I · Numerical methods

AQA A-level Toán học 7357, phần I (Phương pháp số), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Kiến thức nền tảng: đánh giá hàm số và phân tích dấu từ các phần B và G.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Phương trình x³ − x − 1 = 0 không có nghiệm đại số gọn gàng, nhưng kỹ sư cần nghiệm chính xác đến bốn chữ số thập phân. Làm thế nào để CHỨNG MINH một đáp xấp xỉ đúng với độ chính xác quy định?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nêu ý nghĩa của việc đổi dấu, và điều gì có thể khiến một đáp án thập phân đáng tin cậy.

Phương pháp

• Một hàm liên tục có dấu ngược nhau tại hai đầu mút sẽ có nghiệm nằm giữa chúng. Phương pháp chia đôi chia đôi khoảng, giữ lại nửa có hai đầu mút vẫn khác dấu; dừng lại nếu trung điểm chính là nghiệm.
• Iteration x next = g(x) refines an estimate from a rearrangement; a limit must satisfy L = g(L) and be checked in the original equation. Newton–Raphson uses x next = x − f(x)/f′(x) with a nonzero derivative. The trapezium rule estimates a definite integral: (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• Chia đôi: Chia đôi một khoảng chứa nghiệm, giữ lại nửa có đổi dấu; lặp: Lặp lại cập nhật x mới = g(x) từ ước lượng trước; Newton–Raphson: Cập nhật nghiệm x mới = x − f(x)/f′(x); quy tắc hình thang: Ước tích phân bằng cách cộng các sải hình thang.

Kiểm tra bài làm

• Sự thay đổi dấu chứng minh có nghiệm chỉ nơi hàm là LIÊN TỤC: 1/x thay đổi dấu xuyên qua x = 0 nhưng không có nghiệm tại đó. Báo cáo một nghiệm làm tròn kèm theo khoảng chứa nó, chẳng hạn như 1.3247 đến bốn chữ số thập phân được chỉ ra bởi sự thay đổi dấu của f trên [1.32465, 1.32475], do đó độ chính xác là có thể chứng minh được.
• Lặp có thể phân kỳ hoặc tạo chu kỳ: hãy kiểm tra các giá trị lặp, miền xác định và phương trình gốc. Quy tắc hình thang có thể ước quá cao hoặc thấp tùy thuộc vào độ cong, chứ không phải vì hàm số chỉ đơn điệu tăng.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: f(x) = x² − 2 và x₀ = 1.5 cho Newton–Raphson. f′(x) = 2x, do đó x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. Bước thứ hai: f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, nên x₂ ≈ 1.4142157, tiến gần đến √2.

Ví dụ:

Ước ∫₀² x² dx bằng hai sải hình thang bằng nhau và so sánh với giá trị chính xác, sử dụng cùng một chuỗi số. (Đáp: h = 1, chiều cao 0, 1, 4, nên A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. Giá trị chính xác là 8/3 ≈ 2.667 — đường cong lồi khiến ước tính trở thành giá trị ước vượt.)

Giới hạn và bẫy logic

• Mỗi phương pháp đều có điều kiện: chia đôi cần sự đổi dấu liên tục, Newton cần đạo hàm khác không và có thể thất bại nếu điểm khởi đầu kém, và |g′(L)| < 1 là điều kiện hội tụ cục bộ đủ khi g′ liên tục gần điểm cố định L và giá trị bắt đầu đủ gần; nó không phải là điều kiện cần. Càng nhiều dải thì ước lượng hình thang càng tốt nhưng chưa bao giờ chính xác theo khẳng định.

Cảnh báo:

Mọi sự thay đổi dấu đều chứng minh có nghiệm, kể cả qua điểm gián đoạn. Tuyên bố này sai: lập luận giá trị trung gian yêu cầu tính liên tục trên toàn khoảng — qua tiệm cận, hàm có thể nhảy từ âm sang dương mà không có nghiệm nào.

Tóm tắt:

Phương pháp số: đóng gói nghiệm bằng đổi dấu liên tục và chia đôi bằng phương pháp chia đôi; lặp với sự hội tụ đã được kiểm tra; Newton–Raphson sử dụng tiếp tuyến; quy tắc hình thang ước tích phân với độ cong quyết định hướng sai số.