การใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | ความเป็นเชิงเส้น |
กฎที่ทำให้การหาอินทิกรัลง่ายขึ้น
- อินทิกรัลจำกัดมีกฎพีชคณิตที่ชัดเจน — เป็นกฎที่เป็นมิตรเดียวกับที่ขีดจำกัดและอนุพันธ์มี
- คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถแยก แยกประกอบ และจัดเรียงอินทิกรัลใหม่โดยไม่ต้องคำนวณพื้นที่ซ้ำ
- ส่วนใหญ่ได้มาโดยตรงจาก "อินทิกรัล = พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย"
- เรียนรู้หลักๆ เพียงไม่กี่ข้อนี้ และอินทิกรัลที่ดูซับซ้อนมักจะลดรูปได้ในขั้นตอนเดียว
$\int fg\,dx$ เท่ากับ $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ไม่มีกฎผลคูณสำหรับอินทิกรัล
ความเป็นเชิงเส้น: แยกผลบวกและดึงค่าคงที่ออกมา
- ค่าคงที่คูณ: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$
- ผลบวก/ผลต่าง: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- รวมกันแล้วเรียกว่า ความเป็นเชิงเส้น — อินทิเกรตทีละพจน์ โดยสัมประสิทธิ์อยู่ด้านหน้า
- เหมือนกับการหาอนุพันธ์ คุณจัดการกับส่วนประกอบต่างๆ ไปทีละชิ้น
กำหนด $\int_0^4 f\,dx=10$ และ $\int_0^4 g\,dx=3$, หา $\int_0^4 (2f-g)\,dx$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2(10)-3=17$.
ความกว้างเป็นศูนย์และการสลับขีดจำกัด
- ความกว้างเป็นศูนย์: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — ไม่มีช่วง ไม่มีการสร้างพื้นที่
- สลับขีดจำกัด: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — การกลับทิศทางจะทำให้ เปลี่ยนเครื่องหมาย
- ดังนั้นลำดับของขีดจำกัดจึงมีผลต่อเครื่องหมาย
- ทั้งสองข้อนี้ช่วยรักษาความถูกต้องของการบันทึกเมื่อขีดจำกัดเคลื่อนที่ไปมา
ค่า $\int_5^5 f(x)\,dx$ สำหรับ $f$ ใดๆ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ช่วงที่มีความกว้างเป็นศูนย์ → $0$
ถ้า $\int_1^4 f\,dx=7$, แล้ว $\int_4^1 f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สลับขอบเขตทำให้เปลี่ยนเครื่องหมาย: $-7$
เลือก ทุก คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สามข้อแรกใช้ได้; "กฎ" ผลคูณเป็นเท็จ
การแบ่งช่วงเวลา
- ช่วงเวลาติดกัน: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$
- คุณสามารถแบ่งอินทิกรัลหนึ่งตัวออกเป็นหลายส่วนที่จุดภายในใดๆ $b$ แล้วนำไปบวกกัน
- สิ่งนี้สำคัญมากสำหรับฟังก์ชันthat being integrated แบบ piecewise และการใช้พื้นที่ย่อยที่กำหนดให้
- มันสามารถทำย้อนกลับได้เช่นกัน: รวมอินทิกรัลสองตัวที่ติดกันให้เป็นหนึ่งเดียว
แบ่งพื้นที่ที่จุดภายใน
y = x²
พื้นที่จาก $a$ ถึง $c$ เท่ากับพื้นที่จาก $a$ ถึง $b$ บวกกับ $b$ ถึง $c$ — อินทิกรัลสามารถแยกได้ในช่วงที่ติดกัน
ถ้ามี $\int_0^2 f\,dx=5$ และ $\int_2^6 f\,dx=8$, จงหาค่า $\int_0^6 f\,dx$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ช่วงที่ติดกันบวกกัน: $5+8=13$
ไม่มี "กฎผลคูณ" สำหรับอินทิกรัล: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. ความเป็นเชิงเส้นสามารถแยกได้เฉพาะในกรณีของ ผลบวกและค่าคงที่คูณ เท่านั้น ไม่เคยเป็นผลคูณหรือเศษส่วน และจำไว้ว่าการสลับขีดจำกัดทำให้ เครื่องหมาย สลับด้วย — ซึ่งเป็นจุดที่คนมักลืมง่าย
กำหนด $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ และ $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, หา $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$
- ความเป็นเชิงเส้น: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$
- $=2(10)-3=17$.
- ไม่ต้อง knowing ตัว $f$ หรือ $g$ เอง — สมบัติเหล่านี้ทำให้ได้คำตอบ
สมบัติของอินทิกรัลจำกัด: ความเป็นเชิงเส้น ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), ความกว้างเป็นศูนย์ ($\int_a^a f=0$), การสลับขีดจำกัดเปลี่ยนเครื่องหมาย ($\int_b^a f=-\int_a^b f$), และ การแบ่งช่วงเวลา ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). ไม่มีกฎผลคูณสำหรับอินทิกรัล