M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, phần M (Xác suất), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Tài liệu giảng dạy gốc.

Tiền đề: Cây xác suất và sơ đồ Venn GCSE.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Hai quân cờ được rút ra khỏi túi chứa 3 màu đỏ và 2 màu xanh dương, lần lượt từng cái. Xác suất ở lần rút thứ hai khác với lần đầu — đây là lỗi hay là điểm nhấn?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nói xem "không hoàn lại" thay đổi điều gì, và cây xác suất thể hiện điều đó ra sao.

Phương pháp

• Nhân dọc theo một nhánh cây và cộng các nhánh rời rạc cho một kết quả. Xác suất có điều kiện giới hạn không gian mẫu: P(A khi B) = P(A ∩ B)/P(B) đối với P(B) > 0. Không hoàn lại, thành phần sẽ thay đổi cho lần rút tiếp theo.
• Rời rạc có nghĩa là không có sự giao nhau; độc lập có nghĩa là việc biết một biến cố không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Hai biến cố rời rạc với xác suất dương thì không bao giờ độc lập: nếu A xảy ra, P(B) giảm xuống 0.
• xác suất có điều kiện: Xác suất của một biến cố nằm trong nhóm được chọn bởi thông tin đã cho; rời rạc: Các biến cố không thể xảy ra cùng nhau; độc lập: Các biến cố mà việc biết một biến cố không làm thay đổi xác suất của biến cố còn lại\u2019s.

Kiểm tra bài làm

• Điền sơ đồ Venn từ phần GIAO NHAU ra ngoài: với 18 đạp xe, 12 bơi và 7 làm cả hai, các vùng duy nhất là 11 và 5, vậy ít nhất một là 23 và không có gì là 7 trong số 30. Cộng 18 + 12 sẽ đếm trùng phần 7.
• Xác suất có điều kiện sử dụng tổng của nhóm có điều kiện làm mẫu số: P(bơi khi đạp xe) = 7/18, không phải 7/30. Đảo ngược điều kiện thường làm thay đổi giá trị.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: 3 bi đỏ và 2 bi xanh, rút hai lần không hoàn lại. P(hai bi đỏ) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(mỗi màu một quả) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Các nhánh nhân với nhau và các tuyến đường rời rạc cộng lại.

Ví dụ:

Cho P(A ∩ B) = 0.12 và P(B) = 0.3, tìm P(A khi B) bằng cùng một trình tự: xác định nhóm có điều kiện → chia → diễn giải. (Đáp án: P(A khi B) = 0.12/0.3 = 0.4. Mẫu số là xác suất của B, không phải không gian toàn bộ.)

Giới hạn và bẫy logic

• Độc lập và loại trừ trả lời cho những câu hỏi khác nhau: các sự kiện rời rạc với xác suất dương luôn phụ thuộc. Số lượng kỳ vọng (np) là trung bình dài hạn, không phải đảm bảo cho một lần thử duy nhất.

Cảnh báo:

Các sự kiện loại trừ lẫn nhau có xác suất dương thì phải độc lập. Tuyên bố này sai: nếu A và B không thể xảy ra cùng lúc, thì P(B khi biết A) = 0 ≠ P(B) — việc biết A đã xảy ra làm thay đổi hoàn toàn xác suất của B, điều ngược lại với tính độc lập.

Tóm tắt:

Xác suất: nhân dọc theo các nhánh, cộng các tuyến đường rời rạc; xác suất có điều kiện chia cho nhóm có điều kiện; không hoàn lại thì xác suất thay đổi theo từng bước; rời rạc với xác suất dương nghĩa là phụ thuộc, không bao giờ độc lập.