G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357, phần G (Vi phân), phiên bản 1.3 (đánh giá lần đầu 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Tiền đề: biến đổi đại số và ký hiệu hàm từ phần B.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Đường cong quãng đường-thời gian của ô tô luôn cong, nên không có "tốc độ" duy nhất nào bao quát cả hành trình — tuy đồng hồ tốc độ hiển thị một con số tại thời điểm hiện tại. Con số đó mang ý nghĩa hình học gì?
• Trước khi đọc tiếp, hãy phát biểu cách biệt giữa độ dốc tiếp tuyến và tốc độ trung bình giữa hai thời điểm.

Phương pháp

• Đạo hàm là giới hạn của thương sai phân [f(x+h) − f(x)]/h khi h → 0: chính là độ dốc tiếp tuyến và tốc độ tức thời. Với y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; các dạng lượng giác và hàm mũ cũng tương tự: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, tính bằng radian.
• Điểm dừng là nơi dy/dx = 0; phân loại điểm này dựa trên sự thay đổi dấu của đạo hàm hoặc dấu của đạo hàm cấp hai (dương: cực tiểu địa phương; âm: cực đại địa phương). Các quy tắc chuỗi, tích và thương xử lý các hàm hợp, giữ nguyên mọi thừa số vận tốc nội tại.
• Đạo hàm: Tốc độ biến thiên tức thời, độ dốc tiếp tuyến; Điểm dừng: Điểm mà tại đó đạo hàm bằng không; Đạo hàm cấp hai: Đạo hàm của đạo hàm, đo lường sự thay đổi của độ dốc.

Kiểm tra bài làm

• Đạo hàm bằng không chỉ là ứng viên: y = x³ có điểm dừng tại 0 nhưng vẫn tăng, nên cần xét sự đổi dấu hoặc f″ để phân loại. Trong khoảng xác định, hãy so sánh cả giá trị biên — cực đại/tiểu toàn cục có thể nằm ở đầu mút.
• Sau khi đạo hàm một tích như xeˣ, hãy kiểm tra với một giá trị đơn giản: quy tắc tích cho eˣ + xeˣ, tại x = 0 kết quả là 1, không phải 0. Nhân riêng các đạo hàm sẽ cho sai số đó.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: y = x³ − 3x, suy ra dy/dx = 3x² − 3. Điểm dừng khi 3x² − 3 = 0: x = ±1. Đạo hàm hai cấp là 6x; tại x = 1 có giá trị 6 > 0, nên (1, −2) là cực tiểu địa phương; tại x = −1 có giá trị −6 < 0, nên (−1, 2) là cực đại địa phương.

Ví dụ:

Đối với y = x³ − 3x tại x = 2, tìm phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến theo cùng trình tự: tọa độ từ f → hệ số góc từ f′ → phương trình đường thẳng. (Đáp án: tại x = 2 có y = 2 và hệ số góc là 9, nên tiếp tuyến là y − 2 = 9(x − 2) và pháp tuyến là y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

Giới hạn và bẫy logic

• Đạo hàm cung cấp hệ số góc chứ không phải tung độ — tọa độ điểm luôn lấy từ đồ thị ban đầu. Tiếp tuyến ngang (hệ số góc 0) có pháp tuyến đứng, được viết dưới dạng x = hằng số, vì nghịch đảo âm của số 0 không xác định.

Cảnh báo:

Mọi điểm có đạo hàm bằng 0 đều là cực đại hoặc cực tiểu cục bộ. Tuyên bố này sai: y = x³ có dy/dx = 0 tại x = 0 nhưng đạo hàm 3x² vẫn luôn dương ở cả hai phía — đây là điểm uốn, hoàn toàn không có cực trị nào.

Tóm tắt:

Vi phân: đạo hàm là giới hạn của độ dốc dây cắt, cho ra độ dốc tiếp tuyến và tốc độ biến thiên. Các điểm tiềm năng cực trị tìm từ f′ = 0 và được phân loại bằng dấu thay đổi hoặc f″; tiếp tuyến và pháp tuyến sử dụng tọa độ điểm từ f và độ dốc từ f′.