Toán học A-Level AQA 7357, phần E (Hàm lượng giác), phiên bản 1.3 (đánh giá lần đầu 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.
Kiến thức nền: Lượng giác tam giác vuông GCSE và các giá trị chính xác.
Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.
5.2
Lượng giác
Câu hỏi
Hai học sinh được cho A = 30°, a = 7 và b = 10. Một người báo cáo có một tam giác; người kia khẳng định có hai, và cả hai đều là tam giác vuông. Thông tin nào phân biệt các trường hợp?
Trước khi đọc tiếp, hãy nêu quy tắc nào ghép cạnh với góc đối diện, và kiểm tra bổ sung nào cần thiết cho đáp án của hàm sin ngược.
Phương pháp
Trên đường tròn đơn vị, điểm tại góc θ là (cos θ, sin θ), do đó dấu số phụ thuộc vào góc phần tư và các giá trị chính xác đến từ các tam giác 30-60-90 và 45-45-90. Một radian là góc có cung bằng bán kính: s = rθ và diện tích hình quạt = r²θ/2 yêu cầu dùng radian.
Quy tắc sin ghép các cặp cạnh đối diện và góc đối diện: a/sin A = b/sin B. Quy tắc cos a² = b² + c² − 2bc cos A sử dụng góc đối diện với a. Trong trường hợp không xác định, sin B = b sin A / a có thể cho B hoặc góc bù 180° − B — cả hai phải được thử lại với góc còn lại.
đường tròn đơn vị: Đường tròn bán kính 1 mà (cos θ, sin θ) là điểm tại góc θ; radian: Góc chắn bởi cung có độ dài bằng bán kính; quy tắc sin: Quy tắc a/sin A = b/sin B ghép cạnh đối diện và góc đối diện; quy tắc cos: Quy tắc a² = b² + c² − 2bc cos A; trường hợp không xác định: Tình huống của quy tắc sin nơi hai tam giác có thể thỏa mãn cùng một dữ liệu.
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2; với A = 30°, b = 10, a = 7, quy tắc sin cho B = 46° hoặc 134°
Kiểm tra bài làm
Chọn quy tắc từ thông tin đã biết: một cặp cạnh-góc tương ứng đòi hỏi quy tắc sin; hai cạnh kèm theo góc xen giữa, hoặc ba cạnh, đòi hỏi quy tắc cos. Đối với diện tích, ab sin C / 2 cần góc NẰM GIỮA a và b.
Kiểm tra từng góc ứng viên: góc còn lại C = 180° − A − B phải dương, và mọi cạnh phải dương. Máy tính bỏ túi chỉ trả về giá trị chính gốc nhọn của hàm sin ngược — góc bù là một ứng viên riêng biệt.
Ví dụ giải chi tiết
Đã biết: hai cạnh 6 và 8 bao quanh góc 60°. Sử dụng quy tắc cos: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Vậy c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. Diện tích là (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.
Ví dụ:
Đối với A = 30°, a = 7, b = 10, tìm các giá trị có thể có của B theo cùng trình tự: đã biết → quy tắc sin → cả hai nhánh → kiểm tra tính hợp lệ. (Đáp án: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, nên B ≈ 45.6° hoặc B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Cả hai để lại góc thứ ba dương, nên HAI tam giác phù hợp.)
Giới hạn và bẫy logic
Trường hợp không xác định cần đếm số lượng: với h = b sin A và A nhọn, a < h cho không có gì, a = h cho một tam giác vuông, h < a < b cho hai, và a ≥ b cho một. Các phương trình lượng giác trên một khoảng phải liệt kê mọi nghiệm: sin x = 1/2 trên [0, 2π) có cả π/6 và 5π/6.
Cảnh báo:
Giá trị sin ngược của máy tính bỏ túi là góc duy nhất có thể trong bài toán quy tắc sin. Khẳng định này sai: sin dương ở hai góc phần tư, nên góc bù 180° − B là ứng viên thứ hai và phải được kiểm tra, đây chính là trường hợp không xác định.
Tóm tắt:
Lượng giác: đường tròn đơn vị để tìm giá trị và dấu, radian để tính cung và hình quạt, quy tắc sin với trường hợp không xác định, quy tắc cos cho góc xen giữa, và ab sin C / 2 để tính diện tích — luôn đi kèm kiểm tra tính hợp lệ của góc còn lại.
