S · Moments

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน S (โมเมนต์), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้พื้นฐาน: แรงและกฎของนิวตันจากส่วน R

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• ประแจยาวสามารถคลายน็อตที่แน่นซึ่งประแจสั้นขยับไม่ได้ แม้จะใช้แรงผลักเท่าเดิม ที่-effects การหมุนเพิ่มเติมมาจากไหน?
• ก่อนอ่านเนื้อหา ให้บอกว่าการ effects การหมุนของแรงขึ้นอยู่กับอะไร และทำไมการเพิ่มความยาวด้ามจับสองเท่าจึงเพิ่ม effects การหมุนสองเท่า

วิธีทำ

• โมเมนต์ ของแรงเทียบกับจุดหนึ่ง คือแรงคูณด้วยระยะห่าง ตั้งฉาก จากจุดนั้นไปยังเส้นกระทำของแรง, วัดในหน่วย N m. แรงที่ผ่านจุดนั้นมีระยะห่างเป็นศูนย์และมีโมเมนต์เป็นศูนย์ — ไม่สามารถทำให้วัตถุหมุนรอบจุดนั้นได้
• วัตถุจะอยู่ในสภาวะ สมดุล ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองอย่างพร้อมกัน: ผลรวมของแรงเป็นศูนย์ (ไม่มีการเคลื่อนที่แบบเลื่อน) AND ผลรวมของโมเมนต์เทียบกับทุกจุดเป็นศูนย์ (ไม่มีการหมุน) การคำนวณโมเมนต์เทียบกับ จุดหมุน ของแรงที่ไม่ทราบค่า จะทำให้แรงนั้นหายไปจากสมการ เพราะระยะห่างเป็นศูนย์ — สมการหนึ่ง ค่าตัวแปรหนึ่ง
• โมเมนต์: แรง × ระยะห่างตั้งฉากจากจุดถึงเส้นกระทำของแรง, หน่วย N m; สมดุล: สถานะที่มีแรงลัพธ์เป็นศูนย์และโมเมนต์ผลลัพธ์เป็นศูนย์ จึงไม่มีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนและไม่มีการหมุน; จุดหมุน: จุดที่ใช้คำนวณโมเมนต์หรือจุดที่วัตถุหมุนรอบ

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• เลือกจุดที่จะคำนวณโมเมนต์เพื่อให้ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ยุ่งยากที่สุดผ่านจุดนั้น สำหรับคานบนฐานรองรับสองจุด ให้คำนวณโมเมนต์รอบฐานรองรับหนึ่งจุดเพื่อหาแรงปฏิกิริยาอีกด้านหนึ่ง แล้วใช้ ΣF = 0 เพื่อหาค่าแรก
• ระยะทางวัดจากจุดถึงแนวของแรง ไม่ใช่ตำแหน่งที่วาดแรงไว้: แรงที่ทำมุม 40° กับแท่งยาว 3 m จะมีระยะตั้งฉากเท่ากับ 3 sin 40° ไม่ใช่ 3 m

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลที่รู้: แท่งเบายาว 4 m วางอยู่บนฐานรองรับ A และ B ที่ปลายทั้งสองข้าง และมีน้ำหนักบรรทุก 260 N ตั้งอยู่ห่างจาก A เป็นระยะ 1 ม. โมเมนต์รอบจุด A: R_B × 4 = 260 × 1 ดังนั้น R_B = 65 N แรงในแนวตั้ง: R_A + R_B = 260 ดังนั้น R_A = 195 N การตรวจสอบ R_A + R_B = 260 ✓ และโมเมนต์รอบจุด B (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) ทั้งคู่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง:

แผ่นไม้สม่ำเสมอยาว 6 ม. มีน้ำหนัก 200 N วางอยู่บนฐานรองรับที่ปลายทั้งสองข้าง และมีกล่องสินค้าหนัก 400 N วางอยู่ห่างจากปลายด้านหนึ่งเป็นระยะ 2 ม. หาแรงปฏิกิริยาทั้งสองโดยเรียงลำดับเดียวกัน: โมเมนต์รอบฐานรองรับหนึ่งจุด → ΣF = 0 → ตรวจสอบรอบอีกจุด (คำตอบ: โมเมนต์รอบฐานรองรับใกล้ให้ 6R_ไกล = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400 ดังนั้น R_ไกล ≈ 233 N และ R_ใกล้ = 600 − 233 ≈ 367 N)

ขอบเขตกับกับดัก

• คำนวณโมเมนต์รอบจุดที่สองเป็นการตรวจสอบ: หากมีข้อผิดพลาดในการสมการแรก จะปรากฏชัดเจนทันที แรงปฏิกิริยาของคานบนฐานรองรับต้องออกมาเป็นบวกเสมอ — หากได้ค่าลบ แสดงว่าคานจะลอยออกจากฐานรองรับนั้นและโมเดลเปลี่ยนไป

เตือน:

ผลรวมแรงเป็นศูนย์เพียงพอสำหรับการสมดุล แต่คำกล่าวนี้ผิด: แรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามกันที่จุดต่าง ๆ (คู่แรง) ทำให้ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ยังทำให้วัตถุหมุนได้ การสมดุลจำเป็นต้องมีโมเมนต์รวมเป็นศูนย์ด้วย — นั่นคือเหตุผลว่าทำไมความยาวประแจจึงสำคัญแม้ว่าจะไม่มีการดันที่เปลี่ยนไปก็ตาม

จุดสำคัญ:

โมเมนต์: โมเมนต์ = แรง × ระยะตั้งฉาก ในหน่วย N m; การสมดุลต้องการ ΣF = 0 AND ΣM = 0; ให้คำนวณโมเมนต์รอบแรงที่ไม่ทราบค่าเพื่อกำจัดมันออก และตรวจสอบโดยการคำนวณโมเมนต์รอบจุดที่สองอีกครั้ง