O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, mục O (Kiểm định giả thuyết thống kê), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Yêu cầu tiên quyết: các mô hình nhị thức và chuẩn từ mục N.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Một nhà máy tuyên bố tỷ lệ lỗi là 10%, và một mẫu 10 có 3 sản phẩm lỗi. Một học sinh nói "3 sản phẩm lỗi chứng tỏ tỷ lệ vượt quá 10%." Cách kiểm tra đúng đắn cho tuyên bố này là gì?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nêu giả thuyết mặc định, giả thuyết đối và xác suất nào cần dùng để đánh giá bằng chứng.

Phương pháp

• Phát biểu giả thuyết không H₀ và giả thuyết đối H₁ trong tham số tổng thể TRƯỚC khi xem xét kết quả. Tính xác suất, dưới H₀, của một kết quả cực đoan ít nhất như quan sát được — đó là xác suất đuôi.
• So sánh nó với mức ý nghĩa đã chọn (như 5%). Nếu phần đuôi meet mức ý nghĩa, bác bỏ H₀; nếu không, nói rằng bằng chứng KHÔNG ĐỦ, tuyệt đối không nói H₀ được chứng minh. Ý nghĩa thống kê không nói gì về KÍCH THƯỚC thực tiễn của hiệu ứng.
• Giả thuyết không: Tuyên bố mặc định về tham số tổng thể, được kiểm tra chống lại bằng chứng; Giả thuyết đối: Tuyên bố được chấp nhận nếu bằng chứng chống lại H₀ đủ mạnh; Mức ý nghĩa: Ngưỡng xác suất đã chọn để bác bỏ giả thuyết không.

Kiểm tra bài làm

• Chọn phần đuôi dựa trên H₁, không phải phần đuôi nào cho ra con số nhỏ hơn: H₁: p > 0.1 cần P(X ≥ giá trị quan sát), tức là phần đuôi trên. Bài kiểm tra hai phía nhân đôi phần đuôi khi tuyên bố là "khác", không phải "lớn hơn".
• Các giả thuyết nói về THAM SỐ (tỷ lệ lỗi thực tế), không phải mẫu; và chúng được cố định trước khi nhìn thấy dữ liệu, nếu không bài kiểm tra bị gian lận.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, và 3 sản phẩm lỗi được quan sát. Dưới H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. Ở mức 5%, 0.0702 > 0.05: không đủ bằng chứng để cho thấy tỷ lệ lỗi vượt quá 10%.

Ví dụ:

Một giá trị p một phía đúng là 0.03 ở mức 5%. Trình bày kết luận theo cùng trình tự: so sánh với mức → kết luận trong ngữ cảnh. (Đáp án: 0.03 < 0.05, nên bác bỏ H₀: bằng chứng hỗ trợ tuyên bố đối ở mức 5%.)

Giới hạn và bẫy logic

• Không bác bỏ H₀ không phải là chứng minh nó đúng — mẫu có thể đơn giản quá nhỏ để phát hiện sự khác biệt thực tế. Mức 5% có nghĩa là 1 trong 20 tuyên bố vô tội sẽ bị "bác bỏ" do ngẫu nhiên qua nhiều lần kiểm tra; ý nghĩa thống kê không đo lường tầm quan trọng.

Cảnh báo:

Không bác bỏ giả thuyết không chứng minh nó đúng. Phát biểu này là sai: bài kiểm tra chỉ đo xem bằng chứng chống lại H₀ có vượt ngưỡng hay không. Bằng chứng yếu khiến H₀ chưa được chứng minh, chứ không phải được chứng thực — "không đủ bằng chứng" và "chứng minh đúng" là hai kết luận hoàn toàn khác nhau.

Tóm tắt:

Kiểm định giả thuyết thống kê: phát biểu H₀ và H₁ trong tham số trước, tính xác suất đuôi dưới H₀, so sánh với mức ý nghĩa đã thiết lập trước, và kết luận trong ngữ cảnh — tuyệt đối không claiming giả thuyết không được chứng minh khi nó còn tồn tại.