S2 · Statistics 2

Thống kê 2: phân phối, biến liên tục và kiểm định giả thuyết

Thống kê 2 (S2, đề WST02/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, kỳ đánh giá đầu tiên tháng Sáu 2020) tiếp theo S1 trong lộ trình ứng dụng: P1–P2 và S1 được giả định. Tập tài liệu này bao gồm bảng phân phối nhị thức, Poisson và chuẩn. Tài liệu tham khảo này bao gồm các phân phối nhị thức và Poisson với các xấp xỉ của chúng, biến ngẫu nhiên liên tục, phân phối đều, lấy mẫu và toàn bộ quy trình kiểm định giả thuyết.

Kiến thức bắt buộc cho S2 (không có trong sổ tay):

Phân phối nhị thức và Poisson

Phân phối nhị thức: $n$ phép thử độc lập, xác suất không đổi $p$ — hai giả thiết cần nêu ra trong bối cảnh. Phân phối Poisson: các sự kiện xảy ra riêng lẻ, độc lập, với tốc độ trung bình không đổi — tốc độ tỷ lệ ($\mathrm{Po}(\lambda)$ mỗi phút tương ứng với $\mathrm{Po}(5\lambda)$ trong 5 phút). Các moment có dạng công thức: $np$ và $np(1-p)$; $\lambda$ và $\lambda$. Biết trung bình và phương sai của phân phối nhị thức, giải đồng thời để tìm $n$ và $p$. xấp xỉ Poisson cho phân phối nhị thức yêu cầu $n$ lớn và $p$ nhỏ (dùng $\lambda = np$).

Worked example — moments then approximations (WST02 June 2025 Q3). Blue sweets per small bag have mean 3 and variance 2.55: $np = 3$ and $np(1-p) = 2.55$ give $1 - p = 0.85$, so $p = 0.15$ và $n = 20$. Một túi vừa chứa 40 với 20% màu xanh lá: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, và $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. Một túi lớn chứa 80 với 10% màu vàng: với $n = 80$ túi lớn và $p = 0.1$ túi nhỏ, $X\approx\mathrm{Po}(8)$ và $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$.

Biến ngẫu nhiên liên tục

Một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất $f$ với tổng diện tích 1 và $P(X = x) = 0$ tại mọi điểm; hàm phân bố tích lũy $F(x) = P(X \le x)$ thỏa mãn $f = F'$ và $F(a) = \int_{-\infty}^a f$. Mật độ từng đoạn: chuẩn hóa $\int f = 1$ (giúp xác định hằng số chưa biết), sau đó đọc trực tiếp trung vị ($F = \tfrac12$), phân vị, và mốt từ đỉnh của $f$ (tập $f' = 0$, hoặc kiểm tra các góc). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; độ lệch so sánh trung bình, trung vị và mốt.

Ví dụ minh họa — giải CDF (WST02 Tháng Sáu 2025 Câu1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ trên [0, 1]: $F(1) = 1$ cho $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. Trung vị: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, tức là $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, do đó $m = 0.671$. Mốt: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ và $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ cho $x = 1$ (loại bỏ $-1$, nằm ngoài tập xác định). Độ lệch: trung bình $0.64 <$ trung vị $0.671 <$ mốt $1$ — độ lệch âm.

Ví dụ minh họa — PDF tuyến tính từng đoạn, không dùng máy tính (WST02 Tháng Sáu 2025 Câu5). Với $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ trên $[0, k]$ và $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ trên $(k, 6]$: chuẩn hóa,

nên $k = 3.5$ (PDF liên tục tại đó, cả hai phần đều bằng $\tfrac13$). Sau đó $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, và với $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ đã cho, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.

Phân phối đều liên tục

Phân phối đều liên tục trên $[a, b]$ Đều trên $[a, b]$: mật độ $\tfrac1{b-a}$, CDF thẳng, trung bình $\tfrac{a+b}2$, phương sai $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Hai điều kiện xác định $a$ và $b$ (xác suất khoảng cho $b - a$; còn trung bình cho $a + b$). Mã hóa thay đổi trung bình; xác suất là độ dài trên $b - a$.

Worked example — uniform on a wide interval (WST02 June 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ cũng thỏa mãn — nhưng chỉ giữ một nghiệm cho toàn bộ câu hỏi). $E(cX + 1) = 3$ cho $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.

Quần thể, mẫu và thống kê

Một kiểm định giả thuyết so sánh dữ liệu với mô hình không. mẫu đo lường một phần (tiết kiệm hơn, nhanh hơn, nhưng có sai số lấy mẫu). Khung lấy mẫu liệt kê các đơn vị lấy mẫu. Một thống kê là hàm của các giá trị mẫu duy nhất (không có tham số không biết nào) — $\bar X$ là, $\bar X - \mu$ không phải; phân phối của nó qua nhiều lần lấy mẫu là phân phối lấy mẫu.

Ví dụ minh họa — phân phối lấy mẫu (WST02 Tháng 6 2025 Câu 4). Ba viên bi từ túi 2:5 đen:trắng, tính điểm 4 cho mỗi viên đen và 1 cho mỗi viên trắng: với $P(\text{black}) = \tfrac27$, điểm $X$ nhận 3, 6, 9, 12 với xác suất $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ đếm tập điểm 9 trong $n$ lượt chơi độc lập, $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ và $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ cần $n > 15.6$, nên $n = 16$.

Kiểm định giả thuyết

Một kiểm định giả thuyết so sánh dữ liệu với mô hình không.

Phát biểu giả thuyết không $H_0$ (không có thay đổi, tham số được trích dẫn) và $H_1$ (kiểm tra một phía hoặc hai phía theo yêu cầu). Tìm vùng phản bác ở mức độ đã cho bằng cách tích lũy xác suất đuôi cho đến khi vượt qua $\alpha$; báo cáo mức ý nghĩa thực tế là tổng xác suất đuôi. Kiểm tra một phía đặt toàn bộ mức độ vào một đuôi; kiểm tra hai phía chia nó ra. Kết luận TRONG BỐI CẢNH: "thiếu bằng chứng để cho rằng … đã thay đổi". xấp xỉ chuẩn của phân phối nhị thức: trung bình $np$, phương sai $np(1-p)$, với hiệu chỉnh liên tục (ít nhất $t$ có nghĩa là $t - 0.5$).

Ví dụ mẫu — kiểm tra tốc độ Poisson (WST02 Tháng 6 2025 Câu hỏi2). Khách hàng trung bình 20/giờ; sau khi cải tạo, một khoảng thời gian 30 phút được theo dõi: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. Tại 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$ nhưng $P(X \le 4) = 0.0293$ (quá lớn); $P(X \ge 17) = 0.0270$ nhưng $P(X \ge 18) = 0.0143$ — vùng phản bác $X \le 3$ hoặc $X \ge 18$, mức độ thực tế $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. Giá trị quan sát 16 nằm ngoài → không bác bỏ $H_0$.

Ví dụ có lời giải — kiểm định nhị phân với phần giữa chuẩn (WST02 tháng 6 2025 Q7). 30% của khách hàng mua bảo hiểm; mẫu 40 cho kết quả $X\sim B(40, 0.3)$. Giá trị lớn nhất $r$ sao cho $P(X < r) < 0.05$ (ít hơn $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ nhưng $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Với 200 khách hàng, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ có nghĩa là $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, nên $t = 50$. Sau khi giảm giá đặc biệt, 11 trong số 25 đã mua: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, nên bác bỏ $H_0$ — chứng minh tỷ lệ đã tăng.

Danh sách kiểm tra trước khi hoàn thành đơn vị này

• Nêu các giả định của phân phối nhị thức/Poisson trong ngữ cảnh; giải các cặp trung bình/độ lệch chuẩn cho $n$, $p$; nhân tốc độ Poisson với thời gian.
• Chuẩn hóa các mật độ từng đoạn (hằng số, hằng số bình phương hoàn hảo); đạo hàm F để tìm f; tìm trung vị/bát phân từ F, mốt từ f' hoặc đỉnh góc; tính E(X), E(X²), Var; đọc độ lệch từ mối quan hệ giữa trung bình-trung vị-mốt.
• Trích dẫn và suy diễn các tính chất của phân phối đều; xác định a và b từ khoảng cùng với trung bình; giữ xác suất dưới dạng độ dài đoạn.
• Phân biệt tổng điều tra so với mẫu lấy ưu/nhược điểm; nhận diện thống kê; xây dựng phân phối mẫu nhỏ bằng liệt kê; đóng gói số đếm trong B(n, p) cho phần tiếp theo.
• Thực hiện kiểm định một phía và hai phía: giả thuyết ký hiệu và văn bản, miền bác bỏ do tích lũy, mức ý nghĩa thực tế, kết luận trong ngữ cảnh; xấp xỉ chuẩn với hiệu chỉnh liên tục khi n lớn.