Toán học A-Level 7357, phần L (Trình bày và diễn giải dữ liệu), phiên bản 1.3 (kỳ thi đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.
Kiến thức nền: Trung bình GCSE, bảng tần số và biểu đồ hộp.
Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.
12.2
Trình bày và diễn giải dữ liệu
Câu hỏi
Cột cao nhất của biểu đồ histogram chứa ÍT quan sát hơn so với cột thấp hơn nhưng rộng hơn ngay bên cạnh. Làm thế nào để hình ảnh trung thực mà việc đọc số vẫn sai?
Trước khi đọc tiếp, hãy nói DIỆN TÍCH của một cột histogram có ý nghĩa gì, và chiều cao đơn thuần chỉ cho bạn biết điều gì.
Phương pháp
Histogram sử dụng DIỆN TÍCH cho tần số, nên với độ rộng lớp không đồng đều, chiều cao là mật độ tần số: tần số ÷ độ rộng lớp. Trung bình và trung vị nhóm là các ước tính — các giá trị bên trong một lớp được đại diện bởi trung điểm lớp hoặc vị trí nội suy.
A box plot shows minimum, quartiles, median and maximum. Compare the median for the typical value and the interquartile range (IQR = Q3 − Q1) for consistency. An outlier rule such as 1.5 × IQR beyond the quartiles is a stated convention, not a law.
mật độ tần số: Tần số chia cho độ rộng lớp, được dùng làm chiều cao biểu đồ; biểu đồ hộp: Hiển thị bộ năm số để so sánh phân phối; khoảng tứ phân vị: Tứ phân vị trên trừ đi tứ phân vị dưới, thể hiện độ phân tán của nửa dữ liệu ở giữa.
Trong biểu đồ cột, diện tích biểu thị tần số, nên cột rộng không đồng nghĩa với nhiều dữ liệu hơn; cùng trung vị nhưng B có IQR nhỏ hơn
Kiểm tra bài làm
Trước khi so sánh các biểu diễn, hãy đọc các đại lượng trục, đơn vị và thang đo: trục bị cắt cụt sẽ phóng đại, và giá trị trung bình nhóm là ước tính vì các giá trị thực tế bên trong mỗi lớp chưa biết.
So sánh cả vị trí trung tâm và độ phân tán trong ngữ cảnh: trung vị bằng nhau không có nghĩa là phân bố bằng nhau, và IQR chỉ mô tả nửa dữ liệu ở giữa — một phạm vi toàn phần lớn hơn vẫn có thể đi kèm với biểu đồ hộp hẹp hơn.
Ví dụ giải chi tiết
Đã biết: các lớp 0–10, 10–20, 20–40 với tần số 20, 30, 20. Bề rộng là 10, 10, 20, nên mật độ là 2, 3, 1. Cột cuối cùng ngắn nhất dù có 20 quan sát vì bề rộng gấp đôi; diện tích 20, 30, 20 khôi phục đúng tần số.
Ví dụ:
Đối với dữ liệu đã nhóm này, ước tính trung bình bằng cách sử dụng giá trị đại diện (trung điểm), theo đúng trình tự: trung điểm → tổng có trọng số → chia. (Đáp án: các trung điểm 5, 15, 30 cho tổng ước tính 5×20 + 15×30 + 30×20 = 1,150; trung bình ước tính = 1,150/70 ≈ 16.4. Đây là ước tính, vì mỗi lớp được đại diện bởi trung điểm của nó.)
Giới hạn và bẫy logic
Cột cao nhất không tự động có tần số lớn nhất: hãy kiểm tra độ rộng trước. Biểu đồ tần số lũy tiến vẽ các tổng cộng dồn tại biên lớp TRÊN, và các tứ phân vị đọc từ đó là các ước tính nội suy, không phải phép đo chính xác.
Cảnh báo:
Chiều cao cột biểu đồ cột luôn bằng tần số, ngay cả khi các lớp có độ rộng khác nhau. tuyên bố này sai: chiều cao là MẬT ĐỘ TẦN SỐ; chỉ có diện tích mới bằng tần số. Cột rộng với tần số 20 và mật độ 1 chứa chính xác cùng lượng dữ liệu như cột hẹp có mật độ 2.
Tóm tắt:
Trình bày và giải thích dữ liệu: diện tích biểu đồ cột mang tần số, thống kê nhóm là ước tính trung điểm, biểu đồ hộp so sánh trung vị và IQR trong ngữ cảnh, và mọi phép so sánh đều bắt đầu từ đơn vị và thang đo của trục.
