Mặt cắt của anten vệ tinh và vành xe đều là hình tròn, nhưng chỉ có vành xe mới có thể viết dưới dạng (x − a)² + (y − b)² = r² với tâm có thể đọc ngay lập tức. Phương trình đó mang lại cho bạn điều gì?
Trước khi đọc tiếp, hãy nói xem các tham số a, b và r điều khiển cái gì, và làm thế nào để tìm hướng tiếp tuyến mà không cần đạo hàm.
Phương pháp
Đường thẳng đi qua (x₁, y₁) với hệ số góc m có phương trình y − y₁ = m(x − x₁). Các đường thẳng song song có chung hệ số góc m; các hệ số góc hữu hạn vuông góc thỏa mãn m₁ × m₂ = −1.
Một hình tròn có tâm (a, b) và bán kính r có phương trình (x − a)² + (y − b)² = r². Bán kính nối đến điểm tiếp xúc vuông góc với tiếp tuyến tại đó, do đó hệ số góc của tiếp tuyến là nghịch đảo đối của hệ số góc bán kính. Một đường kính chắn cung tạo thành góc vuông tại chu vi.
Hệ số góc: Sự thay đổi của y trên mỗi đơn vị thay đổi của x; hình tròn: Tập hợp các điểm ở khoảng cách cố định từ tâm; tiếp tuyến: Đường thẳng chạm hình tròn tại một điểm, vuông góc với bán kính tại điểm đó.
Hệ số góc bán kính 4/3 và hệ số góc tiếp tuyến −3/4 nhân với nhau bằng −1: các đường thẳng vuông góc
Kiểm tra bài làm
Kiểm tra xem một điểm đề xuất có nằm trên hình tròn hay không bằng cách thay vào (x − a)² + (y − b)² = r² trước khi dựng tiếp tuyến tại đó. Hoàn thành bình phương để tìm tâm từ dạng khai triển x² + y² + px + qy + s = 0 — và điều chỉnh cả vế phải.
Giao một đường thẳng với hình tròn bằng cách thay thế: nghiệm kép nghĩa là tiếp xúc, hai nghiệm nghĩa là dây cung, và biệt thức âm nghĩa là không có giao điểm.
Ví dụ giải chi tiết
Đã biết: hình tròn x² + y² = 25 và điểm (3, 4) nằm trên đó (3² + 4² = 25 ✓). Bán kính từ (0, 0) đến (3, 4) có hệ số góc 4/3, nên hệ số góc tiếp tuyến là −3/4 theo m₁ × m₂ = −1. Tiếp tuyến là y − 4 = −(3/4)(x − 3), chuyển vế thành 3x + 4y = 25.
Ví dụ:
Tìm tâm và bán kính của x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 theo cùng quy trình: nhóm các hạng tử → hoàn thành bình phương từng phần → đọc dạng chuẩn. (Đáp án: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, vậy tâm là (2, −1) và bán kính là 5; lưu ý dấu ngoặc đảo ngược trong tọa độ tâm.)
Giới hạn và bẫy logic
Quy tắc nghịch đảo âm yêu cầu các đạo hàm hữu hạn và khác không; bán kính nằm ngang tạo ra tiếp tuyến đứng, được phát biểu là x = hằng số. Một dây cung bị đường vuông góc qua tâm chia đôi là cách rút gọn tam giác vuông: nửa dây cung, bán kính và khoảng cách từ tâm tuân theo định lý Pythagoras.
Cảnh báo:
Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn có cùng độ dốc với bán kính nối đến điểm đó. Tuyên bố này sai: bán kính và tiếp tuyến vuông góc nhau tại điểm tiếp xúc, nên tích độ dốc của chúng bằng −1 — tại (3, 4), bán kính có độ dốc 4/3 và tiếp tuyến có độ dốc −3/4.
Tóm tắt:
Hình học tọa độ: đường thẳng xác định bởi điểm và độ dốc, đường tròn xác định bởi (x − a)² + (y − b)² = r². Tiếp tuyến sử dụng quan hệ vuông góc với bán kính; giao điểm sử dụng phương pháp thế và biệt thức.
Khám phá
Hình học tọa độ và tiếp tuyến
Đường thẳng qua (x₁, y₁) có độ dốc m có phương trình y-y₁=m(x-x₁)
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
Bài học tương tác về chủ đề này
Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
