การอินทิเกรตโดยใช้การแทนที่
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การแทนตัวแปร u |
กฎลูกโซ่, ทำย้อนกลับ
- กฎลูกโซ่ใช้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ การอินทิเกรตต้อง ยกเลิก กระบวนการนี้
- u-substitution (หรือ u-sub) คือการย้อนกลับของกฎลูกโซ่
- มันระบุฟังก์ชันประกอบ พร้อมกับอนุพันธ์ภายใน และลดรูปด้วยการตั้งชื่อใหม่
- เมื่อคุณ menguasaiสิ่งนี้แล้ว อินทิกรัลกลุ่มใหญ่ที่ปกติจะแก้ไม่ได้ก็กลายเป็นเรื่องธรรมดาไป
การแทนที่ u คือการย้อนกลับของกฎการหาอนุพันธ์ใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นการย้อนกลับการหาอนุพันธ์ของกฎลูกโซ่
ตั้งชื่อฟังก์ชันภายในเป็น $u$
- มองหาฟังก์ชันภายใน $g(x)$ ที่มีอนุพันธ์ $g'(x)$ ปรากฏอยู่ในตัวถูกอินทิเกรตด้วย (อาจคูณด้วยค่าคงที่)
- ให้ $u=g(x)$; จากนั้น $du=g'(x)\,dx$.
- เขียนอินทิกรัลทั้งหมดใหม่ในพจน์ของ $u$ —表达ที่ยุ่งเหยิง $x$-expression จะกลายเป็นอินทิกรal แบบง่าย $u$-integral.
- จากนั้นอินทิเกรตใน $u$ และ แทนค่ากลับ $u=g(x)$ ในตอนท้าย
ฟังก์ชันประกอบพร้อมสำหรับการแทนที่ u
y = ax³ + bx
ตัวอินทิกรัลเช่น $2x(x^2+1)^3$ ซ่อนฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของมัน — เป็นสัญญาณให้ทำการแทนที่
สำหรับ $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, การเลือกที่เหมาะสมคือ $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$u=x^2+1$ มี $du=2x\,dx$ ซึ่งปรากฏอยู่
ตัวอย่างที่ชัดเจนของรูปแบบนี้
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. ฟังก์ชันภายใน $u=x^2+1$, ดังนั้น $du=2x\,dx$.
- ค่า $2x\,dx$ ในอินทิกรal ตรงกับ $du$ — ตรงเป๊ะ
- อินทิกรal กลายเป็น $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- แทนค่ากลับ: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ เท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, แล้วแทนค่ากลับเข้าไป
จัดการค่าคงที่ หรือขอบเขต
- ถ้า $du$ ผิดจาก ค่าคงที่ factor, เพียงแค่คูณ/หารเพื่อแก้ไข (เช่น $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- สำหรับ อินทิกรal จำกัดขอบเขต, แทนค่ากลับเป็น $x$ ก่อนคำนวณ, หรือ เปลี่ยนขอบเขตให้เป็นค่า $u$-values.
- การเปลี่ยนขอบเขตสะอาดกว่า: แปลง $a,b$ เป็น $u(a),u(b)$ และอย่ากลับมาที่ $x$ อีกเลย
- ต้องจบคำตอบ อินทิกรal ไม่จำกัด ในพจน์ของตัวแปรต้นฉบับ $x$ เสมอ
คำนวณ $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (ให้ $u=x^3+1$).请输入十进制数。
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
การแทนค่า u ที่ถูกต้องจะแปลง $dx$ ทั้งหมดให้เป็น $du$ โดยไม่มี $x$ เหลือค้างอยู่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x$ หรือ $dx$ ที่เหลือค้างเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
การแทนตัวแปร u ใช้ได้เมื่อฟังก์ชันภายในมี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน $g'(x)$ ต้องปรากฏอยู่ (คูณด้วยค่าคงที่)
u-sub ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ อนุพันธ์ภายในมีอยู่จริง (ถึงแม้จะเป็นค่าคงที่คูณ) ถ้า $g'(x)$ ไม่มีอยู่, คุณไม่สามารถสร้างมันขึ้นมาเองได้. และอย่าลืมแปลง $dx$ เป็น $du$ — การทิ้ง stray $dx$ หรือ leftover $x$ เป็นข้อผิดพลาดคลาสสิก. สำหรับอินทิกรal จำกัดขอบเขต, เปลี่ยนขอบเขต หรือ แทนค่ากลับ, ไม่ใช่ทำทั้งสองอย่างผสมกัน
หาค่า $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$
- ให้ $u=x^3+1$, ดังนั้น $du=3x^2\,dx$. ขอบเขต: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- อินทิกรal กลายเป็น $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution ย้อนกลับ กฎลูกโซ่: ตั้ง $u=g(x)$ (ฟังก์ชันภายใน), แทน $g'(x)\,dx$ ด้วย $du$, อินทิเกรตใน $u$, แล้ว แทนค่ากลับ (หรือเปลี่ยนขอบเขตสำหรับอินทิกรal จำกัดขอบเขต). มันทำงานเมื่ออนุพันธ์ภายในปรากฏขึ้นจนกว่าจะมีค่าคงที่คูณ. ต้องแปลง $dx\to du$ อย่างสมบูรณ์เสมอ