การหารพหุนาม เศษเหลือ และตัวประกอบ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทตัวประกอบ |
วิธีหาค่ารากของสมการกำลังสามคืออย่างไร?
- กราฟของฟังก์ชันกำลังสามจะตัดแกนที่จุดที่กำหนดไว้ รากนี้ช่วยให้เราลดรูปสมการกำลังสามให้เป็นสมการกำลังสองได้โดยไม่ต้องเดารากอื่นๆ
- บทเรียนนี้ศึกษา ทฤษฎีบทตัวประกอบ: คำกล่าวที่ว่า x−a เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(a)=0 เท่านั้น
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เขียน P(x)=(x−a)Q(x)+R, โดยที่ R เป็นค่าคงที่ เมื่อแทนค่า x=a จะได้ R=P(a) ทำหารพจน์นำ, คูณตัวหารทั้งหมด, ลบด้วยวงเล็บ และทำซ้ำ ให้รวมสัมประสิทธิ์ศูนย์สำหรับดีกรีที่ไม่ปรากฏ
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม P(1)=0 ถึงบ่งบอกว่า x-1 เป็นตัวประกอบของ P(x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่า x=a ลงใน P=(x-a)Q+R จะทำให้เทอมควอทิเอนต์หายไป เหลือเพียง R=P(a) ส่วนเหลือศูนย์หมายถึงการหารพอดี - theorem ตัวประกอบกำลังทำงานอยู่
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ P(x)=x³−2x²−5x+6, การหารด้วย x−1 ได้ Q(x)=x²−x−6 และเศษเหลือ 0. จริง indeed (x−1)(x²−x−6)=P(x). แยกตัวประกอบ Q=(x−3)(x+2), ดังนั้นรากคือ 1,3,−2. การหาร P เดิมด้วย x−2 ได้ผลหาร x²−5 และเศษเหลือ −4: P=(x−2)(x²−5)−4. ดังนั้น P/(x−2)=x²−5−4/(x−2), สำหรับ x≠2.
การหารพหุนาม เศษเหลือ และตัวประกอบ
เขียน P(x)=(x−a)Q(x)+R โดยที่ R เป็นค่าคงที่
จำแนกขั้นตอนทางพีชคณิตและระบุเอกลักษณ์หรือเงื่อนไขโดเมนที่อยู่เบื้องหลังแต่ละการตัดสินใจ
สำหรับ P(x)=x³−2x²−5x+6, หา P(1)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(1)=1−2−5+6=0.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- สัญญาณใน x−a มีความสำคัญ: สำหรับ x+2 ให้ทดสอบ P(−2) เศษเหลือที่ไม่ใช่ศูนย์จะไม่หายไป ในแต่ละขั้นตอนการหารให้ลบผลคูณทั้งหมดออก; การละเว้นวงเล็บจะเปลี่ยนสัญญาณ
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
หาก P(a) ไม่เป็นศูนย์ x−a ก็ยังคงเป็นตัวประกอบของ P ข้อกล่าวอ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้อกล่าวอ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
หาเศษจากการหาร P ด้วย x−2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
R=P(2)=8−8−10+6=−4.
หาก P(a) มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ x−a ก็ยังคงเป็นปัจจัยของ P อยู่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เครื่องหมายใน x−a สำคัญ: สำหรับ x+2 ให้ทดสอบ P(−2) ผลหารที่ไม่เป็นศูนย์ไม่หายไป การลบผลคูณทั้งหมดในแต่ละขั้นตอนการหาร; การละเว้นวงเล็บจะเปลี่ยนเครื่องหมาย
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ตรวจสอบผลหารโดยการกระจายตัวประกอบ × ผลหาร + เศษเหลือ การแยกตัวประกอบสามารถแก้ P(x)=0 ได้ แต่การหารนิพจน์ทางตรรกะต้องคงค่าเข้าที่ห้ามใช้เดิมไว้ทั้งหมด
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าของผลหาร x²−x−6 ที่ x=4
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Q(4)=16−4−6=6.
จับคู่แนวคิดการหารแต่ละข้อกับคำกล่าว
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สังเกตเครื่องหมาย: x+2 สอดคล้องกับการทดสอบ P(-2) ส่วนเหลือที่ไม่ใช่ศูนย์จะคงอยู่ในนิพจน์สุดท้าย
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · B. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกก่อนกำหนดการขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
คำกล่าวที่ว่า x−a เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(a)=0เท่านั้น เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์