อนุพันธ์และจุดคงที่
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?
- ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
- บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). จุดหยุดนิ่งจะสอดคล้องกับ dy/dx=0. ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ที่ x=0 ฟังก์ชัน y=x³ มี dy/dx=0 ทำไมจึงไม่ใช่จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดในท้องถิ่น?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ 3x² มีค่าเป็นบวกทั้งด้านซ้ายและขวาของ x=0 ดังนั้นจุดนั้นจึงเป็นจุดนิ่ง แต่ฟังก์ชันยังคงเพิ่มขึ้นต่อ - นี่คือจุดเปลี่ยนเว้า การจำแนกประเภทต้องอาศัยการเปลี่ยนเครื่องหมายหรืออนุพันธ์อันดับสอง ไม่ใช่เพียงแต่ dy/dx=0
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=2, ความชันคือ 9 และ y=2. เส้นสัมผัสคือ y-2=9(x-2). ความชันของเส้นฉากคือ -1/9.
อนุพันธ์และจุดคงที่
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
สำหรับ y=x³-3x, จงหา dy/dx ที่ x=2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=3x²-3. ที่ x=2 ค่าคือ 12-3=9
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การหาอนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด y (ordinate) ให้ประเมินค่า y และ dy/dx แยกกันที่พิกัด x ที่กำหนดให้; ความชันของเส้นฉากคือค่าผกผันทางลบของความชันของเส้นสัมผัสที่ไม่เป็นศูนย์
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
เส้นสัมผัสและเส้นฉากที่จุดเดียวกันมีความชันเท่ากันเสมอ ข้ออ้างนี้ไม่จริง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ y=x³-3x, หา y เมื่อ x=2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่าลงในเส้นโค้งเดิม: y(2)=8-6=2
เส้นสัมผัสและเส้นฉากที่จุดเดียวกันจะมีค่าความชันเท่ากันเสมอ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่ค่าพิกัด y (ordinate) ให้หาค่า y และ dy/dx แยกกันที่พิกัด x ที่กำหนดให้; ความชันของเส้นฉากคือค่าลบส่วนกลับของความชันของเส้นสัมผัส (เมื่อความชันไม่เท่ากับศูนย์)
ตีความสถานการณ์ใหม่
- P1 ครอบคลุมการหาอนุพันธ์พหุนาม ความชัน เส้นสัมผัส และเส้นฉาก การหาจุดสูงสุด/ต่ำสุดและการจำแนกจุดคงที่เรียนใน P2 ไม่ได้นำเสนอในส่วนนี้
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ y=4x³, จงหา dy/dx ที่ x=2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือ 12x²; ที่ 2 ค่าคือ 12×4=48
จับคู่ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับอนุพันธ์กับข้อความให้ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กฎเลขชี้กำลังลดค่าดัชนีลงหนึ่งขั้น; อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากับศูนย์บ่งบอกถึงผู้เข้าชิง และอนุพันธ์อันดับสองหรือการตรวจสอบเครื่องหมายช่วยในการจำแนกประเภท
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL คณิตศาสตร์บริสุทธิ์; หน่วยทางการ P1. การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นระบุไว้ในบททบทวนขอบเขต; ไม่ใช่ข้อกำหนดการเพิ่มคะแนนพิเศษ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ซึ่งก็คือความชันของเส้นสัมผัส เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์