กรณีทั้งหมดและตัวอย่างที่反驳
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| proof by exhaustion/pruːf baɪ eɡˈzɔːstʃn/ | การพิสูจน์โดยการตรวจสอบทุกกรณี |
เมื่อสามกรณีครอบคลุมจำนวนเต็มทุกตัว?
- การทดสอบจำนวนเต็มพันตัวอาจพลาดตัวอย่าง反驳ถัดไป รายการที่ครอบคลุมของเศษเหลือที่เป็นไปได้สามารถแก้ปัญหาระหว่างจำนวนเต็มทุกตัวได้แทน
- บทเรียนนี้ศึกษา การพิสูจน์ด้วยการตรวจสอบทุกกรณี: การพิสูจน์ที่ตรวจสอบความเป็นไปได้ทั้งหมดในเซตของกรณีที่มีจำนวนจำกัดและครบถ้วน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เขียน n=3k, 3k+1 หรือ 3k+2 สำหรับจำนวนเต็ม k ทั้งหมดนี้เป็นเศษเหลือที่เป็นไปได้เมื่อหารด้วย 3 รวมถึงจำนวนเต็มลบ ตรวจสอบค่าของนิพจน์ในแต่ละกรณี ตัวอย่างเดียวที่ขัดแย้งสามารถปฏิเสธข้อสรุปแบบสากลได้ แต่ตัวอย่างที่สนับสนุนข้อสรุปนั้นไม่ได้เป็นการพิสูจน์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมการตรวจสอบ n=0,1,2 จึงไม่สามารถพิสูจน์การอ้างถึงเกี่ยวกับเศษเหลือของจำนวนเต็มทุกจำนวนเมื่อหารด้วย 3?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สามคลาสของเศษเหลือพร้อม k ทั่วไปครอบคลุมจำนวนเต็มทุกจำนวน ทั้งบวกและลบ ในหนึ่งข้อโต้แย้ง การตรวจสอบค่าตัวอย่างยืนยันเพียงค่าเหล่านั้นเท่านั้น
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ n=3k, n²=9k² หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับ n=3k+1, n²=3(3k²+2k)+1 สำหรับ n=3k+2, n²=3(3k²+4k+1)+1 ดังนั้น สี่เหลี่ยมสมบูรณ์จะมีเศษเหลือ 0 หรือ 1 ไม่เคย 2 การอ้างว่า n²+n+41 เป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ล้มเหลวที่ n=41: ค่าที่ได้คือ 1763=41×43
กรณีทั้งหมดและตัวอย่างที่反驳
เขียน n=3k, 3k+1 หรือ 3k+2 สำหรับจำนวนเต็ม k
จำแนกแต่ละข้อโต้แย้งและอธิบายเงื่อนไขที่ทำให้ข้อโต้แย้งนั้นถูกต้องหรือไม่สมบูรณ์
การหารด้วย 3 ต้องพิจารณาเศษเหลือกี่กรณี?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เศษที่เหลือที่เป็นไปได้คือ 0,1,2 ซึ่งแบ่งออกเป็นสามกรณี
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ตัวอย่างจำกัดไม่ใช่การตรวจสอบครบถ้วน เว้นแต่จะครอบคลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้ การตรวจสอบเพียง n=0,1,2 ไม่เพียงพอ: สมการที่มี k จำนวนเต็มทั่วไปรองรับจำนวนเต็มทั้งหมด
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
หากข้ออ้างเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มร้อยแรก แสดงว่าพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด ข้ออ้างนี้ไม่จริง อธิบายว่าขัดแย้งกับนิยามหรือสมมติฐานใด
เลข 8² มีเศษเหลือเท่าใดเมื่อหารด้วย 3?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
64=3×21+1.
หากข้ออ้างใช้ได้กับจำนวนเต็มร้อยตัวแรก แสดงว่าพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวอย่างจำกัดจะไม่ใช่การพิสูจน์แบบครบถ้วนเว้นแต่จะครอบคลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้ การตรวจสอบเฉพาะ n=0,1,2 ไม่เพียงพอ: นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม k ทั่วไปสามารถอธิบายจำนวนเต็มได้ทุกตัว
ตีความสถานการณ์ใหม่
- เลือกการแบ่งกรณีให้ครบ เช่น คู่-คี่ หรือเศษเหลือ บอกเหตุผลว่าไม่มีกรณีไหนตกหล่น สำหรับข้ออ้างเชิงสากลที่ไม่จริง ให้ป้อนค่าที่ถูกต้องและยืนยันความล้มเหลวโดยตรง
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าของ ²+n+41 เมื่อ n=41
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
41²+41+41=1763=41×43.
จับคู่ผลลัพธ์ของการพิสูจน์แต่ละแบบกับสิ่งที่证实มัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รายการกรณีจำกัดที่ครบถ้วนพิสูจน์ด้วยการตรวจสอบแต่ละกรณี; ตัวอย่างจำกัดที่ไม่สมบูรณ์เป็นเพียงหลักฐาน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · A. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกIFICATIONS ก่อนมอบหมายส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
การพิสูจน์ที่ตรวจสอบทุกความเป็นไปได้ในชุดกรณีจำกัดที่ครบถ้วน เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์