การอนุมาน, ความขัดแย้ง และการอุปนัย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| counterexample/ˈkaʊntəreɡzæmpl/ | ตัวอย่าง反驳 |
ลายเส้น何时 becoming a proof?
- การตรวจสอบจำนวนเต็มหลายตัวอาจชี้ให้เห็นถึงลวดลายอะไรจะเปลี่ยนลวดลายนั้นให้กลายเป็นบทพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว?
- บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง ตัวอย่าง反驳: กรณีที่ถูกต้องเพียงกรณีเดียวที่ใช้ปฏิเสธข้อสรุปทั่วไป
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- การพิสูจน์แบบนิพนธ์เริ่มต้นจากนิยามหรือสมมติฐานที่กำหนดให้ ตัวอย่าง反驳 (counterexample) สามารถปฏิเสธข้ออ้างที่มีค่าสำหรับทุกกรณี การพิสูจน์โดยอุปมา requires base case และการเชื่อมโยงจาก n=k เป็น n=k+1; การตรวจสอบกรณีต่อเนื่องกันเพียงอย่างเดียวไม่ถือเป็นการพิสูจน์โดยอุปมา
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม n=41 จึงพิสูจน์ได้ว่า "n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก" ไม่ถูกต้อง?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การอ้างถึงทั่วไปล้มเหลวเพียงตัวอย่างเดียวที่ขัดแย้ง ที่ n=41 ค่าคือ 41×43 ซึ่งหารด้วย 41 ลงตัว ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ - ไม่จำเป็นต้องพิจารณากรณีอื่นอีก
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับจำนวนเต็มคี่ 2a+1 และ 2b+1, ผลรวม theirs คือ 2(a+b+1), ดังนั้นเป็นจำนวนคู่. ข้ออ้างว่า n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ล้มเหลวที่ n=41: ค่าที่ได้คือ 41×43=1763. สำหรับ 1+...+n=n(n+1)/2, ขั้นตอนอุปนัยเพิ่ม k+1 ลงในผลรวมที่ยอมรับแล้ว
การอนุมาน, ความขัดแย้ง และการอุปนัย
การพิสูจน์แบบนิพจน์เริ่มต้นจากนิยามหรือสมมติฐานที่กำหนดให้
แยกแยะการพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนออกจากตัวอย่าง反驳 (Counterexample) เดียว
หาค่าของ ²+n+41 เมื่อ n=41
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อ n=41 ค่าที่ได้คือ 41²+41+41=41×43=1763
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าสมมติว่าข้อสรุปเป็นจริงขณะกำลังพิสูจน์ ในกรณีความขัดแย้ง ให้ระบุผลที่ตามมาที่เป็นไปไม่ได้และปฏิเสธสมมติฐานเริ่มต้นที่ตรงกันข้าม การพิสูจน์โดยอุปมา (Induction) ไม่จำเป็นสำหรับ AQA 7357; เป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่เหมาะสมในตัวเอง
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การตรวจสอบจำนวนเต็มสิบตัวแรกเป็นการยืนยันข้ออ้างสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกตัว ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ 2a+1 และ 2b+1 โดยที่ a=3, b=4 จงหาผลบวกของทั้งสอง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จำนวนเต็มคี่สองจำนวนคือ 7 และ 9 ซึ่งมีผลรวมเท่ากับ 16
การตรวจสอบจำนวนเต็มสิบตัวแรก สามารถพิสูจน์ข้อสรุปสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อย่าสันนิษฐานข้อสรุปขณะกำลังพิสูจน์ ในกรณีความขัดแย้ง ให้ระบุผลที่гідว่าไม่เป็นไปได้และปฏิเสธสมมติฐานเริ่มต้นที่ตรงข้าม การอุปนัยไม่จำเป็นใน A-Level 7357; เป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่เหมาะสมในตัวเอง
ตีความสถานการณ์ใหม่
- การพิสูจน์ของ AQA รวมถึงการพิสูจน์แบบ deduction, การพิสูจน์ด้วยการแบ่งกรณี และ proof by contradiction IAL P2 นำเสนอการแบ่งกรณีและ counterexample ในขณะที่ P4 นำเสนอ proof by contradiction รักษาวิธีการให้ตรงกับชื่อหน่วยเรียน
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าของ 1+2+...+20
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จับคู่จุดปลาย: 20 พจน์ มีค่าเฉลี่ย 10.5 ให้ผลลัพธ์ 20×10.5=210
จับคู่วิธีการพิสูจน์แต่ละแบบกับโครงสร้างของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละวิธีมีโครงสร้างที่กำหนดไว้; การตรวจสอบหลายกรณีเป็นเพียงหลักฐานแต่ไม่เคยเป็นการพิสูจน์การอ้างถึงทั่วไป
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์บริสุทธิ์; หน่วยทางการ P2. การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นระบุไว้ในบททบทวนขอบเขต; ไม่ใช่ข้อกำหนดการเพิ่มคะแนนพิเศษ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
กรณีเดียวที่ถูกต้องซึ่งพิสูจน์ว่าข้ออ้างทั่วไปนั้นผิด เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์