D · Sequences and series

Toán học A-Level AQA 7357, phần D (Dãy số và chuỗi số), phiên bản 1.3 (đánh giá lần đầu 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Tiền đề: Dãy số cộng và hệ phương trình đồng thời GCSE.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Một người tiết kiệm gửi cùng một khoản tiền mỗi năm trong khi một khoản đầu tư tăng cùng một tỷ lệ phần trăm mỗi năm. Sau tám năm, số dư nào bạn có thể tính tổng chính xác chỉ trong một dòng?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nói xem cái nào tăng do phép cộng và cái nào tăng do phép nhân, cũng như mỗi công thức tổng cần những gì.

Phương pháp

• Cấp số cộng thêm một hiệu hằng số: uₙ = a + (n − 1)d. Tổng cấp số tính theo cách ghép cặp đầu cuối: Sₙ = n(a + uₙ)/2. Cấp số nhân nhân với tỷ lệ hằng số: uₙ = ar⁻¹, với Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) khi r ≠ 1.
• Tổng vô hạn của dãy số nhân chỉ tồn tại khi |r| < 1, vì các số hạng thu nhỏ về phía không: S∞ = a/(1 − r). Quan hệ truy hồi xác định mỗi số hạng dựa trên số hạng trước đó và cần một giá trị ban đầu; dãy số tuần hoàn lặp lại sau một số bước cố định.
• Dãy số cộng: Dãy số có hiệu số không đổi giữa các số hạng; Dãy số nhân: Dãy số có tỉ số không đổi giữa các số hạng; Quan hệ truy hồi: Quy tắc đưa ra mỗi số hạng từ giá trị liền trước; Dãy số tuần hoàn: Dãy số mà các số hạng lặp lại sau một số bước cố định.

Kiểm tra bài làm

• Tìm lại a và d từ hai số hạng đã cho bằng hệ phương trình đồng thời trước khi dùng công thức: u₃ = 10 và u₇ = 22 cho 4d = 12, do đó d = 3 và a = 4. Số lượng số hạng phải là số nguyên dương; phân số hoặc nghiệm âm bị loại bỏ, không được làm tròn để khớp vào vị trí.
• Kiểm tra một tổng đã khẳng định đối với vài số hạng đầu trực tiếp, và xác minh mục tiêu tối thiểu đối với các số nguyên ở CẢ HAI bên của điểm cắt.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: a = 5, d = 3, n = 8. Số hạng thứ tám là u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. Tổng là S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Mỗi cặp đầu cuối trong bốn cặp đều có tổng là 31, và 4 × 31 = 124 ✓.

Ví dụ:

Với a = 12, r = 0.5, tìm tổng vô hạn và chỉ số n đầu tiên mà tổng riêng phần vượt 23.9, sử dụng cùng dãy số: biết → công thức → thay thế → kiểm tra số nguyên. (Đáp án: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. Các tổng riêng phần là Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 và S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, do đó n = 8.)

Giới hạn và bẫy logic

• Công thức tổng vô hạn không hợp lệ khi r = 1 hoặc r = −1, nơi các số hạng không giảm dần; tỷ lệ âm hội tụ nếu độ LỚN của nó nhỏ hơn 1. Một công thức truy hồi cần giữ nguyên thứ tự phép toán: B tiếp theo = 1.1B + 50 khác với 1.1(B + 50).

Cảnh báo:

Mọi cấp số nhân đều có tổng hữu hạn tới vô hạn. Tuyên bố này sai: tổng chỉ tồn tại khi |r| < 1. Tại r = 2 các số hạng tăng không giới hạn, và tại r = −1 các tổng riêng phần dao động mãi mãi — cả hai đều không hội tụ.

Tóm tắt:

Dãy số và chuỗi số: dãy số cộng thêm (ghép cặp hai đầu để tính tổng), dãy số nhân nhân (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), và S∞ = a/(1−r) chỉ khi |r| < 1). Tìm lại tham số từ các số hạng đã cho, và yêu cầu đáp án là số nguyên cho số lượng.