การใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับแรกเพื่อหาค่าสุดขั้วท้องถิ่น (สัมพัทธ์)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่ง |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | ค่าสัมพัทธ์สูงสุด (ค่าในท้องถิ่น) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | ค่าสัมพัทธ์ต่ำสุด (ค่าในท้องถิ่น) |
จำแนกจุดวิกฤตโดยวิธีที่ $f'$ เปลี่ยนทิศทาง
- จุดวิกฤตเป็น ผู้เข้าชิง ค่าสุด — ตอนนี้เราตัดสินใจว่าเป็น哪种ชนิด
- การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง อ่าน การเปลี่ยนสัญญาณ ของ $f'$ ข้ามจุดนั้น
- ขึ้นแล้วลงทำให้ยอดเขา; ลงแล้วขึ้นทำให้หุบเขา
- ใช้ตารางสัญญาณจากบทที่แล้ว — ไม่ต้องคำนวณใหม่
บวก → ลบ oznacza a max
- ถ้า $f'$ เปลี่ยนจาก บวกเป็นลบ ที่จุดวิกฤต $c$, แล้ว $f$ มี ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (ท้องถิ่น) ที่นั่น
- ฟังก์ชันกำลังปีน, แบนลง, แล้วตกลง — ยอดเขา
- อ่านตรงๆ จากตารางสัญญาณ: $+$ ทางซ้ายของ $c$, $-$ ทางขวา
- ค่า สูงสุดคือ $f(c)$; ตำแหน่ง คือ $x=c$
สูงสุดก่อน แล้วถึงต่ำสุด
y = ax³ + cx
ยอดด้านซ้ายเป็นค่าสูงสุดท้องถิ่น ($f'$ เปลี่ยนจาก $+$ เป็น $-$) และอุ้งด้านขวาเป็นค่าต่ำสุดท้องถิ่น ($-$ ถึง $+$)
หาก $f'$ เปลี่ยนจากบวกเป็นลบที่ $c$ แล้ว $f$ จะมี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ขึ้นแล้วลง = ยอดภูเขา = ค่าสูงสุดท้องถิ่น
ลบ → บวก oznacza a min
- หาก $f'$ เปลี่ยนจาก ลบเป็นบวก ที่ $c$, แล้ว $f$ จะมี ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (local minimum) ที่จุดนั้น
- ลง, แบนลง, แล้วปีน — ก้นหุบเขา
- ตารางสัญญาณ: $-$ ซ้ายของ $c$, $+$ ขวาของ $c$
- ถ้า $f'$ ไม่ เปลี่ยนสัญญาณที่ $c$, ไม่มีค่าสุดที่นั่น (จุดแบน)
หาก $f'$ เปลี่ยนจากลบเป็นบวกที่ $c$ แล้ว $f$ จะมีจุด ____局部 (local) ที่นั่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลงแล้วขึ้น = ก้นหุบเขา = ค่าต่ำสุดท้องถิ่น
กระบวนการมาตรฐาน
- หาจุดวิกฤต, สร้างตารางสัญญาณของ $f'$, และอ่านแต่ละจุดตัด
- $+\to-$: ค่าสูงสุดท้องถิ่น. $-\to+$: ค่าต่ำสุดท้องถิ่น. ไม่มีการเปลี่ยน: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
- ทำงานได้แม้ที่ $f'$ ไม่นิยาม (มุม), ตราบใดที่สัญญาณสลับ
- นี่คือเครื่องมือที่ใช้บ่อยที่สุดของ AP สำหรับการจำแนกค่าสุด
หาก $f'$ มีสัญญาณเดียวกันทั้งสองข้างของจุดวิกฤต จะไม่มีค่าสุดขั้วที่นั่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ไม่มีการเปลี่ยนสัญญาณ (เช่น $y=x^3$ ที่ $0$) หมายความว่าไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
สำหรับ $f(x)=x^3-3x$ จุดวิกฤต $x=1$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ ลดลงถึง $-\to+$ ที่ $x=1$ → จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน (local min)
สำหรับ $f(x)=x^3-3x$ ค่าสูงสุดท้องถิ่นอยู่ที่ $x=-1$ หาค่าสูงสุด $f(-1)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับทดสอบอนุพันธ์อันดับแรก
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สิ่งที่สำคัญคือการเปลี่ยนสัญญาณ ไม่ใช่ค่าที่ $c$
สิ่งที่สำคัญคือ การเปลี่ยน ในสัญญาณ, ไม่ใช่ค่าของ $f'$ ที่ $c$ (ซึ่งคือ $0$ หรือไม่นิยามที่นั่น) ถ้า $f'$ รักษาสัญญาณเดิมทั้งสองข้าง — เช่น $y=x^3$ ที่ $0$ (บวกทั้งสองข้าง) — ไม่มี ค่าสุด, แม้ว่าจะเป็นจุดวิกฤตก็ตาม
จำแนกจุดวิกฤตของ $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$)
- ที่ $x=-1$: $f'$ เปลี่ยน $+\to-$ (ทดสอบ $-2$ ให้ $+$, ทดสอบ $0$ ให้ $-$) → ค่าสูงสุดท้องถิ่น
- ที่ $x=1$: $f'$ เปลี่ยน $-\to+$ (ทดสอบ $0$ ให้ $-$, ทดสอบ $2$ ให้ $+$) → ค่าต่ำสุดท้องถิ่น
- ค่า: ค่าสูงสุดท้องถิ่น $f(-1)=2$, ค่าต่ำสุดท้องถิ่น $f(1)=-2$
การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง จำแนกจุดวิกฤตโดย การเปลี่ยนสัญญาณ ของ $f'$: $+\to-$ เป็นค่าสูงสุดท้องถิ่น, $-\to+$ เป็นค่าต่ำสุดท้องถิ่น, และการไม่มีการเปลี่ยนสัญญาณหมายความว่าไม่มีค่าสุด เพียงอ่านจุดตัดจากตารางสัญญาณ $f'$ ของคุณ