J · Vectors

Toán A-Level AQA 7357, phần J (Véc-tơ), phiên bản 1.3 (đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy gốc.

Kiến thức nền: hình học tọa độ từ phần C và định lý Pythagoras.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Một drone bay từ A(1, 2) đến B(5, 5), nhưng phần mềm nhiệm vụ yêu cầu cả đoạn đường trở về. Công thức duy nhất nào cho phép tính cả độ dịch chuyển đi ra và sự đảo ngược chính xác của nó?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nêu một vectơ độ dịch chuyển cần thêm gì ngoài khoảng cách, và đoạn đường trở về khác biệt như thế nào.

Phương pháp

• Một vectơ mang độ lớn và hướng. Vectơ vị trí xác định các điểm từ một gốc tọa độ; độ dịch chuyển từ A sang B là AB = b − a, và BA = −AB đảo ngược nó. Cộng và trừ các thành phần; nhân với vô hướng giữ nguyên tính song song của vectơ.
• Tích vô hướng a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ đo góc: hai vectơ vuông góc có a·b = 0, và a·a = |a|². Độ lớn tính theo Pythagoras: |(4, 3)| = 5.
• vectơ: Đại lượng có độ lớn và hướng; độ dịch chuyển: Vectơ nối từ một điểm đến điểm khác, b − a; tích vô hướng: Tổng các tích thành phần, bằng |a||b| cos θ.

Kiểm tra bài làm

• Giữ thứ tự trừ: BA = −AB, do đó hoán đổi đầu cuối sẽ đảo ngược mọi thành phần. Một tuyên bố về tính song song cần quan hệ nhân vô hướng giữa các vectơ; chỉ vẽ phác thảo không phải là chứng minh.
• Đối với ba điểm thẳng hàng, cần chứng minh hai độ dịch chuyển song song VÀ chung một điểm; các vectơ song song ở các vị trí khác nhau không chứng minh được chúng nằm trên cùng một đường thẳng.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: a = (4, 1) và b = (1, 3). Tích vô hướng là a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. Độ lớn là |a| = √17 và |b| = √10, nên cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, suy ra θ ≈ 57.5°. Vì a·b ≠ 0, hai vectơ không vuông góc.

Ví dụ:

Với A(1, 2) và B(5, 5), tìm độ dịch chuyển AB, độ lớn của nó và độ dịch chuyển trở về, sử dụng cùng trình tự. (Đáp án: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), cùng độ lớn nhưng ngược chiều.)

Giới hạn và bẫy logic

• Một vectơ trả lời "bao xa VÀ theo hướng nào"; khoảng cách chỉ là đại lượng vô hướng. Tích vô hướng xem xét hướng: nó đạt cực đại khi các vectơ cùng hướng, bằng 0 khi vuông góc, và âm khi ngược chiều.

Cảnh báo:

AB và BA có cùng các thành phần. Tuyên bố này sai: BA = −AB đảo ngược mọi thành phần — từ B quay lại A là (−4, −3), không phải (4, 3). Chỉ có độ lớn là giống nhau.

Tóm tắt:

Các vectơ: độ dịch chuyển = điểm cuối − điểm đầu, bị đảo ngược bởi đoạn đường trở về; các thành phần cộng lại; nhân với vô hướng vẫn song song; tích vô hướng cho góc, với tính vuông góc đúng khi a·b = 0.