A · Proof

AQA A-level Toán học 7357, phần A (Chứng minh), phiên bản 1.3 (đợt đánh giá đầu tiên 2018). Ghi chú giảng dạy nguyên bản.

Yêu cầu tiên quyết: Biến đổi đại số từ GCSE.

Đây là các ví dụ giảng dạy nguyên bản, không phải tài liệu chính thức của AQA.

Câu hỏi

• Công thức n² + n + 41 tạo ra số nguyên tố cho n = 0, 1, 2, kéo dài đến 39. Một học sinh kết luận rằng nó luôn là số nguyên tố. Làm thế nào một con số có thể phá vỡ bốn mươi lần xác nhận?
• Trước khi đọc tiếp, hãy nêu xem loại lập luận nào có thể giải quyết một tuyên bố áp dụng cho MỌI trường hợp, và loại nào chỉ giải quyết được cho MỘT trường hợp cụ thể.

Phương pháp

• Một chứng minh suy luận bắt đầu từ các định nghĩa đã nêu và tuân theo logic: tổng của hai số lẻ 2a+1 và 2b+1 bằng 2(a+b+1), là số chẵn — được chứng minh cho mọi cặp số.
• Một ví dụ phản chứng bác bỏ một tuyên bố áp dụng cho mọi giá trị bằng một trường hợp sai lệch hợp lệ duy nhất: tại n = 41, giá trị là 41 × 43 = 1763, không phải số nguyên tố. Một chứng minh bằng phản chứng giả định phủ định và rút ra sự vô lý: nếu √2 = p/q ở dạng tối giản, thì p² = 2q² buộc p phải là số chẵn, và viết p = 2r buộc q cũng phải là số chẵn — mâu thuẫn với dạng tối giản, nên √2 là số vô tỉ.
• Suy luận: Chứng minh một tuyên bố thông qua các bước logic từ những sự thật đã chấp nhận; Ví dụ phản chứng: Một trường hợp hợp lệ duy nhất bác bỏ một tuyên bố phổ quát; Phản chứng: Giả định phủ định và rút ra sự vô lý.

Kiểm tra bài làm

• Kiểm tra n = 0, 1, 2, …, 39 là bằng chứng mạnh nhưng không phải là chứng minh: khẳng định đó liên quan đến MỌI số nguyên dương. Một chứng minh phải bao quát tất cả các trường hợp cùng lúc — bằng đại số tổng quát, bằng liệt kê hết một danh sách hữu hạn đầy đủ, hoặc bằng chứng minh bằng phản chứng.
• Trước khi chấp nhận một chứng minh, hãy kiểm tra cấu trúc của nó: liệu nó có bắt đầu từ các giả thiết thay vì từ kết luận không? Liệu phép phản chứng có tấn công vào giả thiết đã nêu không? Việc kiểm tra các ví dụ chỉ xác minh tính đúng đắn của phép tính số học chứ không thể thay thế cho lập luận tổng quát.

Ví dụ giải chi tiết

• Đã biết: ví dụ phản chứng n = 41. Thay thế: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. Giá trị này có ước số là 41, do đó không phải là số nguyên tố — một trường hợp thất bại là đủ để bác bỏ tuyên bố phổ quát (n = 40, cho 1681 = 41², cũng thất bại).

Ví dụ:

Kiểm tra xem tổng của hai số chẵn có luôn luôn là số chẵn hay không bằng chứng minh trực tiếp: viết hai số đó dưới dạng 2a và 2b và chỉ ra cấu trúc. (Đáp án: 2a + 2b = 2(a + b), đây là bội số của 2, do đó luôn chẵn với mọi cặp số — không cần ví dụ nào.)

Giới hạn và bẫy logic

• Mỗi phương pháp đều yêu cầu một hình thức nhất định: chứng minh trực tiếp cần biến số tổng quát, liệt kê hết cần một danh sách trường hợp thực sự đầy đủ, và chứng minh bằng phản chứng cần sự vô lý phát sinh ngay từ việc phủ định bản thân. Một chứng minh về số nguyên không tự động áp dụng được cho số thực, và một đẳng thức được chứng minh cho mọi giá trị khác với một phương trình chỉ đúng tại các nghiệm cụ thể.

Cảnh báo:

Kiểm tra một tuyên bố đối với trăm số nguyên đầu tiên chứng minh rằng nó đúng cho mọi số nguyên dương. Tuyên bố này là sai: một mẫu hữu hạn là bằng chứng, chứ chưa phải là chứng minh — n² + n + 41 vượt qua 40 lần kiểm tra (n = 0 đến 39) và thất bại ở lần 41 (n = 40 cho 1681 = 41²), do đó chỉ có một lập luận tổng quát hoặc một ví dụ phản chứng mới xác định được một tuyên bố phổ quát.

Tóm tắt:

Chứng minh: chứng minh trực tiếp hoạt động dựa trên các định nghĩa với biến số tổng quát; một ví dụ phản chứng tiêu diệt một khẳng định cho mọi giá trị chỉ bằng một trường hợp; chứng minh bằng phản chứng giả sử điều phủ định và suy ra sự vô lý. Các ví dụ dùng để xác minh và bác bỏ — chúng chưa bao giờ chứng minh được một khẳng định phổ quát.