ từ chấm trung tâm đến một bậc. Sử dụng $\tan\theta=x/D$, sau đó áp dụng phương trình lưới. Trung bình các độ lệch trái/phải tương ứng, lặp lại việc đo khoảng cách, và sử dụng các bậc nhìn thấy rõ ràng hơn nếu phép đo chính xác. Đo từ lưới đến màn hình, không phải từ vỏ laser. Không thay thế $\sin\theta=x/D$ trừ khi xấp xỉ góc nhỏ được chấp nhận hợp lý. Tuyệt đối không nhìn trực diện vào chùm tia; giữ chùm tia dưới mức mắt và chặn các chùm tia lạc.

Electron cũng thể hiện tính chất sóng

Chùm electron đi qua tinh thể mỏng tạo ra nhiễu xạ pattern. Khoảng cách nguyên tử đều đặn tạo cấu trúc nhiễu xạ. Thay đổi động lượng electron làm thay đổi khoảng cách spacing của pattern. Đây là bằng chứng về tính chất sóng; các hạt di chuyển theo đường thẳng đơn thuần không thể giải thích các cực đại nhiễu xạ.

Bước sóng de Broglie được tính bằng:

Đối với electron phi tương đối tính, $p=mv$. Nếu nó thu được năng lượng động học khi đi qua hiệu điện thế, thì $E_k=eV$ và $p=\sqrt{2mE_k}$. Chỉ sử dụng các liên kết này khi câu hỏi đưa ra hoặc yêu cầu mối quan hệ năng lượng đó.

Ví dụ mẫu. Một electron có động lượng $2.0\times10^{-24}\ \text{kg m s}^{-1}$. Với $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}$:

Tăng động lượng làm giảm bước sóng. Electron vừa có tính chất hạt vừa có tính chất sóng; nhiễu xạ không có nghĩa là electron trở thành sóng âm thanh.

Phản xạ, truyền dẫn và tiếng vang

Tại mặt phân cách, một phần năng lượng sóng có thể được truyền qua và một phần phản xạ. Xung phản xạ có thể định vị ranh giới. Trong phương pháp xung-echo, độ trễ đo bao gồm cả hành trình đi và quay lại:

Ví dụ mẫu. Siêu âm truyền trong kim loại với tốc độ $5900\ \text{m s}^{-1}$. Một echo trở lại sau $12\ \mu\text{s}$.

Ranh giới nằm ở khoảng cách $35\ \text{mm}$, không phải $71\ \text{mm}$. Echo gần có thể chồng lên xung truyền qua. Thời lượng xung ngắn hơn giúp giảm vùng mù này và tách biệt các echo gần nhau. Bước sóng ngắn hơn hỗ trợ phát hiện hoặc phân biệt các chi tiết nhỏ hơn. Đây là các giới hạn liên quan, nhưng thời lượng xung và bước sóng không phải là cùng một đại lượng. Sử dụng vận tốc trong vật liệu thực tế, không tự động dùng vận tốc trong không khí.

Photon và hiệu ứng quang điện

Lý thuyết sóng giải thích giao thoa, nhiễu xạ và phân cực. Tuy nhiên, lý thuyết này không giải thích được tất cả các quan sát về sự truyền năng lượng. Photon mô tả các gói năng lượng điện từ rời rạc:

Về mặt lịch sử, hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ đã ủng hộ mô hình sóng của ánh sáng. Các khái niệm lượng tử được phát triển để giải thích các quan sát bao gồm hiệu ứng quang điện và quang phổ nguyên tử. Vật lý hiện đại sử dụng cả mô tả sóng và photon tùy theo phương pháp đo lường. Một mô hình mới thành công phải giải thích được những bằng chứng mà mô hình cũ cũng có thể giải thích.

Một photon và một electron

Trong hiệu ứng quang điện, một electron trên bề mặt hấp thụ một photon và có thể thoát ra ngoài. Công thoát $\phi$ là mức năng lượng tối thiểu cần thiết để bứt một electron khỏi bề mặt. Tần số giới hạn là $f_0=\phi/h$.

• Dưới tần số giới hạn, tăng cường độ không gây ra sự phát xạ trong mô hình photon đơn thông thường.
• Trên tần số giới hạn, tần số cao hơn làm tăng động năng cực đại. Đồ thị biểu diễn $E_{k,\max}$ theo $f$ có hệ số góc là $h$, giao điểm trục hoành là $f_0$ và giao điểm trục tung ngoại suy là $-\phi$.
• Ở tần số cố định trên ngưỡng, cường độ cao hơn cung cấp nhiều photon mỗi giây. Nhiều electron hơn có thể bị bứt ra mỗi giây, do đó dòng quang điện bão hòa tăng lên. Động năng cực đại của chúng không tăng.
• Sự phát xạ bắt đầu ngay lập tức mà không có độ trễ tích lũy năng lượng như dự đoán bởi mô hình năng lượng sóng liên tục đơn giản, ngay cả khi ở cường độ thấp nhưng trên ngưỡng.
• Các electron thoát ra với một dải động năng khác nhau. Một số mất thêm năng lượng bên trong vật liệu. Phương trình chỉ mô tả mức năng lượng lớn nhất, không phải động năng của mọi electron.

Electronvolt là một đơn vị năng lượng: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. Nó không phải là đơn vị hiệu điện thế. Điện thế dừng $V_s$ chỉ ngăn chặn các electron quang điện nhanh nhất tiếp cận bộ thu, nên $eV_s=E_{k,\max}$.

Ví dụ minh họa. Ánh sáng có tần số $8.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ chiếu vào bề mặt có công thoát $2.0\ \text{eV}$.

• Đã biết: tần số photon và công thoát. Chuyển đổi công thoát sang đơn vị Joule trước khi thực hiện phép trừ.
  $$\phi = 2.0\times1.60\times10^{-19}\ \text{J} = 3.20\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$E_{k,\max} = hf-\phi = 6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\times8.0\times10^{14}\ \text{Hz}-3.20\times10^{-19}\ \text{J} = 2.10\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$V_s = \frac{E_{k,\max}}{e} = \frac{2.10\times10^{-19}\ \text{J}}{1.60\times10^{-19}\ \text{C}} = 1.3\ \text{V}$$
• Động năng dương xác nhận rằng tần số này nằm trên ngưỡng. Nếu kết quả phép trừ âm thì nghĩa là không có sự phát xạ, chứ không phải động năng âm.

Quang phổ vạch của nguyên tử

Nguyên tử có các mức năng lượng rời rạc. Khi electron chuyển từ mức cao xuống mức thấp hơn giữa hai mức cho phép, nó sẽ phát ra một photon. Ngược lại, việc chuyển lên mức cao hơn đòi hỏi phải hấp thụ đúng lượng năng lượng tương ứng:

Quang phổ vạch có các tần số cụ thể vì chỉ những hiệu mức năng lượng nhất định mới được phép. Hiệu mức năng lượng xuống lớn nhất tạo ra tần số cao nhất và bước sóng ngắn nhất. Đếm số chuyển dịch khả dĩ bằng cách kiểm tra các cặp mức và xác định xem các mức cao nào đang được kích thích; không tự động lấy số mức bằng số vạch quang phổ.

Ví dụ minh họa. Electron rơi từ $-2.0\ \text{eV}$ xuống $-5.0\ \text{eV}$.

Sự hấp thụ photon trong vật liệu không phải lúc nào cũng làm bứt electron ra khỏi bề mặt. Quá trình kích thích rồi phát xạ, ví dụ như trong vật liệu hoạt hóa bằng ánh sáng, không tự động được coi là hiệu ứng quang điện.

Dòng điện, điện trở và mạch điện

Dòng điện là tốc độ dòng chảy của điện tích. Dòng điện quy ước theo hướng chuyển động của các điện tích dương. Trong kim loại, electron di chuyển ngược chiều.

Một ampe bằng một coulomb mỗi giây. Hiệu điện thế $V$ là năng lượng truyền tải trên mỗi đơn vị điện tích giữa hai điểm. Điện trở $R$ được xác định bởi tỷ số $V/I$ tại điểm hoạt động. Định luật Ohm là điều kiện bổ sung $I\propto V$ khi nhiệt độ và các điều kiện vật lý khác không đổi. Không phải mọi điện trở hay linh kiện nào cũng tuân theo định luật này.

Ví dụ minh họa. Một dòng điện $0.40\ \text{A}$ chạy trong thời gian $30\ \text{s}$. Tính số lượng electron đi qua một điểm.

Sự bảo toàn dẫn đến các quy tắc mạch điện

Bảo toàn điện tích có nghĩa là điện tích không tích tụ tại nút mạch khi dòng điện ổn định. Tổng dòng điện đi vào bằng tổng dòng điện đi ra. Dòng điện không bị tiêu hao bởi điện trở.

Bảo toàn năng lượng có nghĩa là tổng năng lượng cung cấp trên mỗi coulomb quanh một vòng kín bằng năng lượng truyền tải trên mỗi coulomb. Tổng hiệu điện thế tăng bằng tổng hiệu điện thế giảm.

Đối với điện trở mắc nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua từng điện trở và các hiệu điện thế của chúng cộng lại:

Đối với điện trở mắc song song, mỗi điện trở có cùng hiệu điện thế và các dòng điện nhánh cộng lại:

Mạch mắc song song có điện trở nhỏ hơn điện trở nhỏ nhất của các nhánh. Vôn kế mắc song song qua linh kiện; vôn kế lý tưởng có điện trở vô cùng lớn. Ampe kế mắc nối tiếp; ampe kế lý tưởng có điện trở bằng không.

Ví dụ minh họa. Một điện trở $6.0\ \Omega$ mắc song song với $3.0\ \Omega$. Bộ tổ hợp này mắc nối tiếp với $4.0\ \Omega$ đặt dưới hiệu điện thế $12\ \text{V}$.

• Đã biết: bố trí mạch. Rút gọn phần mắc song song trước, sau đó áp dụng quy tắc mắc nối tiếp.
  $$R_p = \left(\frac{1}{6.0}+\frac{1}{3.0}\right)^{-1}\ \Omega = 2.0\ \Omega$$
  $$I = \frac{V}{R_p+R_s} = \frac{12\ \text{V}}{(2.0+4.0)\ \Omega} = 2.0\ \text{A}$$
  $$V_p = IR_p = 2.0\ \text{A}\times2.0\ \Omega = 4.0\ \text{V}$$
  $$I_{6} = \frac{V_p}{6.0\ \Omega} = 0.67\ \text{A} \qquad I_{3} = \frac{V_p}{3.0\ \Omega} = 1.33\ \text{A}$$
• Kiểm tra: tổng các dòng điện nhánh bằng $2.0\ \text{A}$. Điện trở còn lại mắc nối tiếp có độ sụt hiệu điện thế là $8.0\ \text{V}$.

Công suất và đồ thị linh kiện

Công suất điện là năng lượng truyền tải mỗi giây. Thay $V=IR$ vào $P=VI$ ta thu được các dạng khác:

Sử dụng hiệu điện thế qua và dòng điện qua cùng một linh kiện. Các biểu thức tính điện trở áp dụng cho điện trở tại điểm hoạt động; đừng giả sử bóng đèn sợi đốt có điện trở không đổi.

• Vật dẫn Ohm ở nhiệt độ không đổi: đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Trên đồ thị có trục tung là $I$ và trục hoành là $V$, hệ số góc là $1/R$.
• Bóng đèn sợi đốt: khi độ lớn hiệu điện thế tăng, sự gia nhiệt làm điện trở tăng. Đường cong $I$–$V$ trở nên ít dốc hơn.
• NTC thermistor: nhiệt độ tăng làm điện trở giảm. Nếu dòng điện tự làm nóng đủ, đường cong sẽ dốc hơn. Ở nhiệt độ không đổi được kiểm soát, hành vi của nó trong một khoảng phù hợp có thể xấp xỉ tuân theo định luật Ohm. Không khẳng định mọi đường cong thermistor đều cong dưới mọi điều kiện đo.
• Diode: dòng ngược rất nhỏ trước khi đánh thủng; dòng thuận tăng nhanh sau một điểm gập đặc trưng. Nó dẫn điện chủ yếu theo một chiều. Diode thực tế không có điện trở không đổi.

Đối với đồ thị cong, $R=V/I$ sử dụng đường thẳng nối từ gốc tọa độ đến điểm hoạt động. Độ dốc tiếp tuyến nói chung không phải là $1/R$.

Điện trở suất và thí nghiệm cốt lõi 7

Điện trở suất $\rho$ là tính chất vật liệu ở một nhiệt độ xác định:

Kéo dài dây đồng nhất làm tăng điện trở. Tăng diện tích tiết diện làm giảm điện trở. Gấp đôi đường kính cho diện tích gấp bốn lần và điện trở giảm còn một phần tư, nếu vật liệu, chiều dài và nhiệt độ không đổi.

Đối với CP7, mắc dây đồng nhất, ampe kế, nguồn điện, công tắc và điện trở hạn chế dòng theo mạch nối tiếp. Mắc vôn kế song song với đoạn dây đang đo. Đo nhiều độ dài khác nhau và tìm $R=V/I$ cho mỗi độ dài. Vẽ $R$ theo $l$: độ dốc $=\rho/A$, do đó $\rho=A\times\text{gradient}$.

Đo đường kính bằng micromet tại nhiều vị trí và hướng khác nhau; kiểm tra giá trị không của thiết bị. Đo chiều dài giữa các tiếp điểm điện thực tế. Sử dụng dòng nhỏ và tắt nguồn giữa các lần đọc số để hạn chế hiệu ứng nhiệt. Giữ tiếp điểm chắc chắn. Giá trị cắt trục khác không có thể chỉ ra điện trở tiếp xúc hoặc dây dẫn. Lặp lại các lần đo giúp giảm độ phân tán nhưng không loại bỏ sai số giá trị không của đường kính. Vì diện tích phụ thuộc vào $d^2$, sai số phần trăm nhỏ về đường kính sẽ đóng góp khoảng hai lần sai số phần trăm đó vào sai số diện tích.

Ví dụ minh họa. Đường kính dây là $0.40\ \text{mm}$. Đồ thị $R$–$l$ có độ dốc là $3.5\ \Omega\,\text{m}^{-1}$.

Mô hình hạt tải điện

Tốc độ trôi $v$ là vận tốc trung bình có hướng nhỏ của các hạt tải điện, không phải tốc độ nhiệt ngẫu nhiên của chúng:

Ở đây $n$ là số hạt tải di chuyển được trên đơn vị thể tích, $q$ là độ lớn điện tích trên mỗi hạt tải, và $A$ là diện tích tiết diện. Mật độ hạt tải lớn hơn cho phép cùng một dòng điện với tốc độ trôi nhỏ hơn. Trong các dây nối tiếp, dòng điện như nhau; thay đổi $n$ hoặc $A$ sẽ làm thay đổi $v$.

Các vật liệu có điện trở suất khác nhau vì mật độ hạt tải và mức độ dễ dàng di chuyển của chúng khác nhau. Tán xạ nhiều hơn làm giảm tốc độ trôi đối với cùng một gradient thế năng tác dụng. Mật độ hạt tải đơn thuần không giải thích hết mọi sự khác biệt giữa các vật liệu.

Bộ chia điện áp, cảm biến và pin

Dọc theo dây đồng nhất mang dòng điện ổn định ở nhiệt độ không đổi, điện trở tăng tỷ lệ thuận với khoảng cách. Do đó, độ sụt điện thế cũng tăng tỷ lệ thuận với khoảng cách. Đồ thị điện thế–khoảng cách là đường thẳng. Điều này giả định vật liệu và diện tích đồng nhất; dây thuôn nhọn hoặc bị nóng không đều có thể không tạo thành đường thẳng.

Một bộ chia điện áp sử dụng các điện trở nối tiếp để chia điện áp nguồn:

Biểu thức này giả định đầu ra không có tải, hoặc tải kết nối tiêu thụ dòng điện không đáng kể. Nếu tải tiêu thụ dòng điện đáng kể, hãy mắc nó song song với điện trở đầu ra trước. Luôn xác định điện trở nào mà vôn kế bao phủ.

Ví dụ minh họa. Nguồn $6.0\ \text{V}$ cấp điện cho điện trở cố định $2.0\ \text{k}\Omega$ phía trên một LDR. Tìm điện áp đầu ra trên LDR khi điện trở của nó thay đổi từ $4.0$ đến $1.0\ \text{k}\Omega$.

Điện áp đầu ra trên LDR giảm khi độ chiếu sáng tăng. Điện áp đầu ra trên điện trở cố định tăng. Hãy giải thích điện áp được chỉ định, không chỉ nói “điện áp thay đổi”.

Giải thích cảm biến thông qua hạt tải điện

Trong kim loại, việc gia nhiệt làm tăng dao động mạng tinh thể. Các electron dẫn chuyển động va chạm thường xuyên hơn. Số lượng electron di chuyển xấp xỉ không đổi, nhưng vận tốc trôi ở một gradient điện thế nhất định giảm xuống, do đó điện trở tăng lên.

Trong nhiệt điện trở có hệ số nhiệt âm, việc gia nhiệt giải phóng thêm nhiều hạt tải di chuyển. Sự gia tăng mật độ hạt tải chiếm ưu thế, nên điện trở giảm. Tránh nói rằng gia nhiệt làm giảm dao động mạng tinh thể.

Trong điện trở phụ thuộc ánh sáng (LDR), ánh sáng bị hấp thụ sẽ giải phóng thêm các hạt tải di chuyển. Độ chiếu sáng tăng làm tăng mật độ hạt tải và giảm điện trở. Nó không cần hoạt động bằng cách các electron rời khỏi bề mặt của nó.

Đối với các lời giải thích liên kết, hãy đưa ra chuỗi đầy đủ: thay đổi môi trường → thay đổi hạt tải/va chạm → thay đổi điện trở → thay đổi tỷ lệ cầu phân áp → thay đổi điện áp được chỉ định. Luôn giữ bố trí mạch trong tầm mắt throughout.

Suất điện động, điện trở trong và thực hành cốt lõi 8

Suất điện động $\mathcal{E}$ là năng lượng nguồn cung cấp cho mỗi đơn vị điện tích. Nó được đo bằng volt, mặc dù tên gọi như vậy. Điện trở trong $r$ gây ra sự truyền năng lượng bên trong nguồn khi dòng điện chảy. Điện áp hai cực là năng lượng trên mỗi coulomb sẵn sàng cho mạch ngoài:

Nguồn cung cấp công suất $\mathcal{E}I$, mạch ngoài nhận $VI$, và nhiệt lượng nội bộ là $I^2r$. Ba đại lượng này cộng lại một cách nhất quán. Khi dòng điện gần như bằng không, điện áp hai cực tiến gần đến suất điện động.

Đối với CP8, nối pin, ampe kế, tải biến thiên và công tắc mắc nối tiếp. Nối vôn kế điện trở cao vào hai cực pin. Thay đổi điện trở ngoài và ghi lại cặp giá trị $V$ và $I$. Vẽ $V$ theo trục tung và $I$ theo trục hoành. Đường hồi quy tốt nhất có tung độ gốc là $\mathcal{E}$ và hệ số góc là $-r$. Lấy giá trị tuyệt đối của hệ số góc để tìm $r$.

Sử dụng nhiều chế độ khác nhau và lặp lại. Mở công tắc giữa các lần đọc, tránh điện trở tải quá nhỏ, và giữ nhiệt độ pin cùng trạng thái sạc ổn định nhất có thể. Tuyệt đối không chập ngắn pin. Một đồ thị cong có thể chỉ ra sự thay đổi điện trở trong hoặc suất điện động; đừng ép một giá trị $r$ cố định lên đó mà không thảo luận về hạn chế.

Ví dụ có hướng dẫn. Đồ thị pin đi qua $(0.20\ \text{A},1.40\ \text{V})$ và $(0.60\ \text{A},1.20\ \text{V})$.

• Đã biết: hai điểm trên đường hồi quy tốt nhất. Hệ số góc của $V=\mathcal{E}-Ir$ là $-r$.
  $$r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{1.20-1.40}{0.60-0.20}\ \Omega = 0.50\ \Omega$$
  $$\mathcal{E} = V+Ir = 1.40\ \text{V}+0.20\ \text{A}\times0.50\ \Omega = 1.50\ \text{V}$$
• Kiểm tra bằng điểm thứ hai: cũng đúng với $1.20+0.60\times0.50=1.50\ \text{V}$. Điện áp hai cực giảm khi dòng điện tăng.

Tự kiểm tra

Sử dụng phiếu bài tập khớp nối sau mỗi phần: 2.1 đồ thị sóng; 2.2 sóng dừng; 2.3 khúc xạ; 2.4 nhiễu xạ; 2.5 photon; 2.6 mạch điện; 2.7 cầu phân áp và pin.

Trước khi sử dụng một bộ đề thi cũ, hãy kiểm tra xem bạn có thể:

• đọc trục tọa độ và xác định xem nó cho bước sóng, chu kỳ, áp suất hay độ dịch chuyển;
• giải thích một thí nghiệm với thiết bị, số liệu đo lường, các biến số được kiểm soát, đồ thị và các biện pháp phòng ngừa;
• phân biệt pha với biên độ, và tần số photon với tốc độ xuất hiện photon;
• suy ra các tổ hợp mạch từ định luật bảo toàn điện tích và năng lượng;
• giải thích mạch cảm biến như một chuỗi nguyên nhân-kết quả liên kết;
• sử dụng phép so sánh thực tế để hoàn thành câu “suy luận liệu”, kèm đơn vị và kết luận rõ ràng.

Các bài thi 2025 tháng 1 và tháng 6 đã được xem xét cung cấp ví dụ xác thực, nhưng không kiểm tra mọi yêu cầu. Bài tập gốc bổ sung các khoảng trống trong giảng dạy. Hoàn thành một bài mẫu riêng lẻ không chứng minh được sự bao phủ đầy đủ chương trình học.

A number needs a method

Two groups measure the same wire. Their values differ. Which should you trust? You need more than the final number: the instrument, method, repeated readings and uncertainty all matter.

WPH13 Practical Skills in Physics I is a written paper about practical work from Units 1–2. It lasts 80 minutes and has 50 marks. All questions are compulsory. At least 20 marks assess mathematics at Level 2 or above. This guide supports real laboratory work; reading it does not replace making measurements yourself.

The three skill sheets follow the process: plan a valid investigation, collect and record measurements, then process results and justify conclusions. The official specification gives skill lists rather than numbered knowledge statements for this unit.

Planning a valid investigation

A valid measurement 有效测量 measures what you intend to measure. A precise timer does not help if it times the wrong event.

Start by naming the independent variable 自变量 that you change and the dependent variable 因变量 that you measure. List control variables 控制变量 that could also affect the dependent variable. Say how you will keep each important one steady.

Turn a description into a usable method

A method needs:

• named apparatus, with a suitable measuring range and resolution 分辨率;
• an arrangement showing where measurements are taken;
• steps that another student can follow, including the start and end events;
• several independent-variable settings over a useful range;
• repeats where they test stability and estimate variation;
• a calculation or graph that answers the investigation question;
• specific sources of uncertainty and improvements;
• realistic hazards with a practical way to reduce each risk.

Do not write only “take readings” or “use better equipment”. Name the reading, the instrument and what the improvement changes.

Worked planning example: string frequency and tension

Investigate how fundamental frequency depends on tension in a string.

• Use a vibration generator and signal generator. Pass the string over a pulley to a mass hanger.
• Change hanging mass $m$. With a freely moving pulley, tension is approximately $T=mg$.
• Measure vibrating length between the end nodes. Use the same string and keep that length fixed.
• Adjust frequency for the fundamental each time. The same mode is a control, not an optional detail.
• Measure the string's mass and total length to find linear density $\mu$. Keep it unchanged in this investigation.
• Record several tensions and their resonant frequencies. Repeat the tuning near each resonance.

The model for the fundamental is:

A graph of $f^2$ vertically against $T$ horizontally should be straight through the origin. A large triangle gives the gradient. Secure the stand and keep your feet away from falling masses. This is stronger than saying “be careful”.

Calibration and zero checks

Calibration 校准 checks an instrument against known reference values. A zero error 零点误差 occurs when it does not read zero at the correct zero condition. Check closed micrometer jaws or an empty balance before measuring.

If a micrometer reads $+0.03\ \text{mm}$ with its jaws correctly closed, subtract $0.03\ \text{mm}$ from each subsequent reading. Repeating the measurement alone does not remove that offset. A zero check cannot prove that every point on the scale is calibrated correctly.

Range, spacing and repeats

Choose a range wide enough to reveal the relationship. Several measurements crowded near one setting may give a poor gradient. Use more settings near a turning point if you need to locate a maximum accurately.

Repeats are useful when conditions can be reproduced. They show scatter and help identify unstable readings. However, repeated readings of a discharging cell or a heating wire may drift because the conditions change. Reduce the current, switch off between readings, control temperature or restore conditions. Do not average a drift as though it were random variation.

Control the actual cause

When varying the angle of a lamp above a solar cell, keep lamp–cell distance and lamp output fixed. Control background light, for example with shielding or a darkened room. Keep the cell and its load the same. Otherwise a change in measured power may come from distance, illumination or circuit resistance instead of angle.

Discuss context using a physical cause. A tracking solar panel can stay closer to normal incidence and collect more energy over a day. Its motor also uses energy and adds cost or maintenance. “Better for the environment” alone does not explain either effect.

Measuring and recording

Accuracy 准确度 describes closeness to the true value. Precision 精密度 describes how closely repeated values cluster. Closely clustered results can still all share a systematic offset.

• Repeatability 重复性 concerns similar results using the same operator and method over a short time.
• Reproducibility 再现性 concerns similar results from different operators, apparatus or methods.
• Random effects 随机影响 cause unpredictable variation. Repeating and taking a mean can reduce their influence.
• Systematic error 系统误差 shifts results in a consistent way. Correct the cause or known offset; repeating does not remove it.
• Uncertainty 不确定度 is a reasonable interval associated with a measurement. It is not automatically a mistake or the known size of the error.

Read instruments at their resolution

A millimetre ruler has a smallest interval of $1\ \text{mm}$. The specification's standard Vernier calipers resolve $0.1\ \text{mm}$, and its standard micrometer resolves $0.01\ \text{mm}$. Check the instrument shown: a digital display or a different scale may have a different resolution.

For a micrometer, add the visible sleeve reading and the thimble reading. Include a visible half-millimetre sleeve mark when appropriate. Use the ratchet for consistent contact pressure, rather than overtightening the jaws.

For Vernier calipers, read the main scale just before the Vernier zero, then add the aligned Vernier division times its resolution. Check that the jaws contact the intended surfaces without tilting. Do not infer a missing scale from an extracted text description: read the instrument diagram itself.

Worked example. The last visible sleeve mark is $4.5\ \text{mm}$. Thimble division 23 aligns with the reference line. Resolution is $0.01\ \text{mm}$ and zero error is $+0.02\ \text{mm}$.

Geometry and timing techniques

Avoid parallax 视差 by viewing a scale along the correct line of sight. Use a set square to transfer a height or position onto a ruler. Keep the ruler parallel to the distance being measured; a sloping ruler measures a different distance.

A light gate measures the blocking time of an interrupting object. With known interrupting length $l$, speed is $v=l/t$. That gives speed during passage, not acceleration by itself. To find acceleration, measure a change of speed over known time, or use a justified motion equation with additional measured quantities. Do not call $l/t$ acceleration.

A video with known frame rate can reduce reaction-time uncertainty. Count frames between clearly defined start and end events, then use $t=N/f_{\text{frame}}$. The frame interval limits timing resolution. Blurred images or unclear event positions can still limit the result.

Tables and significant figures

Put quantity and unit together in each column heading, for example $l/\text{mm}$. Record raw measurements with decimal places matching instrument resolution. Do not add extra digits that the instrument cannot resolve.

These all have the same two decimal places. A calculated mean can be kept with extra digits during working, then reported sensibly. Processed values for plotting are commonly given to three significant figures, unless the question or data requires otherwise. Do not mix $5.1$, $5.24$ and $5.180$ as if they came from one unchanged display.

An anomalous reading 异常读数 does not fit the pattern. Check the reading, method and repeat measurement if possible. Do not silently delete the least convenient value. A suspected anomaly needs a reason and a recorded decision.

Uncertainty in this unit

For one reading, this specification uses half the instrument resolution as the basic absolute uncertainty estimate. This does not mean resolution is the only source of uncertainty. A poorly defined endpoint, reaction time or alignment may make the uncertainty larger.

Worked example. A balance displays $135.0\ \text{g}$ with resolution $0.1\ \text{g}$.

For repeated values, the specification uses half range 半极差 as an uncertainty estimate:

Worked example. Repeated times are $5.12$, $5.24$, $5.18$, $5.20\ \text{s}$.

Report about $(5.19\pm0.06)\ \text{s}$. Keep the unrounded mean in the percentage calculation. The repeat spread is much larger than half a hundredth of a second, so quoting display resolution alone would miss the observed variation.

Unit 3 does not require compounding percentage uncertainties in a calculated quantity. If an uncertainty for that quantity is supplied, use it directly. Do not introduce an advanced propagation rule as a requirement here.

Graphs and processing results

Choose scales that show the data

Read which quantity belongs on each axis. Use clear quantity/unit labels and regular scales. Use a large part of the available grid; avoid awkward intervals that are hard to subdivide. Neither axis must always start at zero, but do not hide whether a proposed proportional relationship passes through the origin.

Plot small crosses accurately. Draw a thin best-fit line or smooth curve according to the relationship. Do not join noisy points with a zigzag unless the question requests it. A best-fit straight line balances scatter rather than passing through every point.

Turn a gradient into a physical constant

For a line $y=mx+c$, identify which part of the physical equation matches $m$ and $c$. A straight line does not prove direct proportionality if its intercept is non-zero.

Worked example. A wire follows $R=(\rho/A)l+R_0$. A best-fit line passes through $(0.20\ \text{m},1.20\ \Omega)$ and $(1.00\ \text{m},4.40\ \Omega)$.

• Known: two widely separated points on the fitted line. Why: the slope equals $\rho/A$.
  $$m = \frac{\Delta R}{\Delta l} = \frac{4.40-1.20}{1.00-0.20}\ \Omega\,\text{m}^{-1} = 4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}$$
  $$R_0 = R-ml = 1.20\ \Omega-4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}\times0.20\ \text{m} = 0.40\ \Omega$$

If $A=1.0\times10^{-7}\ \text{m}^2$, the resistivity is:

The fixed intercept may represent contact or lead resistance. Dividing one measured $R$ by $l$ would include that offset and give the wrong slope.

Scale factors belong in the gradient

Suppose an axis is labelled $f/\text{MHz}$. A gradient read from that graph has MHz in its units. Convert to Hz before using SI constants. A graph of $f$ against $\sin\theta$ has a dimensionless horizontal axis; its gradient therefore has frequency units. Use degree mode if the measured angle is in degrees.

If a supplied equation is $f=(v/\lambda)\sin\theta$, a graph of $f$ against $\sin\theta$ has gradient $v/\lambda$. Rearrange $v=\lambda\times\text{gradient}$. Do not assume every frequency graph has gradient equal to speed.

Curves, maxima and specific improvements

A broad range first locates a maximum. Then take more closely spaced readings around that region. Repeating one point does not locate the maximum between existing points. Keep the other conditions steady, and consider scatter when quoting the best angle or resistance.

For a motion experiment, a set square can improve a horizontal-distance measurement. For a lamp experiment, a dark enclosure can reduce changing background illumination. For a resonance experiment, approach the loudest sound from both higher and lower frequencies and repeat. Each improvement targets a named limitation.

Conclusions supported by uncertainty

A value with uncertainty describes an interval. Compare that interval with the proposed value, then state what the evidence supports. Agreement within uncertainty does not prove that a material or model is uniquely identified.

Worked example. A measured density is $8.90\ \text{g cm}^{-3}$ with percentage uncertainty $0.9\%$. Could it agree with a proposed value $8.94\ \text{g cm}^{-3}$?

The interval is about $8.82$ to $8.98\ \text{g cm}^{-3}$. The proposed value lies inside it, so the measurement is consistent with that value. It does not prove the object has that composition.

If two model predictions both lie inside the interval, the data does not distinguish them. Reduce the dominant uncertainty or add a different measurement before claiming a unique identification.

Check yourself

Before attempting a written practical problem, check that you can:

• turn apparatus names into a usable method with controls and a processing route;
• read resolution and correct a known zero offset;
• distinguish accuracy, precision, repeatability and reproducibility;
• calculate a mean, half range and percentage uncertainty;
• plot data, use a large gradient triangle and interpret an intercept;
• turn a supplied uncertainty into an interval and give a justified conclusion;
• link each improvement to the measurement problem it actually reduces.

From a collision to a particle accelerator

A car bumper and a particle detector seem very different. Both use momentum and forces. This unit follows those ideas into circular motion, electric fields, magnetic fields and particle interactions.

WPH14 assesses requirements 81–124 of the Issue 3 specification. It can also use knowledge from Units 1–2. Use the seven skill sheets in order. Check units, directions and the assumptions behind each equation. A familiar equation can give a wrong answer when its model does not fit.

Impulse and two-dimensional collisions

Force changes momentum

Momentum 动量 is the vector $\mathbf p=m\mathbf v$. Choose a positive direction before using signs. Impulse 冲量 is the change in momentum. For constant force, or the average force over an interval:

A changing force gives an impulse equal to the signed area under its force–time graph. A triangular pulse has area $\frac12\times\text{base}\times\text{height}$. An area below the time axis is negative. The maximum force is not automatically the average force.

Worked example. A $0.20\ \text{kg}$ ball approaches a wall at $+6.0\ \text{m s}^{-1}$. It rebounds at $-4.0\ \text{m s}^{-1}$. Contact lasts $0.050\ \text{s}$. Find average force on the ball.

• Known: mass, signed initial/final velocities and contact time.
• Why: force impulse changes the ball's momentum; rebound reverses the sign.

The force is opposite the chosen positive direction. The wall feels an opposite force. A deforming bumper or helmet increases stopping time. For the same momentum change, this reduces average force. It does not remove the momentum change.

Conserve each momentum component

An isolated system 孤立系统 has no significant external impulse during the event. Its total momentum is conserved. Internal forces cancel in opposite pairs. Momentum conservation does not require kinetic energy conservation.

For a collision in a plane, resolve every momentum into two perpendicular axes:

Use the angle measured from the chosen axis. Include signs; a downward component is negative if upwards is positive. Do not add momentum magnitudes when directions differ.

Worked example. A $0.10\ \text{kg}$ sphere moving at $2.0\ \text{m s}^{-1}$ strikes two stationary spheres, each $0.10\ \text{kg}$. It stops. The two others leave symmetrically at $1.2\ \text{m s}^{-1}$, at angles $+\theta$ and $-\theta$ to the original direction. Find their separation angle and classify the collision.

• Why: transverse momenta cancel by symmetry; longitudinal momentum gives $\theta$.

An elastic collision 弹性碰撞 conserves total kinetic energy as well as momentum. An inelastic collision 非弹性碰撞 does not conserve kinetic energy; some becomes other forms of energy.

This collision is inelastic. Total energy is still conserved. In an ordinary passive collision, kinetic energy cannot increase without an additional energy source.

For a non-relativistic particle 非相对论粒子, use $p=mv$ and $E_k=\frac12mv^2$. Substituting $v=p/m$ gives:

At equal kinetic energy, $p=\sqrt{2mE_k}$: a larger mass has larger momentum. At equal momentum, a larger mass has smaller kinetic energy. These equations are not valid for a particle moving close to light speed.

Core practicals 9 and 10

For core practical 9, use a trolley, force sensor and data logger. Measure trolley mass and velocities just before/after contact using light gates or a motion sensor. Record the force–time pulse at a sampling rate fast enough to resolve it. Zero the force sensor; use consistent axes for force and velocity. Integrate the graph area and compare it with $m(v-u)$. Repeat for different contact forces or speeds. A graph of impulse against momentum change should have gradient close to one. Friction, sensor offsets and missed parts of the pulse can cause disagreement. Secure the track and catch the trolley safely.

For core practical 10, record small spheres colliding on a level surface using an overhead camera. Include a length scale in the collision plane and a known frame rate. Keep the camera perpendicular to reduce perspective error. Track centres over several frames before and after the short collision. Convert pixel displacements to metres and frame intervals to seconds. Determine both velocity components, then compare total momentum components and kinetic energies. Repeat with different approach directions. Include uncertainty from positions, timing and scale calibration. A small mismatch within uncertainty is not evidence that momentum fails. Keep spheres contained so they cannot fall or become a slipping hazard.

Circular motion

Angle, angular speed and tangential speed

An angle of one radian 弧度 subtends an arc equal to the radius. Hence $\theta=s/r$, with angle in radians. One revolution is $2\pi$ radians or $360^\circ$.

Angular velocity 角速度 describes the rate of angular displacement. In the plane problems here, use its signed rotational rate or magnitude as appropriate. Points on one rigid turntable have the same angular speed. Points farther from its centre have larger tangential speed 切向速率. Their velocity directions also vary around the circle.

Worked example. A wheel rotates at $120$ revolutions per minute. Find angular speed and acceleration of a point $0.25\ \text{m}$ from its centre.

Keep the unrounded angular speed during the calculation. Use radius, not diameter.

Why acceleration points inward

Uniform circular motion has constant speed but changing velocity. Draw the initial and final tangential velocity vectors. The change is $\Delta\mathbf v=\mathbf v_2-\mathbf v_1$, not their sum. For a small angular change, the velocity triangle and radius triangle are similar:

The change in velocity points towards the centre in this limit. A resultant centripetal force 向心力 is therefore needed:

Centripetal force names the resultant of real forces. It is not an extra force to add to a force diagram. Friction can provide it on a turntable. Tension can provide it for a ball on a string.

Write the real-force equation

For clothing against the inside of a vertical drum, weight always points down. The drum's normal reaction points towards the centre. At constant speed:

The required resultant has the same magnitude, but the reaction is larger at the bottom. If contact is lost, the surface cannot provide a pulling normal reaction. Check this before using a circular-path model.

For a horizontal turntable, the largest available friction must be at least $mr\omega^2$. If maximum friction is $mg/25$:

Mass cancels because both required and available forces scale with mass. If the inward force disappears, motion initially follows the tangent. Gravity can then curve the later path; “tangent” describes the release direction.

Electric fields and potential

Force and potential describe different things

An electric field 电场 is a region where a charged particle experiences a force. Electric field strength 电场强度 is force per unit positive test charge:

Its units are $\text{N C}^{-1}$ or $\text{V m}^{-1}$. A positive charge feels force along the field; a negative charge feels force opposite it.

Electric potential 电势 is potential energy per unit charge relative to a chosen reference. For a charge $q$ moved through a potential change:

Potential is a scalar; field is a vector. A point with zero potential need not have zero field. Adding signed potentials is different from adding field vectors.

Radial and uniform fields

For point charges, or outside an isolated charged conducting sphere, with $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$:

Here $r$ is separation of charge centres; sphere distances are measured from its centre. Like charges repel, unlike charges attract. Potential takes the sign of $Q$ when zero is at infinity.

Between large parallel plates, away from edges, the field is approximately uniform:

The field points from higher to lower potential. Plate separation $d$ is perpendicular to the plates. An equipotential 等势面 has the same potential everywhere. Field lines cross equipotentials at right angles. Moving along one involves no change in electric potential energy.

The radial field is the negative potential gradient: $E_r=-\mathrm dV/\mathrm dr$. For a positive source, the signed area under its $E$–$r$ curve from $r$ to infinity equals $V(r)$. The area from zero to $r$ is not that potential. In a uniform field, closer equally spaced potential levels mean stronger field.

Worked example. A sphere of radius $0.20\ \text{m}$ has potential $9.0\ \text{kV}$. Find charge and field at $0.30\ \text{m}$ from its centre. Use $k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$.

Use the surface radius to find charge, then the new centre-distance to find field. Do not reuse the surface distance for the second step.

Compare electrical and gravitational forces

A stationary charged oil drop can satisfy $|q|E=mg$. Use $m=\rho\mathcal V$ if density and volume are given. Divide the charge magnitude by $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$ to test whether it is close to an integer multiple. Charge sign follows the direction of force required, not its magnitude alone.

To lift a spherical grain, compare $qE$ with $\rho(4\pi r^3/3)g$. Radius is half the listed diameter. A calculated maximum diameter is a threshold: choose the largest listed diameter below it. On an inclined panel, the normal component of weight is $mg\cos\theta$. The electric force perpendicular to the panel need overcome that component to detach a grain; gravity also has a downslope component.

Capacitors and RC circuits

Charge storage and energy

A capacitor 电容器 stores separated charge on two conductors. They carry equal and opposite charges in the ideal two-plate model. The quoted charge $Q$ is the magnitude on either plate, not the sum of both magnitudes. Capacitance 电容 is charge stored per unit p.d.:

One farad is one coulomb per volt. For constant capacitance, a $V$–$Q$ graph is straight through the origin with gradient $1/C$. Its area gives the work needed to transfer charge onto the capacitor:

The factor one half appears because p.d. rises from zero while charge is transferred. It is not $QV$ at the final voltage throughout charging. For discharge between non-zero voltages, subtract the two stored energies:

This is different from $\frac12C(V_{\text{initial}}-V_{\text{final}})^2$.

Charging and discharging

In an ideal series resistor–capacitor charging circuit, initially uncharged, the capacitor p.d. is zero. The resistor initially has the full supply p.d., so current is maximum. As charge builds, capacitor p.d. rises. Resistor p.d. and current fall. At full charge, current is zero and capacitor p.d. equals supply p.d.

For discharge through a fixed resistance, use signed current consistently or work with its magnitude:

The voltage relation follows from $Q=CV$ with constant $C$. Current magnitude follows from $|I|=V/R$ with constant $R$. The time constant 时间常数 is $\tau=RC$. After one time constant, $Q$, $V$ and current magnitude are $e^{-1}\approx0.368$ of their initial values. After three time constants they are about $5\%$, not zero. Stored energy falls faster because it depends on $V^2$.

For charging from an ideal constant supply $V_s$:

A charging capacitor voltage rises towards $V_s$; charging current falls towards zero. Do not sketch the same curve for both quantities. Equal $V_C$ and $V_R$ means each is $V_s/2$, reached at $t=RC\ln2$.

Taking natural logs of the discharge equation gives:

Thus a graph of $\ln V$ against $t$ has gradient $-1/(RC)$ and intercept $\ln V_0$. The same forms hold for $Q$ and current magnitude. Use consistent measurement units inside the logged numerical values.

Worked example. A $100\ \mu\text{F}$ capacitor discharges from $12.0\ \text{V}$ through $20.0\ \text{k}\Omega$. Find p.d. after $3.0\ \text{s}$ and energy lost.

The lost stored energy becomes mainly heat in the discharge resistance. Use unrounded voltage in the final calculation.

Core practical 11 and useful extensions

Use a low-voltage d.c. supply, resistor, capacitor and switch. Charge through the resistor, then disconnect the supply and discharge through the known resistance. Connect a voltage sensor, data logger or oscilloscope across the capacitor. Record time and p.d.; choose a sampling interval short compared with $RC$. Use an instrument input resistance large compared with the discharge resistance, otherwise it changes the discharge path.

Keep $R$ and $C$ fixed, repeat after restoring the same initial charge, and compare measured curves with exponential predictions. Determine $RC$ from the $1/e$ level or a log-fit gradient. Avoid taking logs of readings near zero where relative uncertainty is large. For a resistance-tolerance test, calculate $R=-\Delta t/[C\ln(V_2/V_1)]$ during one uninterrupted discharge and compare with both limits of the permitted interval.

Use correct polarity for an electrolytic capacitor and remain below its voltage rating. Discharge it safely through a resistor before altering connections; do not short a charged capacitor. Leakage, sensor loading and resistor heating can change the measured curve.

A smoothing capacitor charges near supply peaks and discharges into the load between them. A smaller load resistance gives a smaller time constant, faster discharge and less smoothing. For two identical series capacitors, the same magnitude of charge appears on each. Their equal p.d.s share the supply, so each stores half the charge of one identical capacitor connected alone. This sharing is a useful bridge to the selected paper; it does not replace the main capacitance model.

Magnetic forces and induction

Directions, flux and force

Magnetic flux density 磁感应强度 $B$ describes the field's force effect. For a straight wire of length $l$ in a uniform field:

Here $\theta$ is between conventional current and field. Only the length inside the field counts. For one charged particle:

Use Fleming's left-hand rule 弗莱明左手定则: first finger along field, second along conventional current, thumb gives force. A positive charge moves with conventional current. Reverse the result for an electron's motion. Dot symbols mean out of the page; crosses mean into it.

Magnetic force is perpendicular to velocity, so it changes direction without doing work. It cannot, alone, increase the particle's kinetic energy. If $\mathbf v$ is parallel to $\mathbf B$, magnetic force is zero.

Magnetic flux 磁通量 through a flat area in a uniform field is:

Here $\alpha$ is between field and the area's normal, not the plane itself. The unit is the weber. Flux linkage 磁通链 is $N\phi$ when the same flux links each of $N$ turns.

Worked example. A coil has 40 turns and radius $0.015\ \text{m}$. A uniform $0.020\ \text{T}$ field is perpendicular to its plane. Find flux linkage.

Use radius, not diameter, and multiply by turns only when finding linkage. A balance under magnets measures the opposite reaction to a force on a separately supported wire. Convert a balance reading change $\Delta m$ to force $\Delta mg$, not $\Delta m$ itself.

A changing linkage induces an e.m.f.

Electromagnetic induction 电磁感应 occurs when flux linkage changes. Relative movement of a coil and magnet can cause it. Rotating the coil or changing current in another linked coil can also cause it. A stationary coil in a constant field has no induced e.m.f. merely because flux is present.

Faraday's law 法拉第电磁感应定律 relates e.m.f. magnitude to rate of flux-linkage change. Lenz's law 楞次定律 gives the opposing direction:

Induced current, if the circuit is closed, produces a magnetic effect opposing the change that caused it. It does not always oppose the existing field: when that field decreases, the induced effect helps maintain it. This opposition is consistent with energy conservation.

Worked example. Flux through each of 50 turns decreases from $6.0\times10^{-5}$ to $2.0\times10^{-5}\ \text{Wb}$ in $0.020\ \text{s}$. Find average induced e.m.f. magnitude.

Faster movement, stronger field, more turns or larger linked area can increase the rate. Explain which quantity actually changes. In a magnetic-strip reader, reversing pole orientation reverses signal direction. For a straight boundary swept across an area of width $L$ at speed $v$, $\Delta A/\Delta t=Lv$, giving $|\mathcal E|=NBLv$ under that uniform-field model.

Wireless charging uses alternating current in one coil, producing changing magnetic field and changing linkage in the phone coil. That induces an e.m.f. The receiving circuit can then charge the battery. Equal turn counts do not ensure equal voltages: some flux may fail to link the other coil, especially with separation or without an iron core.

Nuclear structure, accelerators and tracks

The nucleus and scattering evidence

In $^{A}_{Z}X$, proton number 质子数 $Z$ counts protons and nucleon number 核子数 $A$ counts protons plus neutrons. The neutron count is $A-Z$. A neutral atom has $Z$ electrons; an ion need not.

The older distributed-positive-charge model could explain small deflections but not the observed rare large-angle alpha scattering. Most alpha particles pass nearly straight through thin foil, showing that most of the atom is empty space. A small fraction experience very large deflections. Positive alpha particles feel strong electrostatic repulsion near a small, dense, positive nucleus containing most atomic mass. Few large-angle events show that the nucleus occupies a small fraction of the atom's volume. Keep each observation linked to the particular conclusion it supports.

Make, accelerate and steer a beam

Thermionic emission 热电子发射 releases electrons from a heated metal. Heating supplies energy so some electrons can leave the surface. A positive accelerating electrode attracts them through a vacuum. A potential difference changes kinetic energy by the electric work:

For speed calculations use the positive energy gain $|q|\,|\Delta V|$ only when the particle is accelerated through the field in the appropriate direction. Starting from rest, well below light speed:

A linear accelerator 直线加速器 uses alternating p.d. across gaps between drift tubes. Particles accelerate in gaps and are shielded inside the conducting tubes. The polarity reverses while particles are inside, so the next gap accelerates them again. At constant alternating frequency, increasing speed requires longer tubes to maintain the time between successive gaps. Across $n$ equal accelerating gaps, total kinetic-energy gain is $n|q|V_{\text{gap}}$.

A cyclotron 回旋加速器 uses a magnetic field perpendicular to two hollow dees. Electric field accelerates particles across the gap. Inside a dee, magnetic force curves the path without increasing speed. Polarity reverses during each half-turn, allowing another energy gain at the next crossing. With perpendicular entry:

In the non-relativistic model, the period is independent of speed. Increasing speed increases radius. Time in one dee is $T/2$, not $T$. The formula assumes constant field and fixed mass in this model; synchronisation fails as relativistic effects become important.

Worked example. A proton moves perpendicular to $B=0.40\ \text{T}$ with momentum $2.0\times10^{-20}\ \text{kg m s}^{-1}$. Use proton mass $1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$.

When starting instead from a de Broglie wavelength, use $p=h/\lambda$, then $E_k=p^2/(2m)$ and $V=E_k/|q|$. Check that the non-relativistic assumption remains suitable.

Read detector evidence carefully

Charged particles ionise matter along their paths, leaving detectable tracks. A neutral particle does not make a direct ionisation track in this model. Its presence can be inferred from missing momentum or from charged products it later produces.

In a known perpendicular magnetic field, curvature direction together with travel direction can identify charge sign. Without field direction, curvature alone cannot give sign. Radius gives momentum through $p=B|q|r$; comparing radii requires knowledge of charge magnitude. A tightening track often shows momentum being lost. Do not infer travel direction from a constant-radius arc alone.

Conserve charge, total energy and vector momentum at an interaction. If visible outgoing momenta do not add to the incoming momentum, a neutral product may carry the missing component. Draw a vector balance rather than guessing from the number of tracks.

High energies probe nucleon structure in two ways. Large momentum gives a short de Broglie wavelength, allowing small structure to be resolved. High collision energy also allows new massive particles to be created. Quarks are not observed as isolated free particles; do not describe a high-energy collision simply as removing a free quark.

Fast muons can reach the ground because their average lifetime measured in the Earth's frame is increased at speeds close to $c$. This does not mean they exceed light speed. Unit 4 requires the significance of this lifetime increase, not use of relativistic equations.

Particles, antiparticles and conservation

Families and antiparticles

In the quark–lepton model 夸克—轻子模型, baryons and mesons contain quarks. Leptons are fundamental particles in the model.

• A baryon 重子 contains three quarks, for example a proton $uud$ or neutron $udd$. An antibaryon contains three antiquarks.
• A meson 介子 contains one quark and one antiquark, for example a pion.
• A lepton 轻子 is fundamental, for example an electron or neutrino. A positron is an antilepton, not a meson.
• A photon is the quantum of electromagnetic radiation; it is neither a baryon nor a lepton.

Up-type quarks have charge $+2e/3$ and down-type quarks $-e/3$. Antiquarks have opposite charges. For example, $uud$ sums to $+e$ and $udd$ to zero. The symmetry of the quark families predicted a top quark before it was observed. Classification models make testable predictions, not just lists of known particles.

An antiparticle 反粒子 has the same rest mass as its particle and opposite electric charge when charged. Other relevant additive quantum numbers also reverse. An electron has lepton number $+1$; its positron has $-1$. Both have baryon number zero. A neutral antiparticle can differ in quantum numbers despite having no electric charge.

Check conserved totals

Assign baryon number $+1$ to a baryon, $-1$ to an antibaryon, and zero to mesons/leptons/photons. Quarks carry $+1/3$ and antiquarks $-1/3$. Assign lepton number $+1$ to a lepton and $-1$ to an antilepton. Compare total charge, baryon number and lepton number on both sides of a proposed reaction. Also check energy and momentum. Passing the listed conservation checks alone does not prove that an interaction will occur; it establishes that those laws do not forbid it.

Worked example. Test $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

The antineutrino balances the electron's lepton number. Changing it to a neutrino would make the final total $+2$, so that proposed equation would fail this check. Preserve bars and charge signs when interpreting supplied particle symbols.

Rest energy, creation and annihilation

Mass–energy equivalence 质能等价 relates a rest-mass change to energy:

In pair production 粒子对产生, energy creates a particle–antiparticle pair. The energy must at least supply both rest masses; extra energy can become kinetic energy or recoil. Momentum must also be conserved, so the surrounding interaction matters. In annihilation 湮灭, particle and antiparticle can turn into photons. A pair initially at rest producing two photons gives equal photon energies and opposite momenta. Each photon carries one particle's rest energy for an equal-mass pair; the total is twice that value.

One electronvolt is $e$ joules: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. MeV means $10^6$ eV and GeV means $10^9$ eV. A quoted mass in $\text{MeV}/c^2$ is a mass unit, not an energy unit. Multiply by $c^2$ to get its corresponding rest energy.

Worked example. Convert a mass of $140\ \text{MeV}/c^2$ to kilograms.

Use the same units before comparing masses. Percentage difference from an accepted value is $100\times|m_{\text{predicted}}-m_{\text{accepted}}|/m_{\text{accepted}}$. State the reference value. In threshold questions, distinguish rest-energy supply from kinetic energy; do not use $p=mv$ for a photon or a particle close to $c$.

Check yourself

• Can you use signed impulse and two momentum components, then test kinetic energy separately?
• Can you derive centripetal acceleration and draw only actual forces?
• Can you distinguish field vectors, signed potential and energy changes?
• Can you choose the correct capacitor curve and use log slope or tolerance evidence?
• Can you explain induction as a change in linkage, including the opposing direction?
• Can you separate electric acceleration from magnetic steering and halve a cyclotron period correctly?
• Can you preserve particle symbols, conservation totals and energy/mass units?

The skill sheets develop these methods before authentic past-paper tasks. Original practice also covers requirements not sampled in the two recent papers. A short sample of authentic questions does not define the whole syllabus.

Từ một túi đá đến một ngôi sao

Một túi đá, một cây cầu lắc lư và một ngôi sao xa xôi đều liên quan đến năng lượng. Đơn vị này kết nối chuyển động phân tử, biến đổi hạt nhân, dao động và quan sát thiên văn. Nhiệm vụ thường là kiểm chứng một tuyên bố, không chỉ tính toán một con số: nêu mô hình, giữ đơn vị trong suốt phép tính, sau đó so sánh kết quả của bạn với tuyên bố đó.

WPH15 bao gồm các phát biểu 125–171 của Vấn đề Pearson 3. Nó cũng sử dụng Các Unit 1, 2 và 4. Làm qua các tờ 5.1–5.9 trước bộ thật tương ứng. Sử dụng các hằng số cung cấp nhất quán: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ và $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ trừ khi câu hỏi đưa ra giá trị địa phương khác. Ở đây $k_B$ là hằng số Boltzmann; $k_s$ ký hiệu cho hằng số lò xo.

Sưởi ấm, biến đổi pha và hiệu chuẩn nhiệt điện trở

Theo dõi năng lượng, không chỉ theo dõi nhiệt độ

Nội năng là tổng năng lượng trong chuyển động ngẫu nhiên và tương tác của các phân tử: động năng ngẫu nhiên cộng với thế năng liên phân tử. Nó loại bỏ động năng của cả vật thể di chuyển cùng nhau. Nhiệt độ liên quan đến động năng ngẫu nhiên trung bình của phân tử, không phải nội năng tổng cộng. Hai mẫu ở cùng nhiệt độ có thể có nội năng khác nhau vì lượng chất và trạng thái của chúng khác nhau.

Nhiệt dung riêng $c$ là năng lượng cần thiết mỗi kilogram để tăng nhiệt độ lên một kelvin mà không thay đổi trạng thái. Nhiệt ẩn riêng $L$ là năng lượng truyền qua mỗi kilogram trong một quá trình biến đổi trạng thái cụ thể ở nhiệt độ không đổi.

Mức chênh lệch nhiệt độ $1\ ^\circ\mathrm C$ bằng mức chênh lệch $1\ \mathrm K$. Nhiệt độ tuyệt đối trong các định luật khí và bức xạ phải dùng kelvin. Trong quá trình nóng chảy hoặc sôi, năng lượng thay đổi cấu trúc phân tử và thế năng trong khi nhiệt độ không đổi trong biến đổi pha áp suất không đổi lý tưởng. Một túi đá hấp thụ năng lượng từ thực phẩm/môi trường xung quanh khi nó tan chảy. Nó không gửi “năng lượng lạnh” vào thực phẩm.

Ở công suất gia nhiệt không đổi, độ dốc đường cong nhiệt độ – thời gian càng lớn nghĩa là $mc$ càng nhỏ, miễn là tổn thất nhiệt là không đáng kể. Một đoạn ngang không có nghĩa là quá trình truyền năng lượng đã dừng lại. Đối với máy sưởi, năng lượng đầu vào là $E_{\rm in}=Pt=VIt$; năng lượng nhiệt hữu ích có thể nhỏ hơn vì năng lượng thoát ra môi trường xung quanh.

Ví dụ minh họa. Một khối băng mass $0.40\ \mathrm{kg}$ ở nhiệt độ $-10\ ^\circ\mathrm C$ tan thành nước ở nhiệt độ $0\ ^\circ\mathrm C$. Sử dụng $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ và $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Đã biết: khối lượng, nhiệt độ ban đầu/cuối cùng và hằng số vật liệu. Tại sao: làm nóng chất rắn và tan chảy là hai quá trình truyền năng lượng riêng biệt.

Ví dụ minh họa. Một máy sưởi power $1000\ \mathrm W$ đun sôi bay hơi $0.20\ \mathrm{kg}$ nước trong thời gian $600\ \mathrm s$. Tìm hiệu suất, sử dụng $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Đối với các lần đổ nước ấm bình thủy tinh lặp lại, hãy tính tổng thể tích nước, số lần đổ và tổng thời gian hoạt động. So sánh năng lượng trong cùng khoảng thời gian đã nêu. Tổn thất chờ đợi trong một ngày và năng lượng cần thiết để đun sôi nước là các đại lượng khác nhau; hãy nêu rõ một phép so sánh cụ thể thực sự xác định điều gì.

CP12: hiệu chỉnh bộ điều nhiệt

Một nhiệt điện trở có điện trở thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt điện trở hệ số nhiệt âm (NTC) thông thường giảm điện trở khi bị nung nóng. Trong bộ chia điện áp:

Với nhiệt điện trở là điện trở phía dưới và điện áp đầu ra đo trên nó, việc làm nóng sẽ làm giảm điện áp đầu ra. Hoán vị các điện trở sẽ đảo ngược xu hướng đó. Bộ điều nhiệt đóng/ngắt ở ngưỡng đầu ra đã chọn; bản thân bộ chia điện áp không phải là thiết bị chuyển mạch hoàn chỉnh.

Đối với thực hành cốt lõi 12, đặt nhiệt điện trở và nhiệt kế chuẩn gần nhau trong bồn nước khuấy. Giữ các tiếp điểm điện khô ráo và cách điện. Ở nhiều nhiệt độ khác nhau trong phạm vi dự kiến, hãy đợi cân bằng nhiệt và ghi lại nhiệt độ cùng điện áp bộ chia. Giữ nguyên điện áp nguồn và điện trở cố định. Sử dụng vôn kế trở kháng đầu vào cao để giảm tải. Vẽ đồ thị đầu ra theo nhiệt độ và nội suy điện áp cho nhiệt độ chuyển mạch đã chọn. Lặp lại số đo hoặc so sánh quá trình làm nóng/làm nguội để phát hiện độ trễ. Đừng giả định hiệu chuẩn tuyến tính nếu không có bằng chứng. Sử dụng điện áp thấp và cẩn thận với nước nóng.

CP13: đo nhiệt ẩn

Cung cấp công suất điện đã đo cho vật liệu trong quá trình chuyển pha. Đo khối lượng tan chảy hoặc bay hơi trong khoảng thời gian xác định sau khi điều kiện ổn định. Cân đo sự thay đổi khối lượng; không nhầm lẫn thể tích chất lỏng thu được với khối lượng. Nếu không hiệu chỉnh tổn thất, $L=VIt/\Delta m$ giả sử toàn bộ năng lượng cung cấp đều gây ra sự chuyển pha.

Một phép hiệu chỉnh hữu ích là so sánh hai mức công suất ở cùng một nhiệt độ chuyển pha ổn định. Nếu công suất thất thoát nhiệt xấp xỉ không đổi, việc lấy hiệu hai phép đo sẽ loại bỏ phần thất thoát này:

Nêu rõ giả thiết thất thoát không đổi. Một phép đo kiểm soát nóng chảy mà không có bộ gia nhiệt là phương pháp hiệu chỉnh khác khả thi trong thí nghiệm đá thích hợp. Giảm thất thoát nhiệt bằng cách dùng vật liệu cách nhiệt nơi an toàn; tránh văng nước, bề mặt nóng và các kết nối nguồn điện không an toàn.

Khí lý tưởng và động năng phân tử

Kelvin và mô hình khí lý tưởng

Nhiệt độ tuyệt đối là $0\ \mathrm K$, khoảng $-273\ ^\circ\mathrm C$. Đây là giới hạn dưới của nhiệt độ nhiệt động lực học. Trong mô hình khí lý tưởng cổ điển, động năng tịnh tiến trung bình tiến tới zero khi nhiệt độ tiến tới zero. Khí thực ngưng tụ trước khi đạt đến giá trị ngoại suy đó; không khẳng định rằng phân tử trong mọi vật liệu thực đều mất hoàn toàn năng lượng có thể.

Nhiệt độ tuyệt đối được đo bằng kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ với độ chính xác thường dùng ở đây. Khí lý tưởng bao gồm các hạt có thể tích không đáng kể, không có lực tương tác giữa các phân tử trừ trong va chạm đàn hồi, và chuyển động ngẫu nhiên. Áp suất phát sinh từ sự thay đổi động lượng tại thành bình.

Ở đây $N$ là số phân tử, không phải số mol. Sử dụng áp suất tính bằng pascal, thể tích tính bằng mét khối và nhiệt độ tính bằng kelvin. Với số phân tử không đổi:

Ở thể tích không đổi, áp suất tỉ lệ thuận với nhiệt độ kelvin. Ở nhiệt độ không đổi, $pV$ là hằng số. Bao gồm áp suất môi trường nếu đồng hồ đo báo áp suất tương đối với khí quyển.

Ví dụ giải. Một bình $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ cứng chứa khí ở $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ và $300\ \mathrm K$. Tìm $N$ và áp suất sau khi làm nóng lên $360\ \mathrm K$.

Nếu một phân tử có khối lượng $m_0$, tổng khối lượng khí là $Nm_0$. Đối với hình cầu, trước hết tìm $V=4\pi r^3/3$; bán kính bằng một nửa đường kính.

Suy diễn mối liên hệ năng lượng phân tử

Mối quan hệ áp suất của thuyết động học là $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, trong đó $\langle c^2\rangle$ là tốc độ bình phương trung bình. Nó suy ra từ sự thay đổi động lượng đàn hồi tại thành bình và chuyển động bình phương trung bình như nhau theo ba phương vuông góc. Tốc độ bình phương root (RMS) là $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; nó không phải là bình phương của tốc độ trung bình.

Đối với hình lập phương cạnh $l$, một phân tử có thành vận tốc $c_x$ làm thay đổi động lượng thành bình một lượng $2m_0c_x$ trong mỗi va chạm đàn hồi. Thời gian quay trở lại cùng thành đó là $2l/c_x$. Do đó lực trung bình của nó là $m_0c_x^2/l$. Tổng hợp trên tất cả các phân tử và chia cho diện tích thành $l^2$:

Chuyển động ngẫu nhiên phân bố đều theo các phương vuông góc, nên $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Điều này dẫn đến mối quan hệ áp suất ở trên. Đẳng thức hai biểu thức cho $pV$, triệt tiêu $N$, sau đó sắp xếp lại:

Ở cùng một nhiệt độ, các loại khí khác nhau có cùng động năng tịnh tiến trung bình, nhưng phân tử nhẹ hơn có tốc độ RMS lớn hơn. Nếu tốc độ gấp đôi ở cùng nhiệt độ, khối lượng phân tử là một phần tư. Làm nóng tăng động năng phân tử trung bình; nó không khiến mọi phân tử có cùng tốc độ.

CP14: áp suất và thể tích ở nhiệt độ không đổi

Giữ cố định một lượng khí trong xi-lanh hoặc trụ đo chuẩn được nối với cảm biến áp suất. Kiểm tra độ chuẩn và sử dụng áp suất tuyệt đối. Bao gồm thể tích chết của ống nối nếu đáng kể. Thay đổi thể tích dần dần, chờ đợi sau mỗi lần thay đổi để nhiệt độ trở về nhiệt độ môi trường, sau đó ghi lại nhiều cặp áp suất–thể tích. Không để khí bị rò rỉ. Đồ thị $p$ theo $1/V$ nên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong khoảng sai số. Đường cong $p$–$V$ không phải là đường thẳng. Tránh áp suất quá cao và đảm bảo các kết nối chắc chắn. Nén nhanh làm nóng khí và phá vỡ điều kiện nhiệt độ không đổi dự kiến.

Năng lượng liên kết, phân hạch và tổng hợp hạt nhân

Độ hụt khối là sự chênh lệch năng lượng

Một hạt nhân chứa $Z$ proton và $A-Z$ neutron. Khối lượng của nó nhỏ hơn tổng khối lượng các nucleon tự do này. Độ hụt khối tương ứng với năng lượng liên kết cần thiết để tách hoàn toàn hạt nhân thành các nucleon tự do:

Ở đây $c_0$ là tốc độ ánh sáng, khác với nhiệt dung riêng. Đơn vị khối lượng nguyên tử thống nhất là $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Chuyển đổi tất cả khối lượng về cùng một đơn vị trước khi trừ. Khối lượng hạt nhân và khối lượng nguyên tử trung hòa không thể hoán đổi cho nhau nếu không tính đến electron một cách nhất quán. Sử dụng các giá trị khối lượng mà đề bài cung cấp.

Ví dụ có hướng dẫn. Một hạt nhân có độ hụt khối $0.030\ \mathrm u$ và $A=4$. Tìm năng lượng liên kết trên mỗi nucleon.

Tại sao cả phản ứng tổng hợp và phân hạch đều có thể giải phóng năng lượng

Đường cong năng lượng liên kết trên mỗi nucleon tăng nhanh ở các hạt nhân nhẹ, đạt cực đại gần sắt/niken, sau đó giảm dần ở các hạt nhân nặng. Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon cao hơn thường có nghĩa là các nucleon bị liên kết chặt chẽ hơn. Chính giá trị dọc (trục tung) chứ không chỉ số khối mới quan trọng khi so sánh các điểm.

Phản ứng tổng hợp hạt nhân kết hợp các hạt nhân nhẹ. Phân hạch hạt nhân chia một hạt nhân nặng thành các sản phẩm nhỏ hơn, thường kèm theo neutron. Năng lượng được giải phóng khi tổng năng lượng liên kết của sản phẩm lớn hơn và tổng khối lượng nghỉ nhỏ hơn so với chất tham gia. Đối với một phản ứng, hãy tính hiệu khối lượng tổng cộng, không chỉ là sự chênh lệch giữa hai giá trị năng lượng liên kết trên mỗi nucleon. Tổng năng lượng được bảo toàn.

Tổng hợp hạt nhân đòi hỏi nhiệt độ rất cao để cung cấp đủ động năng cho các hạt nhân vượt qua lực đẩy tĩnh điện, và mật độ/không gian giam giữ cao để tạo ra đủ lần va chạm gần và duy trì việc giải phóng năng lượng. Nhiệt độ và mật độ đóng vai trò khác nhau. Chỉ nêu "áp suất cao" không giải thích được cơ chế passphrase lực đẩy.

Bức xạ nền và sự phân rã

Chọn bức xạ dựa trên tương tác của nó

Bức xạ alpha gồm hạt nhân heli: ion hóa mạnh, tầm ngắn và bị ngăn chặn bởi giấy hoặc vài cm không khí. Bức xạ beta gồm electron hoặc positron: ít ion hóa hơn, xuyên thấu tốt hơn, thường bị ngăn chặn bởi vài mm nhôm. Bức xạ gamma là sóng điện từ: ion hóa yếu nhưng xuyên thấu mạnh; chì hoặc bê tông làm giảm cường độ nhưng không tạo ra độ dày cắt ngang rõ rệt.

Trong buồng sương mù, vệt alpha dày chủ yếu do ion hóa mạnh, và tương đối thẳng vì hạt có khối lượng lớn so với hạt beta. Vệt beta mỏng hơn và dễ bị lệch hướng hơn. Đừng hoán đổi các lời giải thích này. Bức xạ beta có thể đo độ dày giấy vì một phần đi qua và một phần bị hấp thụ; thay đổi độ dày sẽ làm thay đổi tốc độ đếm truyền qua.

Trong phương trình hạt nhân, bảo toàn số nucleon và số hiệu nguyên tử. Phân rã beta-trừ biến neutron thành proton; số khối không đổi và số hiệu nguyên tử tăng thêm một. Bao gồm antineutrino khi cần thiết, như trong Đơn vị 4:

Phân rã alpha làm giảm $A$ xuống bốn đơn vị và $Z$ xuống hai đơn vị. Phát xạ gamma không làm thay đổi cả $A$ lẫn $Z$. Phương trình hạt nhân bảo toàn nhiều hơn hai đại lượng này: năng lượng và động lượng vẫn còn ý nghĩa.

Xác định đúng tín hiệu nền trước khi áp dụng mô hình

Bức xạ nền đến từ các nguồn như đá, tia vũ trụ và môi trường. Đo lường trong thời gian đủ dài khi không có nguồn thử nghiệm. Trừ tốc độ đếm nền khỏi mọi đọc số bao gồm nguồn và nền. Giữ nhất quán đơn vị thời gian đếm. Tốc độ đếm máy dò đã hiệu chỉnh tỷ lệ thuận với hoạt độ nguồn chỉ khi hình học và độ nhạy phát hiện không đổi; nó không tự động là hoạt độ tính bằng becquerel.

Ví dụ có hướng dẫn. Máy dò đọc được $62\ \mathrm{min^{-1}}$ tại khoảng cách $r$, bao gồm nền là $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Dự đoán tốc độ tổng hợp tại $2r$ đối với nguồn gamma đẳng hướng nhỏ với độ hấp thụ bỏ qua.

Không chia nền cho bốn: vì không phải toàn bộ nền đều đến từ nguồn thử nghiệm.

Sự kiện ngẫu nhiên, quần thể có thể dự báo

Phân rã phóng xạ là tự phát: một hạt nhân không bền phân rã mà không cần kích thích bên ngoài. Nó mang tính ngẫu nhiên: thời điểm chính xác cho từng hạt nhân riêng lẻ không thể dự đoán được. Một quần thể lớn có quy luật phân rã thống kê có thể dự báo được. Hoạt độ $A$ là số phân rã mỗi giây, đo bằng béc-ke-ri, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

Hằng số phân rã $\lambda$ là xác suất phân rã trên một đơn vị thời gian của một hạt nhân. Thời gian bán rã $t_{1/2}$ là khoảng thời gian để quần thể chưa phân rã hoặc hoạt độ giảm đi một nửa về mặt trung bình.

Tại một thời gian bán rã, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Lấy logarit hai vế ta có:

Đường thẳng log-activity–time có hệ số góc $-\lambda$. Hãy lấy logarit của các tốc độ đã hiệu chỉnh, chứ không phải các giá trị đọc được bao gồm cả nền. Đọc nhiều khoảng thời gian bán rã từ đồ thị và lấy trung bình; hãy đo từ mức hoạt độ đã hiệu chỉnh, chứ không phải từ tổng số đếm bằng 0.

Ví dụ minh họa. Một nguồn phát có thời gian bán rã $3.0\ \mathrm{years}$. Khi nào hoạt độ sẽ giảm xuống còn $2.0\%$ so với giá trị ban đầu?

Hãy sử dụng một phân số, chứ không phải $2.0$ nằm trong logarit. Nếu tính công suất từ một nguồn phóng xạ, $P=A E_{\rm decay}$, với năng lượng mỗi phân rã tính bằng joule. Đây là công suất hạt nhân giải phóng; công suất điện hữu ích có thể nhỏ hơn. Chuyển đổi thời gian bán rã sang giây khi hoạt độ yêu cầu tính bằng béc-ke-ri.

CP15: sự hấp thụ tia gamma bởi chì

Giữ cố định vị trí nguồn phát, vật hấp thụ và máy đếm. Đo nền trước, sau đó đếm trong các khoảng thời gian bằng nhau và đã biết cho nhiều độ dày chì khác nhau. Lặp lại hoặc kéo dài thời gian đếm vì số đếm dao động. Trừ tốc độ nền trước khi so sánh sự truyền qua. Nếu mỗi độ dày bằng nhau đều gây ra sự giảm tỷ lệ như nhau, thì sự suy giảm là theo hàm mũ; đồ thị log速率 hiệu chỉnh theo độ dày sẽ xấp xỉ là đường thẳng. Ba lần độ dày bán giá trị sẽ truyền qua $1/8$, chứ không phải $1/3$.

Hằng số hấp thụ của vật liệu không phải là hằng số phân rã theo thời gian của nguồn phát. Tránh các giá trị đọc quá gần nền, nơi việc trừ đi tạo ra sai số tương đối lớn. Xử lý các nguồn phát bằng các dụng cụ được chỉ định dưới sự giám sát, giữ khoảng cách, giảm thiểu thời gian tiếp xúc và trả chúng vào lớp chắn. Tuyệt đối không chạm tay vào nguồn phát hay hướng nó về phía con người. Giữ cho việc xử lý chì sạch sẽ và rửa tay sau khi làm việc.

Chuyển động điều hòa đơn giản, đồ thị và năng lượng

Điều kiện lực hồi phục

Chuyển động điều hòa đơn giản (SHM) xảy ra khi gia tốc hợp thành tỉ lệ thuận với li độ so với vị trí cân bằng cố định và hướng về phía nó:

Dấu âm biểu thị hướng hồi phục. Tốc độ không đổi, lặp lại đơn thuần hay một lực chỉ hướng về tâm không đủ để thiết lập chuyển động điều hòa đơn giản. Đối với lò xo treo thẳng đứng, hãy đo $x$ từ vị trí cân bằng khi đã tải trọng. Trọng lượng đã được cân bằng tại đó; hợp lực đối với li độ là $-k_sx$.

Đối với việc thả từ li độ cực đại dương tại $t=0$:

Ở đây $A_0$ là biên độ, chứ không phải hoạt độ phóng xạ. Pha phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu được chọn; một li độ hình sin có thể mô tả cùng chuyển động đó với gốc tọa độ khác. Vi phân đồ thị: độ dốc li độ–thời gian là vận tốc, và độ dốc vận tốc–thời gian là gia tốc. Tại li độ cực đại, tốc độ bằng 0 và gia tốc hướng ngược về vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng, tốc độ đạt cực đại và gia tốc bằng 0.

Ví dụ minh họa. Đồ thị cho biết biên độ $0.030\ \mathrm m$ và chu kỳ $0.50\ \mathrm s$. Tìm vận tốc cực đại và gia tốc cực đại.

Hoặc tìm vận tốc cực đại từ tiếp tuyến của đồ thị li độ tại vị trí cân bằng. Chuyển centimet sang mét. Độ dốc thẳng âm $a$–$x$ là $-\omega^2$, nên lấy giá trị âm trước căn.

Chu kỳ và năng lượng

Đối với vật gắn lò xo lý tưởng và con lắc đơn ở góc nhỏ:

Chiều dài con lắc là từ điểm treo đến tâm quả nặng. Chu kỳ góc nhỏ không phụ thuộc vào khối lượng quả nặng. Tỷ số chu kỳ cho một lò xo không đổi là $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Sử dụng tổng khối lượng mới trước khi tìm khối lượng thêm vào.

Ví dụ minh họa. Một vật có khối lượng $0.50\ \mathrm{kg}$ có chu kỳ $0.80\ \mathrm s$. Việc thêm khối lượng làm tăng chu kỳ lên $1.00\ \mathrm s$ trên cùng một lò xo.

Đối với bộ dao động lò xo không tắt dần, năng lượng chuyển hóa giữa dạng thế đàn hồi và động năng:

Do đó đồ thị $E_k$–$x$ là parabol mở xuống: bằng không tại $\pm A_0$, đạt cực đại dương tại $x=0$. Đồ thị $E_p$–$x$ mở lên. Tổng của chúng không đổi trong mô hình không tắt dần. Trong hệ thống có tắt dần, năng lượng bị truyền ra ngoài nên biên độ giảm. Tổng năng lượng bao gồm cả môi trường xung quanh vẫn được bảo toàn.

CP16: suy luận khối lượng chưa biết từ cộng hưởng

Giữ nguyên hệ lò xo/chỗ đỡ. Treo nhiều quả nặng đã biết, kích thích bằng dao động nhỏ và thay đổi tần số để tìm biên độ ổn định lớn nhất cho mỗi quả nặng. Ghi lại tần số cộng hưởng, lặp lại chậm rãi quanh mỗi đỉnh. Với tắt nhẹ, nó xấp xỉ tần số riêng. Vẽ đồ thị $1/f^2$ theo tổng khối lượng đã biết; mô hình lò xo cho ta độ dốc $4\pi^2/k_s$. Sử dụng phép hiệu chuẩn để suy luận khối lượng chưa biết từ tần số cộng hưởng của nó.

Cần tính đến giá treo và, nơi đáng kể, khối lượng di chuyển hiệu dụng của lò xo. intercept khác không có thể đại diện cho đóng góp này; không bắt buộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ nếu không có cơ sở. Giữ biên độ nhỏ và dưới giới hạn đàn hồi. Cố định các quả nặng và giá đỡ, giữ chân tránh xa. Đo chu kỳ tự do có thể cung cấp sự so sánh độc lập hữu ích, nhưng bài thực hành yêu cầu sử dụng tần số cộng hưởng.

Dao động cưỡng bức, cộng hưởng và tắt dần

Dao động tự do xảy ra sau một kích thích ban đầu mà không cần lực điều khiển tuần hoàn liên tục. Dao động cưỡng bức được duy trì bởi lực điều khiển tuần hoàn; tần số ổn định của nó chính là tần số điều khiển. Tần số riêng là tần số của dao động tự do đối với hệ thống dưới các điều kiện nêu ra.

Cộng hưởng xảy ra khi tần số điều khiển bằng hoặc gần tần số riêng, dẫn đến truyền năng lượng hiệu quả và biên độ ổn định lớn. Nó không có nghĩa là “tần số tối đa”. Đối với hệ tắt nhẹ, đỉnh biên độ nằm gần tần số riêng không tắt. Tắt mạnh hơn làm giảm và mở rộng đỉnh; không trình bày mọi đỉnh tắt đều nằm chính xác tại tần số riêng không tắt.

Tắt dần truyền năng lượng ra khỏi dao động, ví dụ thông qua công cản làm tăng nhiệt năng của bộ giảm xóc và môi trường xung quanh. Tắt mạnh có thể giảm chuyển động nguy hiểm của cầu/nhà cửa. Biến dạng dẻo của vật liệu dẻo cũng hấp thụ năng lượng cơ học không thể đảo ngược; biến dạng đàn hồi thuần túy trả lại năng lượng dự trữ và không phải là cơ chế giống nhau.

Giải thích ví dụ. Người đi bộ cung cấp lực điều khiển tuần hoàn cho cây cầu. Nếu tần số của họ gần tần số riêng, năng lượng được truyền hiệu quả vào cầu và biên độ tăng lên. Bộ giảm xóc thực hiện công chống lại chuyển động, truyền năng lượng dao động sang dạng nhiệt, do đó biên độ ổn định bị giới hạn. Liên kết nguyên nhân và hệ quả theo thứ tự này thay vì liệt kê “cộng hưởng, năng lượng, tắt dần”.

Đối với cùng hình dạng và biên độ, việc thêm khối lượng vào con lắc nhẹ làm tăng năng lượng cơ học dự trữ trong khi chu kỳ góc nhỏ lý tưởng không đổi. Dưới điều kiện tổn thất cản tương đương, nó có thể mất một tỷ lệ năng lượng nhỏ hơn mỗi chu kỳ. So sánh tắt dần trong ngữ cảnh này không chứng minh rằng mọi bộ dao động nặng hơn luôn tắt chậm hơn.

Trường trọng lực và quỹ đạo

Trường và thế năng có ý nghĩa khác nhau

Trường trọng lực là vùng không gian mà tại đó một vật có khối lượng chịu tác dụng của lực. Cường độ trường trọng lực $g=F/m$ là lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng thử nghiệm. Nó là vector hướng về phía nguồn khối lượng cô lập. Định luật Newton áp dụng cho chất điểm, hoặc bên ngoài nguồn phân bố đối xứng cầu, là:

$r$ là khoảng cách từ tâm đến tâm, không phải độ cao so với bề mặt. Đối với chuyển động cục bộ gần Trái Đất, giá trị hằng số $g$ có thể phù hợp. Trên phạm vi khoảng cách radial lớn, nó không còn là hằng số.

Thế năng hấp dẫn là thế năng trên mỗi đơn vị khối lượng, với giá trị bằng không ở vô cực:

Thế năng là đại lượng vô hướng và mang giá trị âm tại khoảng cách hữu hạn. Di chuyển ra xa làm cho thế năng trở nên ít âm hơn, do đó thế năng tăng lên trong khi lực hút yếu đi. Giá trị đồ thị thế năng và bán kính tương ứng của nó cho $M=-Vr/G$.

Trường hấp dẫn và điện trường đều có dạng radial đối với các nguồn điểm cô lập và độ lớn lực của chúng tuân theo định luật bình phương nghịch đảo. Hấp dẫn tác động lên khối lượng và luôn hút trong mô hình này. Lực điện tác động lên điện tích và có thể hút hoặc đẩy. Hướng của điện trường tuân theo hướng của lực tác động lên điện tích thử dương; một điện tích âm sẽ bị đẩy ngược lại.

Ví dụ giải. Một vệ tinh $1000\ \mathrm{kg}$ di chuyển từ bán kính $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ đến $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ quanh Trái Đất, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Tìm độ biến thiên thế năng của nó.

Dấu dương là giá trị cuối trừ giá trị đầu. Đây không phải là tổng năng lượng phóng, vì động năng cũng có thể thay đổi. $mg\Delta h$ với bề mặt Surface恒定$g$ là không phù hợp trong khoảng cách này.

Suy luận quỹ đạo tròn

Lực hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm:

Khối lượng quay tròn triệt tiêu.Chu kỳ tăng theo bán kính. Để xuất hiện cố định trên một điểm của hành tinh đang quay, một vệ tinh cần có quỹ đạo tròn xích đạo, cùng hướng quay và tốc độ góc/ chu kỳ khớp nhau. Chỉ khớp chu kỳ thì chưa đủ.

Ví dụ giải. Đối với $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ và chu kỳ $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, tìm bán kính quỹ đạo tĩnh.

Trừ bán kính hành tinh chỉ khi được yêu cầu tính chiều cao so với bề mặt. Đối với trường bề mặt của một ngôi sao, hãy dùng bán kính của nó, không phải đường kính được liệt kê; kiểm chứng một tuyên bố về trường gấp nhiều lần trường Trái Đất bằng cách tính tỷ số.

Bức xạ sao, khoảng cách và sự tiến hóa

Nhiệt độ, độ sáng và cường độ nhận được

Một vật đen hấp thụ toàn bộ bức xạ điện từ tới và là một vật phát nhiệt lý tưởng. Phổ liên tục của nó có dạng đặc trưng. Khi nhiệt độ tăng, tổng công suất phát ra trên mỗi đơn vị diện tích tăng và dịch chuyển đỉnh bước sóng sang bước sóng ngắn hơn. Diện tích dưới đường cong cường độ phổ biểu diễn tổng cường độ chỉ khi có định nghĩa trục phổ thích hợp.

Độ sáng $L_\star$ là tổng công suất phát ra. Cường độ $I$ nhận được tại khoảng cách $d$ là công suất trên mỗi đơn vị diện tích thu. Đối với một ngôi sao vật đen hình cầu có bán kính $R$ phát ra đồng đều theo mọi hướng:

Diện tích đầu tiên là bề mặt phát; diện tích thứ hai là quả cầu thu mở rộng. Đừng thay thế khoảng cách quan sát vào diện tích bề mặt của ngôi sao. Các vật phát thực tế có thể không phải là vật đen hoàn hảo, và vật liệu trung gian có thể hấp thụ bức xạ.

Hằng số Wien được nêu để mô tả phổ trên mỗi đơn vị bước sóng. Một cực đại của phổ được vẽ theo mỗi đơn vị tần số không chuyển đổi thành cực đại bước sóng đó chỉ bằng cách thay $\lambda$ bằng $c_0/f$. Nếu bài thi đưa ra tần số tương ứng với đỉnh bước sóng đã cho, hãy chuyển đổi bước sóng đã cho đó bằng $c_0=f\lambda$. Đừng biến quy ước nhiệm vụ cụ thể này thành quy tắc chung cho mọi đồ thị phổ.

Ví dụ giải. Phổ bước sóng của một ngôi sao đạt cực đại tại $580\ \mathrm{nm}$ và bán kính của nó là $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Tìm nhiệt độ, độ sáng và cường độ tại $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

Giữ nguyên nhiệt độ chưa làm tròn vì nó được nâng lên lũy thừa bốn. So sánh cường độ nhận được với tham chiếu đã nêu trước khi chấp nhận một tuyên bố về nhiệt độ hành tinh hoặc công suất.

Hai phương pháp đo khoảng cách

Thấu thị tam giác đo sự dịch chuyển góc biểu kiến của một ngôi sao gần so với các ngôi sao nền xa khi Trái Đất di chuyển quanh Mặt Trời. Các quan sát cách nhau sáu tháng sử dụng đường cơ là hai bán kính quỹ đạo Trái Đất. Góc thấu thị $p$ bằng một nửa độ dịch chuyển tổng cộng. Với các $p$ nhỏ (tính bằng radian), khoảng cách được tính theo $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Một parsec là khoảng cách tạo ra góc thấu thị $1$ giây cung; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Không sử dụng đường kính Trái Đất hoặc Mặt Trời làm đường cơ quỹ đạo.

Ở khoảng cách lớn, $p$ trở nên quá nhỏ để thiết bị có thể đo chính xác. Giới hạn này liên quan đến độ phân giải góc/độ bất định tương đối, không nhất thiết là do ngôi sao quá mờ để nhìn thấy.

Một nến chuẩn là một vật thể có độ sáng tuyệt đối đã biết. Xác định một nến chuẩn trong cụm sao, đo cường độ nhận được và áp dụng $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Độ sáng biểu kiến của nó không được giả định trước. Các sao biến Cepheid có mối quan hệ được hiệu chuẩn giữa chu kỳ và độ sáng tuyệt đối. Đo nhiều chu kỳ ánh sáng đầy đủ, chia cho số lượng chúng, đọc kỹ bảng hiệu chuẩn và chuyển đổi bất kỳ đơn vị nào từ độ sáng tuyệt đối Mặt Trời. Một đường thẳng trên trục logarit không tự động biểu thị mối quan hệ tuyến tính giữa các đại lượng gốc.

Ví dụ minh họa. Một nến chuẩn có $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ và cường độ nhận được là $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Đọc biểu đồ Hertzsprung–Russell

Biểu đồ Hertzsprung–Russell biểu diễn độ sáng tuyệt đối theo chiều dọc và nhiệt độ bề mặt theo chiều ngang, thường với nhiệt độ giảm dần sang phải và thang đo logarit. Dãy chính kéo dài từ các ngôi sao nóng, sáng ở góc trên bên trái đến các ngôi sao mát, mờ ở góc dưới bên phải. Siêu khổng lồ đỏ có nhiệt độ thấp nhưng độ sáng cao do diện tích bề mặt lớn. Lùn trắng có nhiệt độ cao nhưng độ sáng thấp do diện tích bề mặt nhỏ. Đánh dấu Mặt Trời gần mức độ sáng tuyệt đối 1 và khoảng $5800\ \mathrm K$ trên dãy chính.

Các ngôi sao hình thành khi lực hấp dẫn co rút một đám mây khí và bụi. Lõi nóng lên cho đến khi phản ứng tổng hợp hydro có thể duy trì một ngôi sao trên dãy chính; áp suất hướng ra cân bằng với lực hấp dẫn. Trong một ngôi sao giống Mặt Trời, hydro ở lõi cuối cùng cạn kiệt, phản ứng tổng hợp giảm đi và lực hấp dẫn co rút lõi. Nhiệt độ lõi tăng lên; sự đốt cháy hydro lớp vỏ và sau đó là phản ứng tổng hợp heli gắn liền với sự mở rộng thành siêu khổng lồ đỏ. Các lớp ngoài bị mất đi, để lại lõi lùn trắng không còn phản ứng tổng hợp bền vững. Nó nguội đi qua một thời gian rất dài. Mặt Trời sẽ không trở thành siêu tân tinh hay sao neutron.

Một ngôi sao có khối lượng lớn hơn nhiều có thể tổng hợp các nguyên tố nặng hơn thông qua các giai đoạn sau. Khi lõi của nó không còn thu năng lượng từ phản ứng tổng hợp, sự sụp đổ và siêu tân tinh có thể để lại sao neutron hoặc hố đen, tùy thuộc vào phần dư. Một ngôi sao trên dãy chính có khối lượng lớn có nhiều nhiên liệu hơn nhưng tiêu thụ nó nhanh hơn nhiều do lõi nóng hơn. Do đó, tuổi thọ trên dãy chính của nó có thể ngắn hơn. Hãy giải thích tốc độ phản ứng tổng hợp, không chỉ riêng lượng nhiên liệu. Lộ trình trên biểu đồ HR cho thấy sự thay đổi nhiệt độ/độ sáng tuyệt đối, không phải là một ngôi sao đang di chuyển qua không gian.

Sự dịch chuyển Doppler và vũ trụ học

So sánh cùng một vạch quang phổ

Hiệu ứng Doppler là sự thay đổi tần số/bó sóng quan sát được gây ra bởi chuyển động tương đối dọc theo đường ngắm. Các mặt sóng liên tiếp đến xa nguồn phát hơn khi nguồn di chuyển ra xa và đến gần nhau hơn khi nguồn di chuyển tới. Chuyển động ra xa tạo ra bó sóng dài hơn và tần số thấp hơn; chuyển động tới tạo ra bó sóng ngắn hơn và tần số cao hơn. Chuyển động hoàn toàn vuông góc với đường ngắm không phải là vận tốc rời xa trong mô hình đơn giản.

Đối với bức xạ điện từ ở tốc độ rời xa thấp:

Đỏ dịch $z$ mang giá trị dương khi nguồn phát ra xa. Đối với các dịch chuyển nhỏ, độ lớn của nó cũng xấp xỉ bằng độ giảm phân tử của tần số quan sát so với tần số phát ra. Nêu quy ước dấu: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ mang giá trị âm khi nguồn phát ra xa. Đừng đồng nhất hóa dịch đỏ dương với sự tăng tần số có dấu. Phép xấp xỉ $v/c_0$ không phải là công thức tương đối论 tốc độ cao tổng quát.

Ví dụ minh họa. Một vạch được phát ra ở $500\ \mathrm{nm}$ và được quan sát thấy ở $505\ \mathrm{nm}$.

Để sử dụng các vạch hấp thụ của một ngôi sao, hãy nhớ lại Đơn vị 2: photon chỉ bị hấp thụ khi năng lượng của chúng khớp với các mức năng lượng nguyên tử được cho phép. So sánh cùng một vạch quang phổ đã xác định, không phải hai nguyên tố khác nhau.

Đối với hai rìa đối diện của một ngôi sao đang quay, một bên di chuyển tới trong khi bên kia di chuyển ra xa. Nếu các dịch chuyển của chúng bằng nhau và ngược dấu, khoảng cách giữa hai bó sóng quan sát được sẽ gấp đôi độ dịch chuyển của mỗi rìa. Chia đôi khoảng cách này trước khi tìm vận tốc xích đạo. Sau đó áp dụng $T=2\pi R/v$. Điều này giả định rằng vận tốc rìa dọc theo đường ngắm quan sát được đại diện cho vận tốc quay xích đạo dưới điều kiện hình học quan sát nêu trên.

Định luật Hubble và giới hạn của nó

Ở các thang đo vũ trụ học lớn, tốc độ lùi xa xấp xỉ tuân theo định luật Hubble:

Hằng số Hubble $H_0$ có đơn vị là nghịch đảo của thời gian. Trong $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, chuyển đổi kilomet sang mét và megaparsec sang mét trước khi lấy nghịch đảo trong đơn vị giây. Các vật thể gần đó có thể có chuyển động cục bộ không tuân theo mối quan hệ quy mô lớn.

Ví dụ đã giải. Sử dụng $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ và $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ để ước tính thang thời gian giãn nở.

Nghịch đảo là thời gian Hubble. Việc diễn giải nó như một độ tuổi dựa trên mô hình cho tốc độ giãn nở trong quá khứ; đây không phải là độ tuổi chính xác độc lập với mô hình. Một $H_0$ lớn hơn sẽ dẫn đến thang thời gian nghịch đảo nhỏ hơn. Bằng chứng về sự giãn nở ủng hộ một vũ trụ đặc hơn, nóng hơn ở quá khứ; điều này không mô tả một vụ nổ vào không gian trung tâm-xung quanh vốn đã trống rỗng từ trước.

Vật chất tối được suy luận từ các hiệu ứng hấp dẫn mà chỉ riêng vật chất nhìn thấy không thể giải thích, chẳng hạn như sự quay và chuyển động của thiên hà. Nó không nhất thiết phải phát ra ánh sáng có thể phát hiện được. Lượng vật chất tạo ra lực hấp dẫn ảnh hưởng đến cách thức thay đổi của sự giãn nở, do đó sự bất định về thành phần vật chất và mô hình giãn nở sẽ ảnh hưởng đến các dự đoán về vận mệnh của vũ trụ. Đừng suy luận rằng chỉ riêng một phép đo $H_0$ duy nhất chứng minh sự giãn nở vĩnh viễn hoặc sự sụp đổ trong tương lai. Các mô hình hiện đại cũng xem xét năng lượng tối; kết quả 171 cụ thể đòi hỏi việc hiểu rõ tranh cãi liên quan đến $H_0$, vật chất tối, độ tuổi và vận mệnh, chứ không chỉ học thuộc lòng một dự đoán không điều kiện.

Tự kiểm tra

1. Tại sao nội năng có thể tăng mà nhiệt độ không tăng trong quá trình biến đổi pha?
2. Một lượng khí cố định bị làm nóng trong bình kín. Thang đo nhiệt độ nào bắt buộc phải được sử dụng để so sánh áp suất?
3. Năng lượng liên kết mỗi nucleon cao hơn có nghĩa là cần ít hay nhiều năng lượng hơn để tách rời mỗi nucleon trên trung bình?
4. Tại sao phải trừ nền trước khi sử dụng tỷ lệ đếm hoặc logarit?
5. Đường thẳng $a$–$x$ có hệ số góc là $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Tìm tần số góc.
6. Tại sao vận tốc cực đại của dao động điều hòa lại nằm tại vị trí cân bằng mặc dù gia tốc bằng không tại đó?
7. Tại sao một cây cầu bị cản có thể bị tác động bởi ngoại lực cùng tần số nhưng dao động với biên độ nhỏ hơn?
8. Việc nâng vệ tinh lên bán kính lớn hơn sẽ làm tăng hay giảm thế năng hấp dẫn có dấu của nó?
9. Một ngôi sao rất nóng nhưng mờ. Vùng HR nào là khả thi, và yếu tố nào có thể giải thích độ sáng thấp của nó?
10. Khi sử dụng độ phân tách bước sóng giữa hai bờ quay ngược chiều, tại sao cần một hệ số nhân đôi?

Đáp án: (1) thế năng phân tử thay đổi; (2) kelvin; (3) nhiều hơn; (4) nền không tuân theo quy luật phân rã/cách ly của nguồn; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) lực hồi phục tổng hợp bằng không tại đó nhưng năng lượng chủ yếu là động năng; (7) tổn thất năng lượng lớn hơn giới hạn biên độ ổn định; (8) tiến tới không; (9) sao lùn trắng, bề mặt phát xạ nhỏ; (10) một bờ bị dịch chuyển xanh trong khi bờ kia bị dịch chuyển đỏ.