Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Áp dụng số lượng, đại số và hàm số
- Sử dụng hình học tọa độ và hình học Euclid cùng lượng giác
- Diễn giải thống kê, xác suất và các mô hình kỹ năng cốt lõi
Kiến thức nền: Quy tắc phân phối; căn bậc chính; $i^2=-1$.
Giải thích và chọn phương pháp
Chuẩn bị cho toán học cấp cao bao gồm số, đại số, hàm số, hình học và thống kê/xác suất. Kỹ năng cốt lõi kết hợp tỷ lệ, đơn vị và tỉ lệ thức.
Đối với một hàm số, theo dõi đầu vào và đầu ra. Hàm hợp áp dụng hàm bên trong trước.
Hình học tọa độ liên hệ giữa độ dốc, khoảng cách và phương trình. Tỉ số tam giác vuông đòi hỏi góc tham chiếu đúng.
Mô hình hóa bối cảnh với các giả định đã nêu, sau đó kiểm tra xem kết quả có hợp lý không. Máy tính hỗ trợ tính toán nhưng không thể chọn giúp bạn mô hình.
Số phức liên hợp thay đổi dấu phần ảo. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ đối với thực $a,b$. Do đó $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Mẫu số khác không; phân biệt giá trị chính xác với xấp xỉ thập phân của nó.
Ví dụ có lời giải. Nếu f(x)=2x+1 và g(x)=x², thì f(g(3))=f(9)=19. Nhưng g(f(3))=g(7)=49. Thứ tự rất quan trọng. Để kiểm tra xác suất, hai lần tung đồng xu công bằng độc lập sẽ cho P(hai mặt sải)=1/2×1/2=1/4.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Tóm tắt này giới thiệu các kỹ năng. Mỗi kỹ năng đều có tài liệu hướng dẫn và phiếu thực hành riêng: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 và 18. Hãy làm theo thứ tự đó.
Thực hành 1
Tính $(3-2i)/(1+i)$ theo dạng $a+bi$.
Lý luận. Nhân cả tử và mẫu với $1-i$. Tử số là $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Mẫu số là 2. Kết quả là $1/2-(5/2)i$. Nhân ngược lại với $1+i$ sẽ trả về $3-2i$.
Thực hành 2
Đánh giá $32^{2/5}$ và $\sqrt{(-7)^2}$. Giải $z^2+16=0$ trên tập số phức.
Lý luận. Căn bậc năm của 32 là 2, do đó $32^{2/5}=2^2=4$. Căn bậc hai chính là $|-7|=7$. Đối với phương trình, $z^2=-16$ cho ra $z=4i,-4i$, cả hai đều không thực.
Thực hành 3
Đưa ra một ví dụ cho thấy tích của hai số vô tỉ có thể là hữu tỉ, và một ví dụ khi nó là vô tỉ.
Lý luận. $\sqrt2\sqrt2=2$ là số hữu tỷ. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ là số vô tỷ. Không có tính đóng hay không đóng đối với mọi tích nào suy ra chỉ từ nhãn “vô tỷ” duy nhất.
Thực hành 4
Phân loại $\sqrt{50}$ và $\sqrt{50}\sqrt2$ là số hữu tỉ hay số vô tỉ. Đánh giá $32^{2/5}$ và $2^{-3}$. Sử dụng $\sqrt2$ và $-\sqrt2$ để kiểm tra xem liệu tổng của các số vô tỉ có nhất thiết là số vô tỉ hay không.
Lý luận. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ là số vô tỷ, trong khi $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ là số hữu tỷ. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ và $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Hai số vô tỷ cộng lại bằng không, là số hữu tỷ; số vô tỷ không đóng dưới phép cộng. Các tích căn bậc chẵn này sử dụng các radicand (số dưới dấu căn) thực không âm.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
ACT toán nâng cao sử dụng bốn lựa chọn trả lời. Một câu hỏi năm lựa chọn cũ có thể dạy một kỹ năng nhưng không nên định nghĩa nhịp độ bài thi hiện tại.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.