IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP ตัวอย่างชุดข้อสอบ

← OxfordAQA · International GCSE · Mathematics

หมายเหตุการเรียนรู้

PDF ↓

สื่อการสอนต้นฉบับ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมหลักสูตรและข้อกำหนดปัจจุบันของโรงเรียนก่อนนำไปใช้ในการประเมินผล

9260: บันทึกการสอนหลักสูตร

เวอร์ชัน: เวอร์ชัน 5.1; การสอน 2016, การประเมินผล 2018 ขึ้นไป

นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก

3.1 · การคำนวณอย่างแม่นยำและการประมาณค่า · พื้นฐาน

เราบรรจุได้โดยไม่เหลือเศษไหม?

  • ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
  • บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี

วิธีปฏิบัติ

  • ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
  • ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
  • ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$72=2^3\times3^2,\quad90=2\times3^2\times5,\quad\mathrm{HCF}=18$$
ตัวอย่าง

72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360

การคำนวณที่แม่นยำและการประมาณค่า — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
  • พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
  • ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ
Watch out

Not true: The HCF of two positive integers is larger than either integer. The HCF divides both numbers, so it can never be larger than the smaller one: the HCF of 72 and 90 is 18.

การนำไปใช้

  • สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
  • สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.1
Key idea
  • Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
  • ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
  • ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน

3.1 · การคำนวณอย่างแม่นยำและการประมาณค่า · ขยายผล

เราบรรจุได้โดยไม่เหลือเศษไหม?

  • ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
  • บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี

วิธีปฏิบัติ

  • ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
  • ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
  • ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$
ตัวอย่าง

72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360

การคำนวณที่แม่นยำและการประมาณค่า — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
  • พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
  • ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ
Watch out

Not true: The HCF of two positive integers is larger than either integer. The HCF divides both numbers, so it can never be larger than the smaller one: the HCF of 72 and 90 is 18.

การนำไปใช้

  • สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
  • สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพัฒนา, ส่วนของหลักสูตร 3.1
Key idea
  • Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
  • ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
  • ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน

3.1 · เลขชี้กำลังจำนวนเต็มและรูปมาตรฐาน · พื้นฐาน

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

  • กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
  • บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น

วิธีปฏิบัติ

  • Use integer powers, square and cube roots and standard form with 1≤a<10.
  • ในการคูณเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ให้บวกเลขชี้กำลัง; ในกรณีการหารให้ลบเลขชี้กำลัง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^m a^n=a^{m+n}$$
ตัวอย่าง

0.000072=7.2×10^(-5)..enable 2³×2⁴=2⁷=128. รากที่สองของ 81 คือ 9. ตรวจสอบคำตอบในรูปแบบมาตรฐานโดยการเขียนออกมาเป็นทศนิยม

เลขชี้กำลังของจำนวนเต็มและรูปแบบมาตรฐาน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
  • อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ
Watch out

ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32

การนำไปใช้

  • บทเรียนพื้นฐาน/แกนกลางนี้ไม่รวมเลขชี้กำลังเศษส่วนและการจัดรูปรากแบบมีพจน์ในตัวส่วน
  • ประมาณค่าผลลัพธ์ก่อนใช้เครื่องคิดคำนวณและรักษาความแม่นยำตามที่กำหนด

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.1
Key idea
  • เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
  • Use integer powers, square and cube roots and standard form with 1≤a<10.
  • ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7

3.1 · เลขชี้กำลัง รากที่สอง และรูปมาตรฐาน · ขยายผล

ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?

  • กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
  • บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น

วิธีปฏิบัติ

  • สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
  • เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ; เลขชี้กำลังเศษส่วนหมายถึงราก
  • มาตรฐานรูปมี 1≤a<10

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
ตัวอย่าง

0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. จงจัดรูป √72=6√2 จากนั้นทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ 1/√2=√2/2

เลขชี้กำลัง รากและรูปแบบมาตรฐาน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
  • อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ
Watch out

ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32

การนำไปใช้

  • ตรวจสอบกำลังสิบเทียบกับปริมาณต้นฉบับ
  • ใช้รากสำหรับการคำนวณเรขาคณิตที่แม่นยำ และปัดเศษเฉพาะความยาวสุดท้ายเมื่อโจทย์ถามเป็นทศนิยม

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพัฒนา, ส่วนของหลักสูตร 3.1
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
  • สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
  • ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7

3.1 · เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดคำนวณเชิงสัดส่วน · พื้นฐาน

เราสามารถกู้คืนราคาเดิมได้หรือไม่?

  • เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
  • บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว

วิธีปฏิบัติ

  • การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
  • กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
  • ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
ตัวอย่าง

ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดเชิงสัดส่วน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
  • การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
  • สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์
Watch out

ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100

การนำไปใช้

  • ใช้ตัวคูณเปอร์เซ็นต์และแบ่งผลรวมตามสัดส่วนของส่วนประกอบ
  • บทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้ใช้บริบทของความแปรผันเชิงเส้น ไม่ใช่วิธีการถดถอยขั้นสูง

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.1
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
  • การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
  • ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์

3.1 · เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดคำนวณเชิงสัดส่วน · ขยายผล

เราสามารถกู้คืนราคาเดิมได้หรือไม่?

  • เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
  • บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว

วิธีปฏิบัติ

  • การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
  • กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
  • ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
ตัวอย่าง

ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดเชิงสัดส่วน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
  • การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
  • สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์
Watch out

ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100

การนำไปใช้

  • สำหรับความแปรผันตรง ใช้ y=kx; สำหรับความแปรผกผัน ใช้ y=k/x
  • คำนวณค่า k จากคู่ตัวเลขที่กำหนดก่อนนำไปใช้กับค่าใหม่
  • ระบุสิ่งที่คุณควบคุมให้คงที่

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพัฒนา, ส่วนของหลักสูตร 3.1
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
  • การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
  • ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์

3.1 · ความแม่นยำ ขอบเขต และหน่วยวัดผสม · ขยายผล

การวัดที่พิมพ์ออกมาแม่นยำหรือไม่?

  • แผงสี่เหลี่ยมมีป้ายระบุขนาด 8.0 ซม. × 5.0 ซม., โดยแต่ละค่าวัดใกล้ที่สุดที่ 0.1 ซม. พื้นที่จริงของมันไม่ได้คงที่ที่ 40 ซม.² เสมอไป
  • บทเรียนนี้ศึกษา ขอบเขตล่าง: ค่าที่เป็นไปได้ต่ำสุดที่สอดคล้องกับกฎการปัดเศษที่กำหนดให้

วิธีปฏิบัติ

  • ค่าที่ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม u ที่ใกล้เคียงที่สุด จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ค่าที่กำหนด - u/2 ขึ้นไปจนถึง (แต่โดยทั่วไปจะไม่รวมถึง) ค่าที่กำหนด + u/2
  • สำหรับปริมาณบวก ให้รวมค่าสุดขั้วตามการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$A=LW,\qquad v=\frac{d}{t}$$
ตัวอย่าง

ความยาวทั้งสองสอดคล้องกับ 7.95≤L<8.05 และ 4.95≤W<5.05 เนื่องจาก A=LW ดังนั้น 39.3525≤A<40.6525 สำหรับความเร็ว d/t ความเร็วสูงสุดจะใช้ระยะทางมากที่สุดและเวลาบวกน้อยที่สุด

ความแม่นยำ ขอบเขต และการวัดเชิงซ้อน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ขอบบนไม่ได้เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ
  • การนำระยะขอบบนหารด้วยเวลาขอบบน ไม่ได้ให้ค่าความเร็วสูงสุด
  • รักษาตัวเลขมีนัยสำคัญให้เพียงพอในการคำนวณขั้นกลาง
Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าสูงสุดของ d/t ที่เป็นบวกใช้ทั้ง d และ t สูงสุด เพื่อให้ได้ค่า d/t มากที่สุด ให้ใช้ d สูงสุดและ t ต่ำที่สุด; ค่า t ที่สูงขึ้นจะทำให้ผลหารมีค่าน้อยลง

การนำไปใช้

  • แยกแยะความไม่แน่นอนของการวัดออกจากวิธีการปัดเศษทางคณิตศาสตร์
  • ความแม่นยำที่รายงานอย่างเหมาะสมไม่สามารถละเอียดกว่าที่ข้อมูลการวัดรองรับได้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพัฒนา, ส่วนของหลักสูตร 3.1
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ขอบล่าง: ค่าที่เป็นไปได้น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับกฎการปัดเศษที่กำหนด
  • ค่าที่ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม u ที่ใกล้เคียงที่สุด จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ค่าที่กำหนด - u/2 ขึ้นไปจนถึง (แต่โดยทั่วไปจะไม่รวมถึง) ค่าที่กำหนด + u/2
  • ระวัง: ขอบบนไม่ได้เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ

3.2 · สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปสมการ · เนื้อหาพื้นฐาน

เมื่อไหร่ที่แผนทั้งสองมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?

  • แผนมือถือสองแบบมีค่าใช้จ่าย 20+3x และ 44+x หยวน สำหรับ x GB เมื่อไหร่ที่ทั้งสองแผนมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?
  • บทเรียนนี้ศึกษา เอกลักษณ์: ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับทุกค่าที่อนุญาตของตัวแปร

วิธีปฏิบัติ

  • สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
  • รักษาความเท่ากันโดยทำการSame Operation กับทั้งสองด้าน
  • ระบุข้อจำกัดก่อนหารด้วยตัวแปร

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$
ตัวอย่าง

20+3x=44+x ให้ 2x=24 และ x=12. ทั้งสองแผนจะมีค่าใช้จ่าย 56 ใน A=πr², หารด้วย π และหา root ที่สองเชิงบวกเพื่อรับ r=√(A/π), เนื่องจาก r เป็นความยาว

สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปใหม่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก
  • ใน (x²+2x)/x ให้แยกตัวประกอบในเศษคงไว้ว่า x≠0
  • ตรวจสอบการย้ายข้างโดยแทนค่า
Watch out

ไม่เป็นจริง: การตัด x ออกจาก (x+3)/x จะได้ 3 สำหรับทุกค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ x เป็นพจน์ในเศษ ไม่ใช่ตัวประกอบ จึงไม่สามารถตัดได้: ที่ x=1, (1+3)/1=4 ไม่ใช่ 3

การนำไปใช้

  • กำหนดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและตั้งสมการเชิงเส้น
  • ตรวจสอบคำตอบโดยการแทนค่า
  • จำกัดบทเรียนพื้นฐาน/แกนกลางนี้ให้อยู่ในนิพจน์และสมการอย่างง่ายเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เอกลักษณ์: สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้ของตัวแปร
  • สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
  • ระวัง: การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก

3.2 · สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปสมการ · เนื้อหาเสริม

เมื่อไหร่ที่แผนทั้งสองมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?

  • แผนมือถือสองแบบมีค่าใช้จ่าย 20+3x และ 44+x หยวน สำหรับ x GB เมื่อไหร่ที่ทั้งสองแผนมีค่าใช้จ่ายเท่ากัน?
  • บทเรียนนี้ศึกษา เอกลักษณ์: ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับทุกค่าที่อนุญาตของตัวแปร

วิธีปฏิบัติ

  • สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
  • รักษาความเท่ากันโดยทำการSame Operation กับทั้งสองด้าน
  • ระบุข้อจำกัดก่อนหารด้วยตัวแปร

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$
ตัวอย่าง

20+3x=44+x ให้ 2x=24 และ x=12. ทั้งสองแผนจะมีค่าใช้จ่าย 56 ใน A=πr², หารด้วย π และหา root ที่สองเชิงบวกเพื่อรับ r=√(A/π), เนื่องจาก r เป็นความยาว

สมการ เอกลักษณ์ และการจัดรูปใหม่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก
  • ใน (x²+2x)/x ให้แยกตัวประกอบในเศษคงไว้ว่า x≠0
  • ตรวจสอบการย้ายข้างโดยแทนค่า
Watch out

ไม่เป็นจริง: การตัด x ออกจาก (x+3)/x จะได้ 3 สำหรับทุกค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ x เป็นพจน์ในเศษ ไม่ใช่ตัวประกอบ จึงไม่สามารถตัดได้: ที่ x=1, (1+3)/1=4 ไม่ใช่ 3

การนำไปใช้

  • ตั้งสมการจากหน่วยและความหมายของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า
  • คำตอบติดลบหรือเศษส่วนอาจถูกต้องทางพีชคณิตแต่เป็นไปไม่ได้สำหรับการนับจำนวน

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับขยาย, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เอกลักษณ์: สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้ของตัวแปร
  • สมการถามว่าค่าเข้าใดทำให้สมการเป็นจริง ส่วนเอกลักษณ์จะเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่อนุญาตให้ใช้
  • ระวัง: การตัดพจน์ออกไม่เหมือนกับการตัดตัวประกอบออก

3.2 · การแยกตัวประกอบและแก้สมการกำลังสองอย่างง่าย · เนื้อหาพื้นฐาน

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

  • ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
  • บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

  • ขยายวงเล็บและแยกตัวประกอบสมการกำลังสองง่าย
  • แก้โจทย์โดยตั้งให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์ และใช้กราฟเพื่อตีความรากของสมการ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$(x-3)(x-7)=0$$
ตัวอย่าง

x²-10x+21=(x-3)(x-7). ดังนั้นสมการ x²-10x+21=0 มีรากคือ 3 และ 7. ตรวจสอบรากแต่ละตัวด้วยการแทนค่าและทำเครื่องหมายจุดตัดทั้งสองบนกราฟ

การแยกตัวประกอบและการแก้สมการกำลังสองง่าย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
  • แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
  • เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม
Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าสมการกำลังสองไม่มีรากจริง ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายถึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า ส่วนค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นลบหมายถึงไม่มีรากจริง

การนำไปใช้

  • บทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้ใช้การแยกตัวประกอบและรากทางกราฟ ส่วนดิสคริมิแนนต์ สูตรกำลังสอง และความไม่เท่ากันกำลังสอง สงวนไว้สำหรับระดับขั้นสูงเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
  • ขยายวงเล็บและแยกตัวประกอบสมการกำลังสองง่าย
  • ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

3.2 · สมการกำลังสองและอสมการ · เนื้อหาเสริม

ความกว้างใดที่ทำให้มีพื้นที่เพียงพอ?

  • ล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ x(10-x) ความกว้างใดให้พื้นที่อย่างน้อย 21 ตารางเมตร?
  • บทเรียนนี้ศึกษา discriminant: ปริมาณ b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของสมการ ax²+bx+c=0

วิธีปฏิบัติ

  • แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
  • อสมการกำลังสองต้องการพิจารณาเครื่องหมายบนช่วง ไม่ใช่แค่รากเท่านั้น
  • discriminant (ค่าดีคริมิแนนต์) ใช้ระบุรากซ้ำหรือรากจริงที่หายไป

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$
ตัวอย่าง

เงื่อนไขคือ x(10-x)≥21 ดังนั้น x²-10x+21≤0 แยกตัวประกอบได้ (x-3)(x-7)≤0 พาราโบลาเปิดขึ้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ระหว่างราก ทำให้ได้ 3≤x≤7 พื้นที่สูงสุดคือ 25 ที่ x=5

Quadratics and inequalities — Diagram สอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ
  • แผนภาพต้องแสดงว่าด้านใดของรากแต่ละตัวเป็นจริงต่ออสมการ
  • เรขาคณิตอาจจำกัดค่า x เพิ่มเติม
Watch out

ไม่เป็นจริง: ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าสมการกำลังสองไม่มีรากจริง ค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายถึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า ส่วนค่าดีคริมิแนนต์ที่เป็นลบหมายถึงไม่มีรากจริง

การนำไปใช้

  • ใช้จุดยอดเพื่อตีความค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
  • ตรวจสอบจุดปลายและจุดหนึ่งระหว่างราก; ผลคำนวณทางพีชคณิตและกราฟควรบอกเรื่องราวเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับขยาย, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ค่าดีคริมิแนนต์ (Discriminant): ค่า b²-4ac ที่กำหนดรากจริงของ ax²+bx+c=0
  • แยกตัวประกอบเมื่อทำได้; หากไม่ทำ ให้ทำกำลังสมบูรณ์หรือใช้สูตรสมการกำลังสอง
  • ระวัง: การคูณอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

3.2 · เส้นตรงและความชัน · เนื้อหาพื้นฐาน

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

  • เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
  • บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

  • ความชันคือความเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยความเปลี่ยนแปลงของ x
  • เส้นตรงมีสมการ y=mx+c โดยที่ c คือจุดตัดแกน y
  • เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=mx+c$$
ตัวอย่าง

ผ่าน 2,5 ด้วยความชัน 3 แทนค่าจะได้ 5=3×2+c ดังนั้น c=-1 และ y=3x-1 จุด (1,2) และ (4,8) ให้ความชัน (8-2)/(4-1)=2

เส้นตรงและความชัน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
  • อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
  • รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ
Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นตั้งฉากที่ไม่ใช่แนวตั้งมีความชันเท่ากัน ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ −1: ความชัน 2 ต้องใช้ −1/2 เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

การนำไปใช้

  • วาดเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุดที่ตรวจสอบแล้วและระบุตำแหน่งจุดตัดแกน
  • สูตรความชันตั้งฉากและสมการวงกลมไม่ใช่ส่วนหนึ่งของบทเรียนพื้นฐาน/แก่นกลางนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
  • ความชันคือความเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยความเปลี่ยนแปลงของ x
  • ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

3.2 · เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส · เนื้อหาเสริม

ความชันของเส้นทางกลายเป็นสมการได้อย่างไร?

  • เส้นทางยกสูง 6 เมตร ในระยะทางแนวนอน 3 เมตร ความชันเชื่อมโยงแผนภาพเข้ากับสมการ
  • บทเรียนนี้ศึกษา ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน

วิธีปฏิบัติ

  • เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
  • เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
  • ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ -1
  • สมการวงกลมคือ (x-a)²+(y-b)²=r²

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
ตัวอย่าง

ผ่านจุด (2,5) ด้วยความชัน 3, สมการคือ y-5=3(x-2), ดังนั้น y=3x-1. เส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดเดียวกันจะมีสมการ y-5=-(x-2)/3. วงกลม (x-2)²+(y+1)²=25 มีจุดศูนย์กลางที่ (2,-1) และรัศมี 5.

เรขาคณิตพิกัดและเส้นสัมผัส — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c
  • อ่านเครื่องหมายของจุดศูนย์กลางวงกลมให้รอบคอบ
  • รังสีที่ลากไปหาเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ
Watch out

ไม่ถูกต้อง: เส้นตั้งฉากที่ไม่ใช่แนวตั้งมีความชันเท่ากัน ความชันตั้งฉากที่มีค่าจำกัดคูณกันได้ −1: ความชัน 2 ต้องใช้ −1/2 เส้นขนานมีความชันเท่ากัน

การนำไปใช้

  • ก่อนหาค่าตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลม ให้ทำนายก่อนว่ามีจุดตัดเป็นศูนย์ หนึ่ง หรือ สอง จุด
  • การแทนค่าจะได้สมการกำลังสองซึ่งค่าดิสคริมิแนนต์ใช้ตรวจสอบการทำนาย

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับขยาย, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ที่สอดคล้องกัน
  • เส้นตรงผ่าน (x₁,y₁) มีความชัน m มีสมการ y-y₁=m(x-x₁)
  • ข้อควรระวัง: เส้นแนวตั้งไม่มีความชันที่มีค่าจำกัด; อย่าพยายามเขียนให้อยู่ในรูป y=mx+c

3.2 · ลำดับเลขคณิตและพจน์ที่ n · เนื้อหาพื้นฐาน

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

  • แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
  • บทเรียนนี้ศึกษา ผลต่างร่วม: ค่าคงที่ที่เพิ่มระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเลขคณิต

วิธีปฏิบัติ

  • หาค่าต่างคงที่ของอนุกรมเลขคณิต
  • พจน์ที่ n คือ a+(n-1)d
  • กฎจากพจน์ต่อพจน์อธิบายวิธีการไปหาพจน์ถัดไป; กฎจากตำแหน่งถึงพจน์ให้ค่าพจน์โดยตรง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$u_n=a+(n-1)d$$
ตัวอย่าง

สำหรับ 5,8,11,14,... ผลต่างร่วมคือ 3 พจน์ที่ n คือ 5+3(n-1)=3n+2 เมื่อ n=8, u₈=26 เพื่อหาตำแหน่งของ 62 แก้ 3n+2=62 ได้ n=20

อนุกรมเลขคณิตและพจน์ที่ n — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
  • ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
  • ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้
Watch out

ไม่เป็นจริง: พจน์แรกของอนุกรมมีดัชนีเป็นศูนย์ ผลบวกอนันต์มีอยู่เฉพาะเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

  • สร้างหลายพจน์และตรวจสอบกฎพจน์ที่ n ที่เสนอมา
  • Infinite geometric series and advanced sum formulae are excluded from this Foundation/Core lesson.

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ผลต่างร่วม: ค่าคงที่ที่เพิ่มระหว่างพจน์ติดต่อกันในอนุกรมเลขคณิต
  • หาค่าต่างคงที่ของอนุกรมเลขคณิต
  • ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

3.2 · ลำดับผลบวกและความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ · เนื้อหาเสริม

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

  • แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
  • บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีปฏิบัติ

  • สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
  • สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
  • ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
ตัวอย่าง

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

อนุกรม,-series และการซ้ำซ้อน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
  • ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
  • ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้
Watch out

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

  • อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
  • ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับขยาย, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
  • สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
  • ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

3.2 · ลาดับอนุพันธ์และจุดคงที่ · เนื้อหาเสริม

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

  • ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
  • บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

  • สำหรับพจน์พหุนาม ax^n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ พจน์ความชันจะเท่ากับ anx^(n-1)
  • บวกพจน์ที่ได้จากการหาอนุพันธ์เข้าด้วยกัน
  • จุดคงที่มีความชันเป็นศูนย์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

Derivatives and stationary points — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

  • อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
  • จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน
Watch out

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

  • บทเรียนระดับสูง IGCSE นี้จำกัดอยู่เฉพาะการหาอนุพันธ์ของพหุนาม ความชันของเส้นสัมผัส และจุดคงที่
  • การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ แบบคูณ แบบหาร และการหาอนุพันธ์แบบแฝงไม่รวมอยู่ในบทนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE คณิตศาสตร์ (9260), ระดับขยาย, ส่วนของหลักสูตร 3.2
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
  • สำหรับพจน์พหุนาม ax^n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ พจน์ความชันจะเท่ากับ anx^(n-1)
  • ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

3.3 · มุม ความยาว และพื้นที่ · เนื้อหาพื้นฐาน

ปริมาตรขยายตามความยาวหรือไม่?

  • โมเดลมีความยาวเป็นหนึ่งในสามของวัตถุจริง พื้นที่และปริมาตรของมันจะเล็กกว่าเท่าใด?
  • บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนการขยาย: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่สอดคล้องกันในรูปทรงคล้ายกัน

วิธีปฏิบัติ

  • ใช้ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับมุมพร้อมระบุเหตุผล
  • รูปคล้ายกันจะมีมุมที่ตรงกันเท่ากันและความยาวที่ตรงกันเป็นสัดส่วน
  • พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมมาจากมิติของรูป; รูปประกอบสามารถแยกเป็นส่วนย่อยที่ง่ายกว่าได้

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$A_{\mathrm{rectangle}}=LW,\quad A_{\mathrm{triangle}}=\frac12 bh$$
ตัวอย่าง

สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว 8 ซม. และความกว้าง 5 ซม. มีพื้นที่ A=LW=40 ซม.² สามเหลี่ยมบนฐานและความสูงเดียวกันมีพื้นที่ A=bh/2=20 ซม.² สำหรับห้าเหลี่ยม ผลรวมมุมภายในคือ (5-2)×180=540°

มุม ความยาว และพื้นที่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
  • ใช้ความยาวที่ตรงกันในลำดับเดียวกัน
  • แปลงหน่วยเชิงเส้นก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร หรือยกตัวคูณการแปลงกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง
Watch out

ไม่จริง: สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานและความสูงเท่ากันจะมีพื้นที่เท่ากัน ปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของปัจจัยความยาว: การเพิ่มทุกความยาวเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรขึ้น 8 เท่า

การนำไปใช้

  • ใช้ภาพวาดที่ระบุชื่อและหน่วยที่เหมาะสม
  • บทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้ไม่ทดสอบปัจจัยการปรับขนาดพื้นที่/ปริมาตรหรือบทพิสูจน์ทฤษฎีบทวงกลมขั้นสูง

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ปัจจัยการปรับขนาด: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่ตรงกันในรูปคล้ายกัน
  • ใช้ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับมุมพร้อมระบุเหตุผล
  • ระวัง: มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน

3.3 · การให้เหตุผลเรื่องมุม ความคล้ายคลึง และการวัดขนาด · เนื้อหาเสริม

ปริมาตรขยายตามความยาวหรือไม่?

  • โมเดลมีความยาวเป็นหนึ่งในสามของวัตถุจริง พื้นที่และปริมาตรของมันจะเล็กกว่าเท่าใด?
  • บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนการขยาย: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่สอดคล้องกันในรูปทรงคล้ายกัน

วิธีปฏิบัติ

  • สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
  • ระบุเหตุผลเกี่ยวกับมุมอย่างชัดเจน
  • เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$
ตัวอย่าง

หากอัตราส่วนความยาวโมเดลต่อวัตถุจริงคือ 3 พื้นที่โมเดล 12 ซม.² จะเท่ากับ 12×3²=108 ซม.² และปริมาตรโมเดล 8 ซม.³ จะเท่ากับ 8×3³=216 ซม.³ กระบอกทรงกลมที่มี r=3, h=5 มีปริมาตร πr²h=45π

การหาเหตุผลเกี่ยวกับมุม ความคล้ายคลึง และการวัดพื้นที่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
  • ใช้ความยาวที่ตรงกันในลำดับเดียวกัน
  • แปลงหน่วยเชิงเส้นก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร หรือยกตัวคูณการแปลงกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง
Watch out

ไม่จริง: การเพิ่มทุกความยาวของวัตถุแข็งเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่า ปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของปัจจัยความยาว: การเพิ่มทุกความยาวเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรขึ้น 8 เท่า

การนำไปใช้

  • บทพิสูจน์ทางเรขาคณิตควรระบุทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ระบุมุมหรืออัตราส่วนที่เท่ากัน และสรุปผล
  • การวาดตามมาตราส่วนจะเป็นหลักฐานได้ก็ต่อเมื่อโจทย์อนุญาตให้วัดค่าเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ปัจจัยการปรับขนาด: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่ตรงกันในรูปคล้ายกัน
  • สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
  • ระวัง: มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน

3.3 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก · เนื้อหาพื้นฐาน

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

  • A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
  • บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีปฏิบัติ

  • ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก และใช้ค่าไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์พร้อมระบุด้านที่สัมพันธ์กับมุมที่เลือก

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
ตัวอย่าง

ความยาวบันไดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมกับพื้นดินสอดคล้องกับ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1° สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก 6 และ 8 มีพื้นที่ 6×8/2=24

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
  • ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
  • ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
  • รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป
Watch out

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

  • บทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้ใช้เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
  • กฎของไซน์และกฎของโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก อยู่ในบทเรียนระดับสูง

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก และใช้ค่าไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์พร้อมระบุด้านที่สัมพันธ์กับมุมที่เลือก
  • ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

3.3 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก · เนื้อหาเสริม

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

  • A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
  • บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีปฏิบัติ

  • ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
  • สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
ตัวอย่าง

ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
  • ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
  • ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
  • รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป
Watch out

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

  • ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
  • อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
  • ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

3.3 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง · เนื้อหาพื้นฐาน

ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?

  • การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
  • บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน

วิธีปฏิบัติ

  • บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
  • A translation moves every point by the same vector; a scalar multiple changes length and possibly direction.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
ตัวอย่าง

เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4). จาก A=(1,2) ไป B=(5,5), การกระจัด AB=(4,3). ขนาดของมันคือ √(4²+3²)=5.

เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
  • Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
  • การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง
Watch out

ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

การนำไปใช้

  • วาดลูกศรพร้อมระบุทิศทาง และระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
  • ผลคูณสเกลาร์ สมการเส้นในอวกาศ และการคำนวณมุมขั้นสูง ไม่รวมอยู่ในบทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
  • บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
  • ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB

3.3 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง · เนื้อหาเสริม

ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?

  • การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
  • บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน

วิธีปฏิบัติ

  • บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
  • A translation moves every point by the same vector; a scalar multiple changes length and possibly direction.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
ตัวอย่าง

เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4). จาก A=(1,2) ไป B=(5,5), การกระจัด AB=(4,3). ขนาดของมันคือ √(4²+3²)=5.

เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
  • Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
  • การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง
Watch out

ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

การนำไปใช้

  • วาดลูกศรพร้อมระบุทิศทาง และระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
  • ผลคูณสเกลาร์ สมการเส้นในอวกาศ และการคำนวณมุมขั้นสูง ไม่รวมอยู่ในบทเรียนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
  • บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันและลบตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อหาการกระจัด
  • ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB

3.3 · การสะท้อน การหมุน และการขยาย · เนื้อหาพื้นฐาน

จุดศูนย์กลางของการขยายอยู่ที่ไหน?

  • โลโก้ถูกขยายรอบจุดที่ห่างจากจุดกำเนิด การคูณพิกัดเพียงอย่างเดียวทำให้มันอยู่ในตำแหน่งที่ผิด
  • บทเรียนนี้ศึกษา จุดศูนย์กลางของการขยาย: จุดที่การกระจัดของแต่ละจุดถูกคูณด้วยอัตราส่วน

วิธีปฏิบัติ

  • การเลื่อนขนานเป็นการบวกเวกเตอร์
  • การสะท้อนจะกลับด้านระยะตั้งฉากที่มีเครื่องหมายจากเส้นสะท้อน
  • การหมุนต้องการจุดศูนย์กลาง มุม และทิศทาง
  • สำหรับการขยายขนาดจาก C ให้ใช้ P ใหม่ = C + k(P - C)

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$
ตัวอย่าง

สำหรับ C=(1,1), P=(3,2), k=2, P-C=(2,1) ดังนั้น P ใหม่ = (1,1) + 2(2,1) = (5,3) การสะท้อนของ (3,2) ในแกน y จะได้ (-3,2) การหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาโดยมีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางจะได้ (-2,3)

การสะท้อนกลับ การหมุน และการขยายขนาด — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การหมุนต้องการจุดศูนย์กลางและทิศทาง ไม่ใช่เพียงมุม
  • ค่าการขยายที่มีลบจะทำให้ภาพอยู่ด้านตรงข้ามของจุดศูนย์กลาง
  • การเลื่อนไม่เปลี่ยนทิศทางหรือขนาด
Watch out

ไม่เป็นจริง: การขยายทุกแบบมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดต่อเมื่อค่าสเกลเป็นลบเท่านั้น การขยายสามารถมีจุดศูนย์กลางใดก็ได้ ค่าสเกลที่เป็นลบจะทำให้ภาพอยู่ด้านตรงข้ามของจุดศูนย์กลาง

การนำไปใช้

  • อธิบายการแปลงอย่างครบถ้วนก่อนสร้างภาพ
  • ตรวจสอบระยะและมุมที่สอดคล้องกัน
  • สำหรับการแปลงรวม ให้ปฏิบัติตามลำดับที่กำหนดไว้โดยลำดับ โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีการสลับที่

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • จุดศูนย์กลางของการขยาย: จุดที่การเคลื่อนย้ายของแต่ละจุดถูกคูณด้วยค่าสเกล
  • การเลื่อนขนานเป็นการบวกเวกเตอร์
  • ระวัง: การหมุนต้องการจุดศูนย์กลางและทิศทาง ไม่ใช่เพียงมุมเท่านั้น

3.3 · การสะท้อน การหมุน และการขยาย · เนื้อหาเสริม

จุดศูนย์กลางของการขยายอยู่ที่ไหน?

  • โลโก้ถูกขยายรอบจุดที่ห่างจากจุดกำเนิด การคูณพิกัดเพียงอย่างเดียวทำให้มันอยู่ในตำแหน่งที่ผิด
  • บทเรียนนี้ศึกษา จุดศูนย์กลางของการขยาย: จุดที่การกระจัดของแต่ละจุดถูกคูณด้วยอัตราส่วน

วิธีปฏิบัติ

  • การเลื่อนขนานเป็นการบวกเวกเตอร์
  • การสะท้อนจะกลับด้านระยะตั้งฉากที่มีเครื่องหมายจากเส้นสะท้อน
  • การหมุนต้องการจุดศูนย์กลาง มุม และทิศทาง
  • สำหรับการขยายขนาดจาก C ให้ใช้ P ใหม่ = C + k(P - C)

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$
ตัวอย่าง

สำหรับ C=(1,1), P=(3,2), k=2, P-C=(2,1) ดังนั้น P ใหม่ = (1,1) + 2(2,1) = (5,3) การสะท้อนของ (3,2) ในแกน y จะได้ (-3,2) การหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาโดยมีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางจะได้ (-2,3)

การสะท้อนกลับ การหมุน และการขยายขนาด — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • การหมุนต้องการจุดศูนย์กลางและทิศทาง ไม่ใช่เพียงมุม
  • ค่าการขยายที่มีลบจะทำให้ภาพอยู่ด้านตรงข้ามของจุดศูนย์กลาง
  • การเลื่อนไม่เปลี่ยนทิศทางหรือขนาด
Watch out

ไม่เป็นจริง: การขยายทุกแบบมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดต่อเมื่อค่าสเกลเป็นลบเท่านั้น การขยายสามารถมีจุดศูนย์กลางใดก็ได้ ค่าสเกลที่เป็นลบจะทำให้ภาพอยู่ด้านตรงข้ามของจุดศูนย์กลาง

การนำไปใช้

  • อธิบายการแปลงอย่างครบถ้วนก่อนสร้างภาพ
  • ตรวจสอบระยะและมุมที่สอดคล้องกัน
  • สำหรับการแปลงรวม ให้ปฏิบัติตามลำดับที่กำหนดไว้โดยลำดับ โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีการสลับที่

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • จุดศูนย์กลางของการขยาย: จุดที่การเคลื่อนย้ายของแต่ละจุดถูกคูณด้วยค่าสเกล
  • การเลื่อนขนานเป็นการบวกเวกเตอร์
  • ระวัง: การหมุนต้องการจุดศูนย์กลางและทิศทาง ไม่ใช่เพียงมุมเท่านั้น

3.3 · การสร้างรูปทรง จุดรวม และเงื่อนไขทางเรขาคณิต · เนื้อหาพื้นฐาน

ทั้งสองเงื่อนไขสามารถเป็นจริงได้ในกรณีใด?

  • เครื่องมือควบคุมต้องอยู่ห่างจากห้องทั้งสองเท่ากันและเข้าถึงจุดจ่ายไฟได้ แต่ละเงื่อนไขสร้างเซตของตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน
  • บทเรียนนี้ศึกษา ลอคัส (Locus): เซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเรขาคณิตที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

  • จุดที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่ง AB
  • จุดที่อยู่ห่างจาก C เป็นระยะคงที่ r จะอยู่บนวงกลม
  • จุดที่อยู่ห่างจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุมของเส้นตรงเหล่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$
ตัวอย่าง

สำหรับ A=(0,0) และ B=(6,0), เส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งคือ x=3. จุดที่ 5 หน่วยจาก A สัมพันธ์กับสมการ x²+y²=25. แทนค่า x=3 จะได้ y²=16, ดังนั้น (3,4) และ (3,-4) สอดคล้องกับทั้งสองเงื่อนไข

การสร้างรูปทรง ลอคัส และเงื่อนไขเรขาคณิต — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งเกี่ยวข้องกับระยะทางไปยังจุดสองจุด ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมเกี่ยวข้องกับระยะทางไปยังเส้นตรงสองเส้น
  • การร่างภาพไม่ใช่การสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน: ต้องรักษารอยโค้งของวงเวียนไว้เป็นหลักฐานของวิธีการ
Watch out

ไม่เป็นความจริง: จุดที่อยู่ห่างจากจุดสองจุดเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดเหล่านั้น จุดที่อยู่ห่างจากจุดสองจุดเท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งเส้นตรงที่เชื่อมจุดนั้นๆ ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมจะอยู่ห่างจากเส้นตรงสองเส้นเท่ากัน

การนำไปใช้

  • แปลงแต่ละเงื่อนไขให้เป็นสัณฐานก่อนหาจุดตัด
  • สำหรับบริเวณที่ใกล้ A มากกว่า B ให้เลือกด้านที่ถูกต้องของเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งและแสดงว่าเส้นขอบอนุญาตให้ใช้หรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • สเปกตรัม: เซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเรขาคณิตที่กำหนดไว้
  • จุดที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่ง AB
  • ระวัง: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากเกี่ยวข้องกับระยะห่างไปยังจุดสองจุด ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมเกี่ยวข้องกับระยะห่างไปยังเส้นตรงสองเส้น

3.3 · การสร้างรูปทรง จุดรวม และเงื่อนไขทางเรขาคณิต · เนื้อหาเสริม

ทั้งสองเงื่อนไขสามารถเป็นจริงได้ในกรณีใด?

  • เครื่องมือควบคุมต้องอยู่ห่างจากห้องทั้งสองเท่ากันและเข้าถึงจุดจ่ายไฟได้ แต่ละเงื่อนไขสร้างเซตของตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน
  • บทเรียนนี้ศึกษา ลอคัส (Locus): เซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเรขาคณิตที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

  • จุดที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่ง AB
  • จุดที่อยู่ห่างจาก C เป็นระยะคงที่ r จะอยู่บนวงกลม
  • จุดที่อยู่ห่างจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุมของเส้นตรงเหล่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$
ตัวอย่าง

สำหรับ A=(0,0) และ B=(6,0), เส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งคือ x=3. จุดที่ 5 หน่วยจาก A สัมพันธ์กับสมการ x²+y²=25. แทนค่า x=3 จะได้ y²=16, ดังนั้น (3,4) และ (3,-4) สอดคล้องกับทั้งสองเงื่อนไข

การสร้างรูปทรง ลอคัส และเงื่อนไขเรขาคณิต — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • เส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งเกี่ยวข้องกับระยะทางไปยังจุดสองจุด ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมเกี่ยวข้องกับระยะทางไปยังเส้นตรงสองเส้น
  • การร่างภาพไม่ใช่การสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน: ต้องรักษารอยโค้งของวงเวียนไว้เป็นหลักฐานของวิธีการ
Watch out

ไม่เป็นความจริง: จุดที่อยู่ห่างจากจุดสองจุดเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดเหล่านั้น จุดที่อยู่ห่างจากจุดสองจุดเท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งเส้นตรงที่เชื่อมจุดนั้นๆ ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมจะอยู่ห่างจากเส้นตรงสองเส้นเท่ากัน

การนำไปใช้

  • แปลงแต่ละเงื่อนไขให้เป็นสัณฐานก่อนหาจุดตัด
  • สำหรับบริเวณที่ใกล้ A มากกว่า B ให้เลือกด้านที่ถูกต้องของเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งและแสดงว่าเส้นขอบอนุญาตให้ใช้หรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • สเปกตรัม: เซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเรขาคณิตที่กำหนดไว้
  • จุดที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากันจะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่ง AB
  • ระวัง: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากเกี่ยวข้องกับระยะห่างไปยังจุดสองจุด ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมเกี่ยวข้องกับระยะห่างไปยังเส้นตรงสองเส้น

3.3 · ทฤษฎีบทวงกลมและการพิสูจน์โดยมีเหตุผล · เนื้อหาเสริม

มุมใดมองสายเชือกเดียวกัน?

  • ผู้สังเกตสองคนมองสายคอร์ดเดียวกันจากวงกลม มุมของพวกเขามีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบท ไม่ใช่โดยขนาดที่ดูเป็นจริงของภาพวาด
  • บทเรียนนี้ศึกษา สี่เหลี่ยมในวงกลม: สี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้งสี่อยู่บนวงกลมเดียวกัน

วิธีปฏิบัติ

  • มุมที่จุดศูนย์กลางมีค่าเป็นสองเท่าของมุมที่จุดบนวงกลมบนส่วนโค้งเดียวกัน
  • มุมในส่วนวงกลมเดียวกันมีค่าเท่ากัน
  • มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมในวงกลมรวมกันได้ 180°
  • รังสีวงกลมตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดสัมผัส

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\theta_{\mathrm{centre}}=2\theta_{\mathrm{circumference}}$$
ตัวอย่าง

หากมุมที่ศูนย์กลางคือ 100°, มุมบนเส้นรอบวงที่เกี่ยวข้องคือ 50°. ในสี่เหลี่ยมในวงกลมที่มีมุมหนึ่งเป็น 112°, มุมตรงข้ามคือ 180-112=68°. รังสีที่ตัดกับเส้นสัมผัสจะเกิดมุม 90° แม้ภาพวาดจะดูเอียงก็ตาม

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลมและการพิสูจน์อย่างมีเหตุผล — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • ระบุเส้นสายเดียวกันและส่วนโค้งที่ถูกต้องก่อนใช้ทฤษฎีบท
  • มุมฉากที่มองเห็นได้สองมุมไม่พิสูจน์ได้ว่าสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมรอบวงกลมโดยไม่มีการพิสูจน์กลับที่มีเหตุผลรองรับ
  • รูปวาดอาจไม่ได้วาดตามขนาดจริง
Watch out

ไม่เป็นความจริง: สี่เหลี่ยมทุกชนิดมีมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180°. มุมตรงข้ามรวมกันได้ 180° เฉพาะในสี่เหลี่ยมในวงกลมเท่านั้น ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลม

การนำไปใช้

  • เขียนเหตุผลหนึ่งข้อข้างเคียงกับการคำนวณมุมแต่ละครั้ง
  • สำหรับทฤษฎีบทส่วนวงกลมที่สลับด้าน ให้ระบุเส้นสัมผัสและเส้นสาย จากนั้นระบุมุมในส่วนวงกลมที่ตรงข้าม
  • ใช้รังสีเสริมก็ต่อเมื่อช่วยในการพิสูจน์เท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • สี่เหลี่ยมรอบวงกลม: สี่เหลี่ยม whose vertices lie on one circle
  • มุมที่จุดศูนย์กลางมีค่าเป็นสองเท่าของมุมที่จุดบนวงกลมบนส่วนโค้งเดียวกัน
  • ระวัง: ระบุเส้นสายเดียวกันและส่วนโค้งที่ถูกต้องก่อนใช้ทฤษฎีบท

3.3 · การแปลงเมทริกซ์ระนาบ · ส่วนขยาย

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

  • แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
  • บทเรียนนี้ศึกษา เมทริกซ์การแปลง: เมทริกซ์whose การกระทำต่อเวกเตอร์คอลัมน์กำหนดการแปลงระนาบ

วิธีปฏิบัติ

  • แทนค่าการแปลงระนาบโดยใช้เมทริกซ์ขนาด 2×2 ที่กระทำต่อเวกเตอร์คอลัมน์
  • คอลัมน์แต่ละตัวแสดงภาพของเวกเตอร์ฐานสองตัว
  • รวมการแปลงตามลำดับที่กำหนด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$$
ตัวอย่าง

For A=[[2,1],[0,3]], A(1,2)=(4,6). A maps (1,0) to (2,0) and (0,1) to (1,3). Matrix multiplication records composition; the rightmost matrix acts first.

Plane matrix transformations — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

  • การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
  • จัดพิกัดเป็นเวกเตอร์คอลัมน์และใช้การประกอบตามลำดับที่ถูกต้อง
Watch out

Not true: The order of a pair of matrix transformations never changes the image. A square matrix with determinant 0 is singular and has no inverse.

การนำไปใช้

  • บทเรียนขยาย 9260 นี้เกี่ยวกับการแปลงเมทริกซ์ระนาบ
  • ค่าเฉพาะ การทำให้เป็นเมทริกซ์แนวตั้งสมมาตร และสมการลักษณะเฉพาะอยู่นอกขอบเขตของบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • เมทริกซ์การแปลง: เมทริกซ์ whose การกระทำต่อเวกเตอร์คอลัมน์กำหนดการแปลงระนาบ
  • แทนค่าการแปลงระนาบโดยใช้เมทริกซ์ขนาด 2×2 ที่กระทำต่อเวกเตอร์คอลัมน์
  • ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

3.3 · อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม · ส่วนขยาย

How much change has accumulated?

  • กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
  • บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีปฏิบัติ

  • แยกพหุนามโดยเพิ่มกำลังหนึ่งและหารด้วยกำลังใหม่
  • เพิ่มค่าคงที่สำหรับการแยกอินทิกรัลแบบไม่จำกัด
  • คำนวณค่าอินทิกรัลจำกัดโดยลบค่าฟังก์ชันต้นแบบที่ขอบเขต

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
ตัวอย่าง

สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น

Integrals, area and accumulation — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

  • ใช้ค่าขอบเขตตามลำดับที่กำหนด
  • ค่าคงที่จะถูกลบออกในอินทิกรัล_examples แต่จำเป็นต้องใช้สำหรับอินทิกรัลไม่_examples
  • พื้นที่บวกทั้งหมดอาจต้องแบ่งช่วงเมื่อกราฟตัดแกน
Watch out

ไม่เป็นจริง: อินทิกรัล_examples มีค่าเท่ากับพื้นที่บวกทั้งหมด แม้กราฟจะตัดแกน Also พื้นที่ใต้แกนมีค่าลบ ดังนั้นอินทิกรัล_examples อาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่เป็นศูนย์

การนำไปใช้

  • บทเรียน 9260 นี้ใช้การหาอินทิกรัลของพหุนามและพื้นที่
  • อินทิกรัลลอการิทึม การแทนตัวแปร การหาพจน์ส่วนประกอบ และสมการเชิงอนุพันธ์อยู่นอกขอบเขตของบทเรียนนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.3
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
  • แยกพหุนามโดยเพิ่มกำลังหนึ่งและหารด้วยกำลังใหม่
  • ระวัง: ให้ใช้ค่าขอบเขตตามลำดับที่กำหนด

3.4 · จุดศูนย์กลาง ความกระจาย และการแสดงผลข้อมูล · พื้นฐาน

ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

  • กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
  • บทเรียนนี้ศึกษา ช่วง: ค่าสูงสุดที่สังเกตได้ลบด้วยค่าต่ำสุดที่สังเกตได้

วิธีปฏิบัติ

  • ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วยจำนวน
  • ค่ามัธยฐานคือค่าตรงกลางหลังจากเรียงลำดับแล้ว
  • ส่วนเบี่ยงเบนสุดโต่งคือค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุด
  • ใช้ตารางความถี่ แผนภูมิแท่ง และการเปรียบเทียบที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n}$$
ตัวอย่าง

สำหรับ 2,4,4,6,9 ผลรวม=25 และจำนวน=5 ดังนั้นค่าเฉลี่ย=5 ค่าตรงกลางคือ 4 ดังนั้นค่ามัธยฐาน=4 ส่วนเบี่ยงเบนสุดโต่งคือ 9-2=7 อธิบายทั้งค่าทั่วไปและการกระจายตัว

จุดกึ่งกลาง การกระจาย และการแสดงผลข้อมูล — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
  • ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
  • ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้
Watch out

ไม่ถูกต้อง: ค่าเฉลี่ยของรายการต้องเป็นค่าหนึ่งจากข้อมูลที่สังเกตได้ เมื่อความกว้างของชั้นข้อมูลไม่เท่ากัน ค่าสูงของกราฟคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง

การนำไปใช้

  • แผนภูมิแท่งใช้แท่งแยกต่างหากสำหรับแต่ละหมวดหมู่
  • ฮิสโตแกรมที่มีความกว้างชั้นข้อมูลไม่เท่ากันและการคำนวณความหนาแน่นที่เป็นทางการอยู่นอกเหนือบทเรียนพื้นฐาน/แกนหลักนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.4
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ส่วนเบี่ยงเบนสุดโต่ง: ค่าสูงสุดที่สังเกตได้ลบด้วยค่าต่ำสุดที่สังเกตได้
  • ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วยจำนวน
  • ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด

3.4 · สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ · ส่วนขยาย

ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

  • กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
  • บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม

วิธีปฏิบัติ

  • เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
  • กราฟฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความหนาแน่นของความถี่ / ช่วงชั้น
  • การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในแต่ละช่วง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
ตัวอย่าง

กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.

สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
  • ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
  • ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้
Watch out

ไม่ถูกต้อง: ความสูงของแท่งกราฟฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีช่วงชั้นที่ไม่เท่ากัน ในกรณีที่มีช่วงชั้นไม่เท่ากัน ความสูงคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง

การนำไปใช้

  • เลือกการแสดงผลให้เหมาะสมกับประเภทข้อมูล
  • ให้ผลการเปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร พร้อมระบุระดับความแม่นยำที่ตัวอย่างรองรับได้ ไม่ควรสรุปเกินจริง

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.4
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ความหนาแน่นของความถี่: ความถี่หารด้วยขนาดช่วงชั้น ใช้เป็นความสูงของแท่งในกราฟฮิสโตแกรม
  • เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
  • ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด

3.4 · ต้นไม้ความน่าจะเป็นและผลลัพธ์ · พื้นฐาน

อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?

  • ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
  • บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

  • ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 และ 1
  • ผลลัพธ์ที่ครอบคลุมและไม่ทับซ้อนกันมีความน่าจะเป็นรวมกันเท่ากับ 1
  • คูณความน่าจะเป็นของแต่ละกิ่งต่อเนื่องกันแล้วบวกเส้นทางแยกต่างหากเข้าสู่ผลลัพธ์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
ตัวอย่าง

ถุงหนึ่งมีลูกปัดสีแดง 3 ลูกและลูกปัดสีน้ำเงิน 2 ลูก เมื่อใส่คืน P(แดงสองลูก)=3/5×3/5=9/25=0.36. เมื่อไม่ใส่คืน กิ่งแดง-แดงคือ 3/5×2/4=0.3. ติดฉลากแต่ละกิ่งก่อนคูณ

ต้นไม้ความน่าจะเป็นและผลลัพธ์ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
  • เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน
Watch out

ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)

การนำไปใช้

  • ใช้ตารางความถี่หรือแผนภาพต้นไม้ก่อนทำการคำนวณ
  • สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เป็นทางการอยู่นอกเหนือบทเรียนสนับสนุนระดับพื้นฐาน/แกนกลางนี้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับพื้นฐาน, ส่วนข้อกำหนด 3.4
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
  • ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 และ 1
  • ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง

3.4 · ความน่าจะเป็น, ต้นไม้ และการเหตุผลแบบเงื่อนไข · ขยายความ

อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?

  • ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
  • บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

  • คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
  • การสุ่มแบบมีคืน ส่วนประกอบจะคงที่
  • ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A เมื่อ B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
ตัวอย่าง

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

  • แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
  • เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน
Watch out

ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)

การนำไปใช้

  • ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่จำกัดชัดเจน
  • ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องให้เหตุผลว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่กำหนดให้

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.4
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
  • คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
  • ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง

3.4 · ความถี่สะสมและแผนภูมิกล่อง · ส่วนขยาย

เส้นทางไหนมีความสม่ำเสมอมากกว่ากัน?

  • เส้นทางรถสองเส้นทางมีเวลาโดยทั่วไปคล้ายกันแต่มีความน่าเชื่อถือต่างกัน รอยต่อแสดงช่วงกลางครึ่งหนึ่งของการเดินทาง
  • บทเรียนนี้ศึกษา ช่วงควอไทล์: ความแตกต่างระหว่างควอไทล์บนและควอไทล์ล่าง

วิธีปฏิบัติ

  • ความถี่สะสมนับการสังเกตที่ต่ำกว่าขอบเขตชั้นข้อมูลต่อเนื่องๆ
  • Read quartiles at one quarter, one half and three quarters of the total frequency.
  • กล่องแผนภาพแสดงค่าต่ำสุด, รอยต่อล่าง, มัธยฐาน, รอยต่อบน และค่าสูงสุด

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$
ตัวอย่าง

สำหรับ 80 การสังเกต อ่าน Q1 ที่ความถี่สะสม 20, มัธยฐาน ที่ 40 และ Q3 ที่ 60 หาก Q1=12, Q3=21 แล้ว IQR=9 เปรียบเทียบค่ามัธยฐานเพื่อหาเวลาเดินทางโดยทั่วไปและ IQR เพื่อหาความสม่ำเสมอ

ความถี่สะสมและแผนภาพกล่อง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

  • วาดagainstกับขอบเขตชั้นข้อมูลแทนที่จะเป็นจุดกึ่งกลาง
  • Grouped quartiles are estimates.
  • The range is sensitive to extremes; the IQR describes only the middle half.
Watch out

ไม่จริง: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานระหว่างควอไทล์เท่ากับค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุด ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานระหว่างควอไทล์คือ Q3−Q1; ค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดคือช่วงการแปรปรวน

การนำไปใช้

  • อธิบายการเปรียบเทียบในบริบทของปริมาณที่ถูกวัด
  • กฎค่าผิดปกติอาจใช้ Q1-1.5IQR และ Q3+1.5IQR; ใช้กฎที่ระบุในโจทย์แทนการสมมติว่ากราฟทุกประเภทใช้กฎเดียวกัน

ในหลักสูตรของคุณ

  • OxfordAQA International GCSE Mathematics (9260), ระดับขยาย, ส่วนข้อกำหนด 3.4
  • ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น
Key idea
  • ช่วงระหว่างควอไทล์: ผลต่างระหว่างควอไทล์ที่สามกับควอไทล์ที่หนึ่ง
  • ความถี่สะสมนับการสังเกตที่ต่ำกว่าขอบเขตชั้นข้อมูลต่อเนื่องๆ
  • ระวัง: แปรผันตามขอบเขตกลุ่ม (class boundaries) แทนที่จะเป็นจุดกึ่งกลาง (midpoints)

เข้าสู่ระบบหรือสร้างบัญชี

IGCSE, A-Level & AP