F · Exponentials and logarithms

AQA Toán A-level 7357, phần F (Hàm mũ và logarit), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Kiến thức nền: luật số mũ và máy tính khoa học từ GCSE.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Một mẫu được chia đôi mỗi 3.5 giờ, nhưng phòng thí nghiệm cần giá trị tại 5 giờ — không có bảng nào cung cấp dữ liệu đó. Làm thế nào để thay thế bảng thiếu bằng một công thức?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nói mô hình y = Ae^(kt) cần đầu vào gì, và biểu đồ log có thể khôi phục k từ dữ liệu như thế nào.

Phương pháp

• Trong y = Ae^(kt), A là lượng ban đầu và k là tỷ lệ proportion: dương cho tăng trưởng, âm cho suy giảm. Thời gian bán rã là ln 2/|k|; thời gian nhân đôi là ln 2/k.
• Logarit là hàm nghịch đảo của hàm mũ: y = a^x tương đương x = log_a y, chỉ xác định với y dương. Các quy tắc logarit suy ra từ các quy tắc lũy thừa: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Giải a^x = b ta được x = ln b / ln a. Vẽ đồ thị ln y theo t sẽ biến y = Ae^(kt) thành đường thẳng ln y = ln A + kt.
• Nửa đời: Thời gian để một đại lượng phân rã giảm xuống còn một nửa giá trị ban đầu; Logarit: Số mũ mà cơ số cho trước phải được nâng lên để thu được một số dương xác định.

Kiểm tra bài làm

• Một mô hình hàm mũ phù hợp là một mô hình: hãy kiểm tra đơn vị thời gian và khoảng giá trị được nêu trước khi dự đoán, và so sánh kết quả dự đoán với một phép đo mới (phần dư) trước khi tin tưởng vào nó. Hệ số k âm biểu thị sự phân rã; giá trị ban đầu âm thường mâu thuẫn với bối cảnh thực tế.
• Trong phương trình logarit, ghi nhận miền xác định ban đầu trước: mọi đối số của mọi hàm logarit đều phải dương, vì vậy các nghiệm tìm được sau khi gộp logarit cần được kiểm tra lại với điều kiện đó.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: y = 80e^(−0.2t), y tính bằng gam, t tính bằng giờ. Một nửa lượng chất nghĩa là 40 = 80e^(−0.2t), suy ra e^(−0.2t) = 1/2. Lấy logarit tự nhiên: −0.2t = −ln 2, nên t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 giờ. Giá trị k như vậy cũng áp dụng cho nửa đời bất kể giá trị ban đầu nào.

Ví dụ:

Giải 3^x = 20 theo cùng trình tự: lấy logarit → áp dụng quy tắc lũy thừa → chia → giải thích. (Đáp án: x ln 3 = ln 20, nên x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Kiểm tra: 3^2.727 ≈ 20.)

Giới hạn và bẫy logic

• Quy tắc logarit chỉ áp dụng cho các đối số dương; ln(x + y) KHÔNG có quy tắc tổng (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). Mô hình hàm mũ cần đơn vị thời gian khớp với hệ số k; tốc độ tăng hiệu dụng hàng năm là 10% nghĩa là k = ln 1.1, không phải k = 0.1.

Cảnh báo:

Với x, y dương, ln(x + y) = ln x + ln y. Khẳng định này sai: quy tắc tích là ln(xy) = ln x + ln y; không có quy tắc nào cho tổng nằm bên trong logarit, như minh chứng bởi x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69 nhưng ln 1 + ln 1 = 0).

Tóm tắt:

Hàm mũ và logarit: y = Ae^(kt) với nửa đời ln 2/|k|; logarit là hàm ngược của hàm mũ, tuân theo các quy tắc tích/thương/lũy thừa, và biến một hàm mũ phù hợp thành đường thẳng. Hãy kiểm tra miền xác định và đơn vị trước khi giải.