A.5 · พหุนาม และการขยายของสนาม
GRE Subject Test · GRE Mathematics หัวข้อ 11 3:12 การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
บท
Transcript
This unit tests polynomial irreducibility over a specified field, constructs small finite fields, uses extension degrees and the tower law, and uses cyclotomic roots and coefficient relations.
本单元在指定域上检验多项式的不可约性，构造小的有限域，使用扩张次数和塔定律，并使用分圆多项式的根与系数关系。
A quadratic or cubic is irreducible exactly when it has no root in the field, because any factor would be linear.
二次或三次多项式不可约，当且仅当它在该域中没有根，因为任何因子都会是一次的。
This root test fails from degree four: x squared plus 1, times x squared plus 2, has no real root but is reducible over R.
从四次起这个根判别法失效：(x² + 1)(x² + 2) 没有实根，但在 R 上可约。
Always name the base field.
一定要指明基域。
The quotient F x over p is a field when p is irreducible.
当 p 不可约时，商 F /(p) 是域。
If F has q elements and p has degree d, the quotient has q to the d elements, represented by polynomials of degree below d.
若 F 有 q 个元素、p 的次数为 d，则商有 q^d 个元素，用次数低于 d 的多项式表示。
Z mod 4 also has four elements but has zero divisors, so it is not the field with four elements.
Z/4Z 也有四个元素，但有零因子，所以它不是四元域。
For nested fields the degrees multiply.
对嵌套的域，次数相乘。
Over Q, sqrt 2 has degree two.
在 Q 上，√2 的次数是 2。
sqrt 3 is not in Q of sqrt 2, so adjoining it doubles again: a degree-four extension.
√3 不在 Q(√2) 中，所以再添加它次数又翻倍：得到四次扩张。
A degree-two extension cannot contain an element of degree three.
二次扩张不可能包含三次元素。
Primitive n-th roots of unity have exact order n and are the roots of the cyclotomic polynomial.
n 次本原单位根的阶恰好是 n，它们是分圆多项式的根。
For n equals 10, divide x to the 5 plus 1 by x plus 1 to exclude the order-two root, minus 1.
对 n = 10，用 x + 1 去除 x⁵ + 1，以排除二阶根 −1。
Vieta's formulas then give sum 1 and product 1 of the four primitive roots.
然后由韦达定理得到四个本原根之和为 1、积为 1。
Multiply alpha times alpha plus 1: alpha squared plus alpha, which is alpha plus 1 plus alpha, which is 1.
计算 α(α + 1)：α² + α = (α + 1) + α = 1。
So the inverse of alpha is alpha plus 1.
所以 α 的逆是 α + 1。
Also alpha cubed is 1 and alpha is not 1, so its multiplicative order is 3: multiply alpha three times and you are back.
又 α³ = 1 且 α ≠ 1，所以它的乘法阶是 3：乘三次 α 就回到原处。
This is a field of four elements.
这是一个四元域。
Polynomial reducibility changes with the coefficient field.
多项式是否可约取决于系数域。
x squared minus 2 is irreducible over Q but splits over R.
x² − 2 在 Q 上不可约，但在 R 上可以分解。
The quadratic takes value one at both elements of F2, so it has no root and is irreducible: the quotient is a field.
这个二次式在 F₂ 的两个元素处都取值 1，所以没有根，不可约：商是域。
Representatives have degree below two: 0, 1, alpha and 1 plus alpha.
代表元次数低于 2：0、1、α、1 + α。
The inverse of alpha is alpha plus 1.
α 的逆是 α + 1。
Direct multiplication factors x to the 4 plus 4 into two quadratics, so it is reducible despite having no rational root.
直接相乘可把 x⁴ + 4 分解成两个二次式，所以尽管没有有理根，它仍可约。
And if a root of an irreducible cubic lay in a degree-two extension, the tower law would make 3 divide 2: impossible.
若一个不可约三次式的根落在二次扩张中，塔定律会使 3 整除 2：这不可能。
Check yourself.
自我检测。
No root in degree four does not prove irreducibility.
四次多项式没有根并不能证明不可约。
Z mod 4 is not a field.
Z/4Z 不是域。
In F4 the inverse of alpha is alpha plus 1.
在 F₄ 中 α 的逆是 α + 1。
Q of sqrt 2 and sqrt 3 has degree 4.
Q(√2, √3) 的次数是 4。
And x squared minus 2 is reducible over R.
x² − 2 在 R 上可约。