การกำหนดความโค้งเว้าของฟังก์ชันบนโดเมนทั้งหมด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | ความโค้ง |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | เว้าขึ้น |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | เว้าลง |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | จุดเปลี่ยนเว้า |
การโค้งงอของกราฟ
- การเพิ่มขึ้น/ลดลงบอก bạn ทิศทาง ที่กราฟไป; ความเว้า บอก bạn วิธีการงอ
- กราฟสามารถยกขึ้นในขณะที่งอเหมือนถ้วย (เปิดขึ้น) หรือเหมือนหมวก (ลง)
- การงอถูกควบคุมโดย เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง
- $f''$ วัดว่าความชัน $f'$ เปลี่ยนแปลงอย่างไร
เว้าขึ้น: $f'' > 0$
- เมื่อ $f''(x)>0$, กราฟ เว้าขึ้น — รูปร่างเหมือนรอยยิ้ม, เก็บน้ำไว้ได้
- ความชัน $f'$ เพิ่มขึ้น (มีค่าบวกมากขึ้นหรือลบน้อยลง)
- หลุมรูปถ้วยคือความเว้าขึ้น
- เส้นสัมผัสอยู่ ด้านล่าง ของกราฟที่เว้าขึ้น
กราฟมีความเว้าขึ้นที่ใดก็ต่อเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เว้าขึ้น ⇔ $f''>0$ (ความชันเพิ่มขึ้น).
เว้าขึ้นหมายความว่าความชัน $f'$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เว้าขึ้น ⇔ $f'$ เพิ่มขึ้น ⇔ $f''>0$.
เว้าลง: $f'' < 0$
- เมื่อ $f''(x)<0$, กราฟ เว้าลง — รูปร่างเหมือนหน้าบึ้ง
- ความชัน $f'$ ลดลง
- เนินรูปหมวกคือความเว้าลง
- เส้นสัมผัสอยู่ ด้านบน ของกราฟที่เว้าลง
ที่ซึ่ง $f''(x)<0$, กราฟมีความเว้า ____ (รูปทรงหมวก).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์อันดับสองลบ → เว้าลง
จุดเปลี่ยนเว้า: ที่ที่การงอพลิก
- จุดเปลี่ยนเว้า คือที่ที่ความเว้า เปลี่ยน — จากขึ้นเป็นลง หรือลงเป็นขึ้น
- ที่นั่น, $f''$ เปลี่ยนเครื่องหมาย (มักจะผ่าน $0$, บางครั้งไม่กำหนด)
- สร้างแผนภูมิสัญญาณของ $f''$, เหมือนที่คุณทำกับ $f'$, เพื่อหาจุดเหล่านี้
- จุดเปลี่ยนเว้าเกี่ยวกับการ การงอ ที่เปลี่ยน ไม่ใช่ความชัน
เว้าลงแล้วเว้าขึ้น
y = x³
ลูกบาศก์นี้โค้งเหมือนหมวกสำหรับ $x<0$ และเหมือนถ้วยสำหรับ $x>0$ — การพลิกกลับที่ $0$ คือจุดเปลี่ยนความโค้งเว้า
จุดเปลี่ยนความโค้งเว้าต้องการ $f''$ เปลี่ยนเครื่องหมาย ไม่ใช่แค่เป็นศูนย์เท่านั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=x^4$ มี $f''(0)=0$ แต่ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย → ไม่ใช่จุดเปลี่ยนความโค้งเว้า
สำหรับ $f(x)=x^3$, $f''(x)=6x$. ที่ $x$ ใด点是จุดเปลี่ยนความโค้งเว้า?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f''=6x$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x=0$.
สำหรับ $y=x^4$, $x=0$ เป็นจุดเปลี่ยนความโค้งเว้าหรือไม่?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''=12x^2\ge0$ ทั้งสองข้าง — ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้นจึงไม่มีจุดเปลี่ยนความโค้งเว้า
ค่า $f''(c)=0$ เพียงอย่างเดียว ไม่ ทำให้ $c$ เป็นจุดเปลี่ยนเวก — ค่า $f''$ ต้องมีการ เปลี่ยนเครื่องหมาย จริงๆ ที่จุดนั้น สำหรับ $y=x^4$, $f''(0)=0$ แต่ $f''\ge0$ ทั้งสองข้าง (ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย) ดังนั้น $x=0$ จึง ไม่ใช่ จุดเปลี่ยนเวก ตรวจสอบเครื่องหมายทั้งสองข้าง อย่าแค่แก้ $f''=0$ เท่านั้น
หาความเว้าและจุดเปลี่ยนเว้าของ $f(x)=x^3$
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ สำหรับ $x<0$ (เว้าลง); $f''>0$ สำหรับ $x>0$ (เว้าขึ้น)
- $f''$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x=0$ → จุดเปลี่ยนเว้า ที่ $(0,0)$
ความเว้า กำหนดโดย เครื่องหมายของ $f''$: $f''>0$ → เว้าขึ้น (ถ้วย), $f''<0$ → เว้าลง (หมวก) จุดเปลี่ยนเว้า คือที่ที่ $f''$ เปลี่ยนเครื่องหมาย — การงอพลิก $f''=0$ เป็นผู้เข้าแข่งขัน,但你ต้องยืนยันการเปลี่ยนเครื่องหมาย