AQA A-level Mathematics 7357, phần B (Đại số và hàm số), phiên bản 1.3 (đợt đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.
Yêu cầu tiên quyết: Đại số GCSE: lũy thừa, căn thức, phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình bậc hai.
Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.
2.2
Đại số và hàm số
Câu hỏi
Hai học sinh giải x² − 4x + 1 = 0. Một người hoàn thành bình phương và thu được đáp án chính xác; người kia thay thế vào công thức và làm tròn quá sớm, dẫn đến sai lệch lên tới một phần mười. Điều gì tách biệt một phương pháp chính xác khỏi một phương pháp sai lệch?
Trước khi đọc tiếp, hãy nói rõ mỗi phương pháp giải cần những thông tin gì, và bạn sẽ kiểm tra một đáp án cuối như thế nào.
Phương pháp
Một phương trình bậc hai có thể được giải bằng cách phân tích thành nhân tử, hoàn thành bình phương (dạng a(x − h)² + k cho đỉnh (h, k)) hoặc bằng công thức. Biệt thức b² − 4ac đếm số nghiệm thực trước khi tiến hành giải bất kỳ.
Hàm số gán mỗi đầu vào của miền xác định đúng một giá trị đầu ra. Hàm ngược chỉ tồn tại nếu hàm số đó là đơn điệu trên miền xác định — hạn chế x² thành x ≥ 0 trước. Tổ hợp fg(x) = f(g(x)) áp dụng g trước, và fg và gf nói chung khác nhau. Biến đổi đồ thị đọc từ dạng nhân a·f(b(x − h)) + k: co giãn theo 1/b và a, sau đó dịch chuyển theo h và k.
hoàn thành bình phương: Viết lại đa thức bậc hai dưới dạng a(x−h)²+k để đọc đỉnh và giải chính xác; biệt thức: Lượng b²−4ac quyết định số nghiệm thực tồn tại; hàm số: Quy tắc cho đúng một giá trị đầu ra cho mỗi đầu vào hợp lệ; miền xác định: Tập hợp các đầu vào hợp lệ của một hàm số.
Bình phương hoàn chỉnh cho đỉnh (2, −1); hàm nghịch đảo là phép phản xạ qua y = x sau khi thu hẹp miền xác định
Kiểm tra bài làm
Kiểm tra mọi nghiệm trong phương trình GỐC, đặc biệt sau khi bình phương (có thể tạo ra nghiệm giả) hoặc chia cho một biểu thức (có thể làm mất trường hợp bằng 0). Giữ dạng căn thức chính xác cho đến khi làm tròn theo yêu cầu; việc làm tròn giữa chừng là nguyên nhân gây mất phần thập phân.
Đối với nghịch đảo được khẳng định, hãy kiểm tra f(f⁻¹(x)) = x trên miền xác định của nghịch đảo, và nêu rõ miền xác định đó — nghịch đảo của x² chỉ tồn tại trên một nhánh bị giới hạn.
Ví dụ giải chi tiết
Đã biết: x² − 4x + 1 = 0. Hoàn thành bình phương: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, suy ra (x − 2)² = 3. Chuyển vế: x − 2 = ±√3. Thay thế thu được x = 2 + √3 ≈ 3.732 hoặc x = 2 − √3 ≈ 0.268. Kiểm tra: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.
Ví dụ:
Với f(x) = x² − 4 có miền xác định x ≥ 0, tìm nghịch đảo và miền xác định của nó theo cùng quy trình: quan hệ đã biết → chuyển vế → chọn nhánh → nêu miền xác định và tập giá trị. (Đáp án: từ y = x² − 4, ta có x = √(y + 4) dùng nhánh x ≥ 0, nên f⁻¹(x) = √(x + 4) với miền xác định x ≥ −4 và tập giá trị y ≥ 0.)
Giới hạn và bẫy logic
Công thức luôn đúng nhưng dạng chính xác được ưu tiên khi các nghiệm là căn thức; số thập phân chỉ là ước lượng. Phép hợp hàm phụ thuộc vào thứ tự, và đồ thị biến đổi phải được kiểm tra bằng cách theo dõi một điểm đã biết, chứ không chỉ dựa vào công thức.
Cảnh báo:
Hàm f(x) = x² có nghịch đảo trên toàn bộ tập số thực. Khẳng định này sai: hai đầu vào khác nhau có cùng giá trị (2 và −2 đều cho 4), nên ánh xạ ngược không phải là hàm — cần giới hạn miền xác định trước, ví dụ x ≥ 0, khi đó f⁻¹(x) = √x.
Tóm tắt:
Đại số và hàm số: hoàn thành bình phương hoặc sử dụng công thức với biệt thức như một đếm số nghiệm; kiểm tra các ứng viên trong phương trình gốc. Hàm số cần nêu miền xác định; nghịch đảo cần các nhánh đơn nhất, và phép biến đổi đồ thị đọc từ dạng nhân tử.
Khám phá
Tập xác định, hàm ngược và hàm hợp
Xác định tập xác định và tập giá trị
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
