ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส
| English | ไทย |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | ทฤษฎีจลน์ |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | การเคลื่อนที่สุ่ม |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | ยืดหยุ่น |
| momentum/məʊˈmentəm/ | โมเมนตัม |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | ความเร็วกำลังสองเฉลี่ย |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | รากที่สองของกำลังสองเฉลี่ย |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | พลังงานจลน์การเคลื่อนที่เชิงเส้นเฉลี่ย |
ความดันคือการกลองรัว ไม่ใช่แรงผลัก
- ลูกโป่งรู้สึกเหมือนถูกผลักออกไปด้านนอกอย่างต่อเนื่อง ไม่มีอะไรกำลังผลักอย่างต่อเนื่อง โมเลกุลกำลังชนยางแบบสุ่ม每一次碰撞 lasts a fraction of a nanosecond.
- มีการชนกันจำนวนมากและใกล้ชิดกันจนค่าเฉลี่ยเรียบเนียน ความดันคือการกลองรัวที่ฟังจากระยะไกลจนเสียงจังหวะแต่ละจังหวะหายไป
- การนำภาพนั้นมา认真对待并使用 Newton's laws alone会产生 gas laws from scratch and reveals what temperature actually is.
- บทเรียนนี้คือสมมติฐานของ ทฤษฎีจลน์, การพิสูจน์ความดัน, ความเร็ว r.m.s. และความหมายของอุณหภูมิ
สมมติฐาน
- จำนวนโมเลกุลจำนวนมากที่มีลักษณะเหมือนกันอยู่ในสภาวะ เคลื่อนที่แบบสุ่ม อย่างต่อเนื่อง
- ปริมาตรของตัวโมเลกุลเองมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับปริมาตรของแก๊ส
- ไม่มีแรงกระทำระหว่างโมเลกุลยกเว้นในช่วงเกิดการชนกัน ดังนั้นจึงเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงระหว่างกัน
- การชนเป็นแบบ ยืดหยุ่นสมบูรณ์ ไม่สูญเสียพลังงานจลน์ และเวลาของการชนมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับเวลาระหว่างการชน กฎของนิวตันใช้ได้ตลอด
- สมมติฐานเหล่านี้ใช้ไม่ได้ในสภาวะความดันสูงมาก ที่ซึ่งปริมาตรของโมเลกุลมีความสำคัญ และในสภาวะอุณหภูมิต่ำมาก ที่ซึ่งแรงระหว่างโมเลกุลมีความสำคัญ
เลือก ทุก สมมติฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊สอุดมคติ
แรงระหว่างโมเลกุลถูกละเลย ยกเว้น ระหว่างการชน (แบบยืดหยุ่น) — พวกมันไม่ดึงดูดกันอย่างแรงตลอดเวลา
การหาความดัน
- พิจารณาลูกบาศก์ด้านยาว $L$ ที่มีโมเลกุล $N$ ตัว มวล $m$ และติดตามโมเลกุลหนึ่งที่กำลังเคลื่อนที่ตาม $x$ ด้วยความเร็ว $u_1$
- เมื่อ ชนกับผนังด้านขวาเพียงครั้งเดียว ความเร็วจะเปลี่ยนทิศทาง ทำให้การเปลี่ยนแปลง โมเมนตัม ของมันคือ $-2mu_1$ และตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ผนังจะได้รับแรงกระแทก $+2mu_1$
- ระหว่างช่วงที่ไม่ได้ชนผนัง นั้น มันจะเดินทาง $2L$ ใช้เวลา $\Delta t = 2L/u_1$ จึงให้ค่าเฉลี่ยของแรงคือ $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$
- รวม ค่านี้สำหรับทุกโมเลกุลแล้วหารด้วยพื้นที่ผนัง $L^2$ จะได้ $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$ ในสามมิติ ความสมมาตรทำให้ $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$ มีค่าเท่ากัน ดังนั้น:
หนึ่งโมเลกุล หนึ่งผนัง แล้วคูณขยาย
กฎของบอยล์
p ∝ 1/V
ที่อุณหภูมิคงที่ ความแปรผกผันกับความดัน — บีบแก๊สให้เล็กลง ความดันจะสูงขึ้น
แก๊ส exert ความดันต่อภาชนะเพราะโมเลกุล:
ทุกการชนผลักผนัง; ผลรวมของการชนนับไม่ถ้วนคือความดัน
ตัวอย่างวิธีทำ: อธิบายความดันด้วยคำพูด
- อธิบายว่า運動ของโมเลกุลทำให้เกิดความดันของแก๊สได้อย่างไร [3]
- โมเลกุลเคลื่อนที่แบบ สุ่ม และชนกับผนังของภาชนะ
- ในการชนแต่ละครั้ง โมเลกุลจะ ดีดกลับ ทำให้โมเมนตัมของมันเปลี่ยนแปลง; ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ผนังออกแรง对它作用 และตามกฎข้อที่สาม มันออกแรง 等大反向ต่อผนัง
- มีการชนกัน จำนวนมากมากในแต่ละวินาที ทำให้แรงกระแทก individuais รวมกันเป็นค่าเฉลี่ยเป็นแรงคงที่ และความดันคือแรงนั้นหารด้วยพื้นที่
- สามประโยค สองคะแนน ประโยคกลางต้องระบุกฎของนิวตันทั้งสองข้อเพื่อรับคะแนน
เรียงลำดับคำอธิบายความดันของแก๊สสามคะแนน
การเคลื่อนที่แบบสุ่ม, การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมตามกฎของนิวตันทั้งสอง, การหาค่าเฉลี่ยจากการชนหลายครั้ง, แล้วเป็นแรงต่อหน่วยพื้นที่
รูปแบบของความหนาแน่น
- $Nm$ คือมวลรวมของแก๊ส ดังนั้น $Nm/V$ คือความหนาแน่น $\rho$ ของมัน ผลลัพธ์เดียวกันสามารถเขียนได้ดังนี้:
- ใช้รูปแบบนี้เมื่อโจทย์กำหนดความหนาแน่นมาแทน $N$ และ $m$ ซึ่งมักจะเป็นกรณี的发生
ความเร็ว root-mean-square
- $\langle c^2 \rangle$ คือ mean-square speed: ยกกำลังสองความเร็วของแต่ละโมเลกุล แล้วหาค่าเฉลี่ย รากที่สองของค่านี้คือความเร็ว root-mean-square (r.m.s.):
- มันเป็นค่าวัดความเร็วของโมเลกุลที่ใช้ประโยชน์ได้ดีค่าหนึ่ง มีค่ามากกว่า mean speed เล็กน้อยเพราะการยกกำลังสองให้ความสำคัญกับโมเลกุลที่มีความเร็วสูงมากขึ้น
- โมเลกุลไม่ทั้งหมดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วนี้ พวก它有การกระจายตัวของความเร็วอย่างกว้าง และการเพิ่มอุณหภูมิจะทำให้การกระจายตัวนี้เลื่อนไปทางความเร็วที่สูงขึ้นทั้งหมด
การแจกแจงหนึ่งชนิด r.m.s. speed เป็นเพียงค่าสรุปหนึ่งค่าเท่านั้น
ความเร็ว r.m.s. คือรากที่สองของ ____ ความเร็ว
นำค่าเฉลี่ยของความเร็วที่ยกกำลังสองมา แล้วถอดรากที่สอง: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
คำนวณความเร็ว root-mean-square จากชุดความเร็วของโมเลกุลได้อย่างไร?
ยกกำลังสอง, หาค่าเฉลี่ย, ถอดราก ตามลำดับ การยกกำลังสองก่อนทำให้โมเลกุลที่มีความเร็วสูงมีน้ำหนักมากกว่า จึงทำให้ c_rms สูงกว่าค่าเฉลี่ยเล็กน้อย
ตัวอย่างวิธีทำ: r.m.s. speed จากความหนาแน่น
- แก๊สอุดมคติที่ความดัน $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ มีความหนาแน่น $1.9\ \text{kg/m}^3$ จงแสดงว่า r.m.s. speed ของโมเลกุลมีค่าประมาณ $500\ \text{m/s}$.
- จาก $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- จากนั้น $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- ในโจทย์ "show that" ให้เก็บทศนิยมเพิ่มอีกหนึ่งหลักและนำมันมาอ้างอิง (503) ก่อนที่จะเปรียบเทียบกับค่าที่กำหนดให้ การปัดเศษเป็น 500 ก่อนจะไม่พิสูจน์อะไรได้เลย
แก๊สอุดมคติที่ความดัน 1.6 x 10^5 Pa มีความหนาแน่น 1.9 kg/m^3. ความเร็ว r.m.s. ของโมเลกุลคือเท่าใด (ในหน่วย m/s)?
ใช้ p = rho <c^2>/3, ดังนั้น <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 และ c_rms = 503 m/s. ในโจทย์ประเภท 'พิสูจน์' ให้ระบุตัวเลขเพิ่มก่อนทอนทศนิยม
อุณหภูมิตามความเป็นจริง
- สมการสองรูปของ $pV$ เดียวกัน: $pV = NkT$ จากสมการสถานะ และ $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ จากทฤษฎีจลน์ ตั้งให้เท่ากัน ตัด $N$ ออกแล้วคูณด้วย $\tfrac32$:
- ด้านซ้ายคือ พลังงานจลน์การเคลื่อนที่เชิงเส้นเฉลี่ย ของโมเลกุลหนึ่ง ดังนั้นอุณหภูมิ คือ การวัดค่าพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุล และไม่มีอะไรอื่น
- ผลกระทบสองประการที่ข้อสอบถามถึง หากเพิ่มอุณหภูมิสัมบูรณ์เป็นสองเท่า พลังงานจลน์เฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ดังนั้น $c_{\text{r.m.s.}}$ จะเพิ่มขึ้นตาม $\sqrt{2}$ และที่อุณหภูมิเดียวกัน โมเลกุลที่มีมวลเบาจะเคลื่อนที่เร็วกว่า เนื่องจาก $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ มีค่าเท่ากันสำหรับทั้งสอง
พลังงานจลน์การเคลื่อนที่ถ่วงกลางเฉลี่ยของโมเลกุลแก๊สขึ้นอยู่กับ:
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — มีเพียงอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์เท่านั้นที่สำคัญ
หากอุณหภูมิสัมบูรณ์เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ความเร็ว r.m.s. จะเพิ่มขึ้นเป็น:
$\langle c^{2}\rangle \propto T$, ดังนั้น $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — การเพิ่ม $T$ เป็นสองเท่าจะทำให้เพิ่มเป็น $\sqrt{2} \approx 1.41$ เท่า
ที่อุณหภูมิเดียวกัน โมเลกุลที่มีมวลน้อยจะเคลื่อนที่เร็วกว่าโมเลกุลที่มีมวลมากโดยเฉลี่ย
พลังงานจลน์เฉลี่ยเท่ากัน $\tfrac{3}{2}kT$, แต่มวลที่น้อยกว่าหมายถึง $\langle c^{2}\rangle$ ที่มากกว่า — ดังนั้นโมเลกุลที่มีมวลน้อยจึงเคลื่อนที่เร็ว
เมื่อเปรียบเทียบ pV = NkT กับ pV = Nm<c^2>/3 จะเห็นได้ว่าพลังงานจลน์การเคลื่อนที่เฉลี่ยของโมเลกุลมีค่าเท่ากับ ____ kT
ดังนั้น อุณหภูมิคือการวัดค่าพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลโดยตรง และพลังงานภายในของแก๊สอุดมคติคือ (3/2)nRT
พลังงานภายในของแก๊สอุดมคติ
- แก๊สอุดมคติมี ไม่มีแรงระหว่างโมเลกุล ดังนั้นไม่มีพลังงานศักย์ของโมเลกุล: พลังงานภายในจึงเป็นพลังงานจลน์ทั้งหมด
- คูณพลังงานจลน์เฉลี่ยด้วยจำนวนโมเลกุล:
- ดังนั้นพลังงานภายในของแก๊สอุดมคติขึ้นอยู่กับ อุณหภูมิเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับความดันหรือปริมาตร ข้อเท็จจริงเดียวนี้ทำหน้าที่ส่วนใหญ่ในการเรียนการสอนถัดไป
พลังงานภายในของแก๊สอุดมคติเท่ากับ:
โมเลกุลแก๊สอุดมคติมีเพียงพลังงานจลน์, ดังนั้น $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — แปรผันกับ $T$
คะแนนที่หลุดหายไป
- r.m.s. speed คือรากที่สองของ mean of the squares ไม่ใช่ mean speed ลำดับสำคัญ: ยกกำลังสอง หาค่าเฉลี่ย แล้วจึงรากที่สอง
- พลังงานจลน์เฉลี่ยขึ้นอยู่กับ อุณหภูมิเพียงอย่างเดียว แก๊สสองชนิดที่แตกต่างกันแต่มีอุณหภูมิเท่ากันจะมีพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลเท่ากัน
- การเพิ่ม $T$ เป็นสองเท่าจะทำให้ $c_{\text{r.m.s.}}$ เพิ่มขึ้นเป็น $\sqrt{2}$ ไม่ใช่ 2 พลังงานแปรผันตรงกับ $T$ ดังนั้นความเร็วจึงแปรผันตาม $\sqrt{T}$
- คำตอบ "explain the pressure" ต้องมีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม กฎของนิวตันทั้งสอง และการชนกันจำนวนมากมากในแต่ละวินาที
คุณเข้าใจแล้ว
- สมมติฐาน: โมเลกุลเหมือนกันจำนวนมากใน 运动แบบสุ่ม, ปริมาตรโมเลกุลเล็กน้อย, ไม่มีแรงยกเว้นในการชน, การชนแบบ ยืดหยุ่น ที่ใช้เวลาสั้นมาก, กฎของนิวตันใช้ได้
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ หรือ $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ เมื่อโจทย์ให้ความหนาแน่น; ความดันคือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมที่ผนัง หาค่าเฉลี่ยจากการชนกันจำนวนมากมาก
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, เป็นค่าสรุปหนึ่งของการกระจายตัวของความเร็วอย่างกว้าง
- การเปรียบเทียบกับ $pV = NkT$ ได้ $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: อุณหภูมิ คือ พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุล ดังนั้น $U = \tfrac32 nRT$ ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น