H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357, phần H (Tích phân), phiên bản 1.3 (đánh giá lần đầu 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Kiến thức nền tảng: Vi phân từ mục G.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Đồ thị vận tốc của một vận động viên đi xuống dưới trục thời gian một lúc, sau đó lại đi lên. "Diện tích dưới đường cong" gần bằng không — vậy vận động viên đã không di chuyển?
• Trước khi đọc tiếp, hãy giải thích ý nghĩa của diện tích có dấu và sự khác biệt giữa quãng đường đi được với độ dịch chuyển.

Phương pháp

• Tích phân là phép toán ngược lại của đạo hàm: nguyên hàm của axⁿ là axⁿ⁺¹/(n+1) + C với n ≠ −1, trong khi 1/x có nguyên hàm là ln|x| + C. Tích phân xác định từ a đến b là sự tích lũy có dấu: F(b) − F(a).
• Diện tích có dấu bị triệt tiêu nơi đường cong cắt trục hoành, nên tổng diện tích dương cần tách tích phân tại mỗi điểm cắt. Định lý cơ bản liên kết hai chiều: đạo hàm của hàm tích lũy trả về hàm dưới dấu tích phân.
• Nguyên hàm: Là hàm mà đạo hàm chính là hàm dưới dấu tích phân đã cho; Tích phân xác định: Sự tích lũy có dấu của hàm số giữa hai cận; Định lý cơ bản: Mối liên hệ hai chiều cho thấy đạo hàm của hàm tích lũy sẽ trả về đúng hàm dưới dấu tích phân.

Kiểm tra bài làm

• Kiểm chứng mọi nguyên hàm bằng cách đạo hàm ngược lại, và giữ hằng số C cho tích phân bất định — một điểm cho trước giúp xác định nó. Trường hợp n = −1 là riêng biệt: 1/x có nguyên hàm là ln|x|, tuyệt đối không áp dụng quy tắc lũy thừa chia cho 0.
• Trước khi tính tổng diện tích, hãy tìm các điểm đổi dấu của hàm dưới dấu tích phân trên khoảng xác định và tách tại đó; vận tốc có đổi dấu khiến độ dịch chuyển và quãng đường trở thành hai kết quả khác nhau.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: v(t) = 3t² − 3 cho 0 ≤ t ≤ 2. Một nguyên hàm là t³ − 3t. Độ dịch chuyển = [t³ − 3t] từ 0 đến 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. Nhưng v = 0 tại t = 1, nên tổng quãng đường = −[t³ − 3t] từ 0 đến 1 + [t³ − 3t] từ 1 đến 2 = 2 + 4 = 6 m.

Ví dụ:

Tìm diện tích giới hạn bởi y = x² và trục hoành từ 0 đến 1, sau đó ước lượng hình chữ nhật cuối bên phải với 4 mảnh, dùng cùng trình tự. (Đáp án: chính xác ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; ước lượng là (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, là giá trị quá lớn cho đường cong lồi tăng này.)

Giới hạn và bẫy logic

• Tích phân là giới hạn của tổng hình chữ nhật; đếm số lượng sải hữu hạn chỉ ước lượng nó, và sai số phụ thuộc vào độ cong. Đừng tích phân qua điểm gián đoạn như 1/x tại x = 0, và nhớ rằng diện tích có dấu có thể bằng 0 trong khi tổng diện tích dương.

Cảnh báo:

Tích phân xác định luôn bằng tổng diện tích dương giữa đường cong và trục tọa độ. Nhận định này sai: tích phân mang DẤU — các vùng nằm dưới trục được tính âm, nên độ dịch chuyển có thể nhỏ hoặc bằng không trong khi tổng quãng đường di chuyển lớn.

Tóm tắt:

Tích phân: nguyên hàm được kiểm chứng bằng cách lấy đạo hàm ngược lại, với hằng số C cố định bởi một điểm đã cho; tích phân xác định là sự tích lũy có dấu F(b) − F(a); tổng diện tích cần chia nhỏ tại mỗi điểm đổi dấu, và Định lý Cơ bản liên kết sự tích lũy với hàm dưới dấu tích phân.