สื่อการสอนต้นฉบับ ตรวจสอบช่องว่างในการครอบคลุมหลักสูตรและข้อกำหนดปัจจุบันของโรงเรียนก่อนนำไปใช้ในการประเมินผล

AI: บันทึกการสอนหลักสูตร

เวอร์ชัน: การประเมินครั้งแรก 2021

นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก

1 · คำนวณเลขคณิตที่แม่นยำและการประมาณค่า

เราบรรจุได้โดยไม่เหลือเศษไหม?

ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี

วิธีปฏิบัติ

ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

ตัวอย่าง

72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360

การคำนวณที่แม่นยำและการประมาณค่า — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ

Watch out

Not true: The HCF of two positive integers is larger than either integer. The HCF divides both numbers, so it can never be larger than the smaller one: the HCF of 72 and 90 is 18.

การนำไปใช้

สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021

Key idea

Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน

1 · เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดแบบสัดส่วน

เราสามารถกู้คืนราคาเดิมได้หรือไม่?

เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว

วิธีปฏิบัติ

การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

ตัวอย่าง

ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดเชิงสัดส่วน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์

Watch out

ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100

การนำไปใช้

สำหรับความแปรผันตรง ใช้ y=kx; สำหรับความแปรผกผัน ใช้ y=k/x
คำนวณค่า k จากคู่ตัวเลขที่กำหนดก่อนนำไปใช้กับค่าใหม่
ระบุสิ่งที่คุณควบคุมให้คงที่

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์

1 · ลำดับอนุกรมและความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีปฏิบัติ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

ตัวอย่าง

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

อนุกรม,-series และการซ้ำซ้อน — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้

Watch out

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

1 · โมเดลลำดับการฝากเงินซ้ำและการกำหนดเวลา

เวลาบรรทัดไหนที่ผลบวกระบุถึง?

การชำระเงินเท่ากันสองครั้งสามารถสร้างดอกเบี้ยได้ต่างกันหากมีการชำระก่อนหน้า
บทเรียนนี้ศึกษา เงินฝาก (deposit): จำนวนเงินที่เพิ่มเข้าไปในบัญชี ณ เวลาที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

กำหนดยอดคงเหลือทันทีหลังเหตุการณ์ที่กำหนด และกำหนดยอดคงเหลือเริ่มต้น
ด้วยตัวคูณการเติบโต r และการฝากเงิน d ที่สิ้นรอบ B₀=0 และ B_n=rB_(n−1)+d
ยอดคงเหลือที่ n คือ d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) สำหรับ r≠1
สำหรับ r=1 ใช้ B_n=nd
จำนวนรอบ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$B_0=0,\quad B_n=rB_{n-1}+d,\quad B_n=d\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1)$$

ตัวอย่าง

ใช้ตัวอย่างอัตราการเติบโต 5% ต่องวด และฝาก 100 หน่วย ปลายแต่ละงวด B₁=100, B₂=1.05×100+100=205 และ B₃=1.05×205+100=315.25 เงินฝากครั้งแรกได้รับดอกเบี้ย n−1 งวด ในขณะที่เงินฝากสุดท้ายไม่ได้รับดอกเบี้ยเมื่อวัดยอด B_n ดังนั้น B_n=100(1.05^n−1)/0.05 หากเป้าหมายอย่างน้อย 500, B₄=431.0125<500 และ B₅=552.563125≥500 ดังนั้น 5 งวดแรกก็เพียงพอ ยอดคงเหลือเกินกว่าเงินฝากทั้งหมด 5 ครั้งรวม 500 อยู่ 52.563125 หน่วย หากมีการฝากเท่าเดิมทุกต้นงวด และวัดยอดคงเหลือปลายงวด C_n=1.05(B_n); ดังนั้น C₃=331.0125 ไม่ใช่ 315.25

แบบจำลองลำดับเงินฝากซ้ำและช่วงเวลา — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อย่าให้เงินฝากที่สิ้นรอบสุดท้ายได้รับระยะเวลาเพิ่มในการสร้างดอกเบี้ย
ยอดคงเหลือประกอบด้วยทั้งเงินฝากและการเติบโต ไม่ใช่เพียงดอกเบี้ยเท่านั้น
เป้าหมายที่แน่นอนกับเป้าหมายอย่างน้อยต้องมีการตรวจสอบจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน
อัตราต่อปีที่ประกาศไม่สามารถนำไปใช้เป็นตัวคูณรายเดือนได้โดยตรงโดยไม่มีการแปลงที่เหมาะสม

Watch out

ไม่จริง: การฝากเงินที่ต้นและปลายงวดให้ยอดคงเหลือสุดท้ายเท่ากัน การฝากเงินที่ต้นงวดจะได้รับดอกเบี้ยเพิ่มอีกหนึ่งงวด ดังนั้นยอดคงเหลือสุดท้ายจึงมากกว่า

การนำไปใช้

ภาพประกอบนี้สมมติว่าอัตราต่องวดคงที่ ฝากเงินเท่ากัน ไม่มีค่าธรรมเนียมหรือการถอนเงิน และใช้ช่วงเวลาการคิดดอกเบี้ย/ชำระเงินตามที่ระบุไว้
หากสิ่งเหล่านี้เปลี่ยนแปลง ให้ปรับสมการถอยหลัง: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n สำหรับกรณีฝาก/ถอนเงินที่ปลายงวด
รักษาบัญชีแยกประเภทการชำระเงินไว้ต่างหากเพื่อระบุการเติบโต
เปรียบเทียบยอดคงเหลือของงวดติดต่อกันก่อนจะอ้างถึงจุดตัดเป้าหมายครั้งแรก ในที่นี้ยอดคงเหลือทั้งหมดเป็นบวกหรือไม่เป็นลบ และ B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การฝากเงิน: จำนวนเงินที่เพิ่มเข้าไปในบัญชี ณ เวลาที่กำหนด
กำหนดยอดคงเหลือทันทีหลังเหตุการณ์ที่กำหนด และกำหนดยอดคงเหลือเริ่มต้น
ระวัง: อย่าให้เงินฝากที่ปลายงวดสุดท้ายได้รับช่วงดอกเบี้ยเพิ่มเติม

1 · การแปลงเมทริกซ์,อินเวอร์สและค่าเฉพาะ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

แผนที่ยืดแนวหนึ่งและบิดอีกแนวหนึ่ง เมทริกซ์บันทึกการแปลงของแต่ละเวกเตอร์พื้นฐาน
บทเรียนนี้ศึกษา ดีเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถกลับด้านได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

วิธีปฏิบัติ

เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์จากทางซ้าย
เมทริกซ์ที่อยู่ทางขวาจะทำงานก่อนในผลคูณ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง

สำหรับ A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). อินเวอร์สคือ [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. สมการลักษณะเฉพาะคือ (2-λ)(3-λ)=0 ดังนั้นค่าเฉพาะ (eigenvalues) คือ 2 และ 3.

การแปลงเมทริกซ์, อินเวอร์ส และค่า eigen — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่
A determinant of zero means the transformation loses a dimension and has no inverse.
ค่าเฉพาะและการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเนื้อหาขั้นสูง ไม่ใช่เนื้อหาเวกเตอร์ GCSE ปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมทุกตัวมีอินเวอร์ส เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีดิเทอร์มิแนนต์ 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐานและไม่มีอินเวอร์ส

การนำไปใช้

หาเวกเตอร์ eigen โดยแก้สมการ (A-λI)v=0 โดยที่ v≠0
อธิบายความหมายทางเรขาคณิต: เวกเตอร์นี้คงทิศทางเส้นไว้ภายใต้การแปลง

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ดิเทอร์มิแนนต์: สเกลาร์ที่ใช้กำหนดว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถหาอินเวอร์สได้หรือไม่ และในสองมิติคือปัจจัยพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย
เมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] มีดีเทอร์มิแนนต์ ad-bc และมีอินเวอร์ส [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) หากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์
ระวัง: การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่มีความสัมพันธ์แบบสลับที่

1 · จำนวนเชิงซ้อนและราก

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ

วิธีปฏิบัติ

เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
จำนวน-queryate คือ a-bi และ z คูณจำนวน-queryate = a²+b²
โมดูลัสคือ √(a²+b²); อาร์กิวเมนต์ต้องใช้จตุภาคที่ถูกต้อง
ราก-queryate เกิดขึ้นในพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$

ตัวอย่าง

สำหรับ z=3+4i, |z|=5 และคู่สมมูลของ z=3-4i ค่าผกผันคือ (3-4i)/25 สำหรับ x²-6x+13=0 รากคือ 3±2i การคูณด้วยคู่สมมูลทำให้ตัวส่วนที่เป็นจำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อนและราก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นความจริง: สำหรับ a+bi โมดูลัสของมันคือ a+b โมดูลัสคือ √(a²+b²): สำหรับ 3+4i มีค่าเป็น 5 ไม่ใช่ 7

การนำไปใช้

วาดแกนจำนวนจริงแนวนอนและแกนจำนวนจินตภาพแนวตั้ง
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสคูณกันและอาร์กิวเมนต์บวกกัน;เลขยกกำลังขยายรูปแบบเรขาคณิตนี้ผ่านทฤษฎีบทเดอมอยฟวร์

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง

2 · เซตของค่า ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบฟังก์ชัน

ค่าอินพุตใดที่อนุญาตให้ใช้?

โมเดลรากที่สองให้ผลลัพธ์จริงเฉพาะบางค่าอินพุกเท่านั้น สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่สมบูรณ์
บทเรียนนี้ศึกษา domain: เซตของค่าอินพุกที่อนุญาตให้ใช้กับฟังก์ชัน

วิธีปฏิบัติ

ระบุโดเมนและเรนจ์
สำหรับฟังก์ชันผกผัน ต้องตรวจสอบก่อนว่าฟังก์ชันนั้นเป็น one-to-one บนโดเมนของตนหรือไม่
Composition fg หมายความว่านำ g มาใช้ก่อน แล้วจึงนำ f มาใช้; ค่าผลลัพธ์กลางต้องเป็นค่าเริ่มต้นที่ยอมรับได้สำหรับ f

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$

ตัวอย่าง

For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

โดเมน ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การยกกำลังสองอาจนำไปสู่คำตอบที่ไม่แท้จริง (extraneous solutions)
การจำกัดโดเมนของพาราโบลาเป็นเรื่องจำเป็นก่อนจะอ้างถึงฟังก์ชันผกผัน
การเลื่อนกราฟในแนวตั้งภายใน f จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของกราฟ

Watch out

ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันกำลังสองบนเซตจำนวนจริงทั้งหมดจะมีฟังก์ชันผกผันเสมอ ฟังก์ชันกำลังสองบนจำนวนจริงทั้งหมดเป็นแบบหลายเข้าสู่หนึ่งเดียว (f(1)=f(−1) สำหรับ x²) ดังนั้นต้องจำกัดโดเมนก่อน

การนำไปใช้

Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain.
ใช้การวาดภาพเพื่อทดสอบว่าเส้นแนวนอนตัดกับกราฟเดิมมากกว่าหนึ่งครั้งหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

โดเมน: เซตของค่าเข้าที่เป็นไปได้สำหรับฟังก์ชัน
ระบุโดเมนและเรนจ์
ระวัง: การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดคำตอบที่ผิดพลาดได้

2 · การถดถอย,โมเดลทางการเงินและค่าคงเหลือ

การทำนายได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลหรือไม่?

เส้นตรงทำนายเวลาเดินทางด้วยรถบัสจากระยะทาง ความผิดพลาดในการคำนวณเล็กน้อยมีความสำคัญน้อยกว่าการใช้โมเดลนอกเหนือจากขอบเขตข้อมูลที่สนับสนุน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าเหลือเชื่อ (Residual): ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลปรับแล้วทำนายไว้

วิธีปฏิบัติ

โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ตรวจสอบเศษเหลือและช่วงของข้อมูล
สำหรับเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนแปลงซ้ำๆ ให้ใช้โมเดลเรขาคณิต สำหรับเงินกู้ยืม ต้องแยกแยะระหว่างต้นทุน อัตราดอกเบี้ย จำนวนชำระ และช่วงเวลา

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$

ตัวอย่าง

โมเดลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูล t=8+2d คาดการณ์เวลา 18 นาที ที่ d=5 กม. หากเวลาสังเกตได้จริงคือ 21 ค่า residual คือ 3 นาที การฝากเงิน ¥1000 ที่ดอกเบี้ยทบต้นรายปี 5% จะกลายเป็น 1000×1.05³=1157.625 หลัง 3 ปี

การถดถอย โมเดลทางการเงิน และค่าเหลือเชื่อ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การเข้ากันที่ดีของโมเดลไม่พิสูจน์ถึงกลไกความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ไม่ใช่ความชัน
ผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลขต้องถูกแปลผลเป็นโมเดล ตรวจสอบ และตีความใหม่

Watch out

ไม่ถูกต้อง: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สูงอนุญาตให้คาดนอกช่วงได้อย่างเชื่อถือได้ในทุกระยะ โมเดลที่สร้างจากข้อมูลจะเชื่อถือได้เฉพาะใกล้กับข้อมูลนั้นเท่านั้น การคาดนอกช่วงไกลๆ นั้นไม่เชื่อถือได้

การนำไปใช้

ในหลักสูตร IB AI ให้บันทึกแหล่งข้อมูล ขอบเขตตัวแปร สมมติฐาน และวิธีใช้เครื่องคิดเลข
เปรียบเทียบโมเดลทางเลือกและประเมินการคาดการณ์ด้วยผลต่าง残差 (residuals)
คำตอบทางการเงินต้องระบุเวลาชำระเงินและว่าดอกเบี้ยมีการทบต้นหรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021

Key idea

ค่าคงเหลือ: ค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่โมเดลที่ปรับแล้วทำนายไว้
โมเดลเชิงเส้น y=a+bx มีจุดตัดแกน a และความชัน b พร้อมหน่วยทางบริบท
ระวัง: การจับคู่ที่ดีไม่พิสูจน์ว่ามีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ

2 · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการสร้างโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$

ตัวอย่าง

ถ้า y=80e^(-0.2t), เมื่อ y=40 จะได้ e^(-0.2t)=1/2 ดังนั้น t=ln2/0.2≈3.466 สำหรับ 3^x=20, x=ln20/ln3 การพล็อต ln y เทียบกับ t จะทำให้โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลนี้เป็นเส้นตรง

Exponentials, logarithms and modelling — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา

Watch out

ไม่เป็นจริง: สำหรับ x และ y ที่เป็นบวก, ln(x+y)=ln x+ln y ลอการิทึมของผลรวมไม่มีกฎที่เรียบง่าย; กฎการคูณคือ ln(xy)=ln x+ln y

การนำไปใช้

เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี

3 · การคิดเกี่ยวกับมุม ความคล้ายคลึง และการวัดขนาด

ปริมาตรขยายตามความยาวหรือไม่?

โมเดลมีความยาวเป็นหนึ่งในสามของวัตถุจริง พื้นที่และปริมาตรของมันจะเล็กกว่าเท่าใด?
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนการขยาย: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่สอดคล้องกันในรูปทรงคล้ายกัน

วิธีปฏิบัติ

สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
ระบุเหตุผลเกี่ยวกับมุมอย่างชัดเจน
เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

ตัวอย่าง

หากอัตราส่วนความยาวโมเดลต่อวัตถุจริงคือ 3 พื้นที่โมเดล 12 ซม.² จะเท่ากับ 12×3²=108 ซม.² และปริมาตรโมเดล 8 ซม.³ จะเท่ากับ 8×3³=216 ซม.³ กระบอกทรงกลมที่มี r=3, h=5 มีปริมาตร πr²h=45π

การหาเหตุผลเกี่ยวกับมุม ความคล้ายคลึง และการวัดพื้นที่ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
ใช้ความยาวที่ตรงกันในลำดับเดียวกัน
แปลงหน่วยเชิงเส้นก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร หรือยกตัวคูณการแปลงกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง

Watch out

ไม่จริง: การเพิ่มทุกความยาวของวัตถุแข็งเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่า ปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของปัจจัยความยาว: การเพิ่มทุกความยาวเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรขึ้น 8 เท่า

การนำไปใช้

บทพิสูจน์ทางเรขาคณิตควรระบุทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ระบุมุมหรืออัตราส่วนที่เท่ากัน และสรุปผล
การวาดตามมาตราส่วนจะเป็นหลักฐานได้ก็ต่อเมื่อโจทย์อนุญาตให้วัดค่าเท่านั้น

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ปัจจัยการปรับขนาด: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่ตรงกันในรูปคล้ายกัน
สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
ระวัง: มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน

3 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีปฏิบัติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

ตัวอย่าง

ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป

Watch out

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

3 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง

ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?

การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน

วิธีปฏิบัติ

บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
การกระจัดจาก A ไป B คือ OB ลบ OA
เวกเตอร์ขนานกันจะเป็นผลคูณของสเกลาร์
เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง ส่วนระยะทางเป็นสเกลาร์

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

ตัวอย่าง

เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4) ผลคูณสเกลาร์ของพวกเขาคือ a·b=4×1+1×3=7 ขนาดของ a คือ √17 สำหรับ A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) และ |AB|=5

เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง

Watch out

ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

การนำไปใช้

สำหรับการเลื่อนทุกจุดใช้การกระจัดเดียวกัน
สำหรับปัญหาเส้นตรงขั้นสูง ให้แยกแยะระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่งกับเวกเตอร์ทิศทางและแก้สมการพารามิเตอร์ให้สอดคล้องกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB

4 · สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความผล

ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม

วิธีปฏิบัติ

เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
กราฟฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความหนาแน่นของความถี่ / ช่วงชั้น
การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในแต่ละช่วง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

ตัวอย่าง

กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.

สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ความสูงของแท่งกราฟฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีช่วงชั้นที่ไม่เท่ากัน ในกรณีที่มีช่วงชั้นไม่เท่ากัน ความสูงคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง

การนำไปใช้

เลือกการแสดงผลให้เหมาะสมกับประเภทข้อมูล
ให้ผลการเปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร พร้อมระบุระดับความแม่นยำที่ตัวอย่างรองรับได้ ไม่ควรสรุปเกินจริง

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความหนาแน่นของความถี่: ความถี่หารด้วยขนาดช่วงชั้น ใช้เป็นความสูงของแท่งในกราฟฮิสโตแกรม
เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด

4 · ความน่าพลัน ต้นไม้และความน่าจะเป็น และการคิดแบบมีเงื่อนไข

อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?

ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

วิธีปฏิบัติ

คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
การสุ่มแบบมีคืน ส่วนประกอบจะคงที่
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A เมื่อ B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

ตัวอย่าง

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน

Watch out

ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)

การนำไปใช้

ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่จำกัดชัดเจน
ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องให้เหตุผลว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่กำหนดให้

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง

4 · โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง

อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

วิธีปฏิบัติ

โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
E(X)=np และ Var(X)=np(1-p)
สำหรับโมเดลปกติ ให้ใช้ z=(x-μ)/σ
โมเดลปอยซ็องใช้สำหรับนับจำนวนที่มีอัตราคงที่และสมมติฐานความเป็นอิสระที่เหมาะสม

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ X แบนอมิอัล(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 และ Var(X)=0.8 สำหรับปริมาณปกติที่มี μ=100, σ=15, ค่า 130 มี z=2 ปอยซง mean = 3 ต่อชั่วโมง ให้ mean = 6 ตลอดสองชั่วโมง

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: จำนวนความสำเร็จทุกจำนวนมีการแจกแจงแบบทวินามโดยไม่ขึ้นกับความขึ้นกัน การแจกแจงแบบทวินามต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและมีความน่าจะเป็นคงที่; การทดลองที่ขึ้นกันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้

การนำไปใช้

เขียนเหตุการณ์ให้อยู่ในรูปอสมการก่อนใช้ฟังก์ชันการแจกแจงบนเครื่องคิดเลข
แยกแยะระหว่าง P(X<k), P(X≤k) และส่วนหางที่เติมเต็ม
ระบุสมมติฐานในบริบทที่เกี่ยวข้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021

Key idea

ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.

4 · การทดสอบสมมติฐานและข้อสรุปในบริบท

โอกาสสามารถอธิบายผลลัพธ์นี้ได้หรือไม่?

โรงงานอ้างว่าสินค้าเสียเพียง 10% ตัวอย่างที่เก็บมาพบความเสียหายน้อยกว่าที่อ้าง แต่โอกาสเพียงอย่างเดียวอาจอธิบายความแตกต่างได้บางส่วน
บทเรียนนี้ศึกษา ระดับนัยสำคัญ: ขอบเขตความน่าchosenเพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์

วิธีปฏิบัติ

ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
คำนวณความน่าจะเป็นส่วนหางที่เหมาะสมภายใต้ H₀
ปฏิเสธ H₀ เมื่อมีหลักฐานสอดคล้องกับกฎระดับนัยสำคัญที่กำหนด; มิฉะนั้นระบุว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ H₀:p=0.1 และ H₁:p>0.1 เมื่อ n=10 การสังเกตข้อบกพร่องอย่างน้อย 3 ครั้งมีโอกาส 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. ที่ระดับ 5% นี้เป็นหลักฐานที่ไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าอัตราข้อบกพร่องเกิน 10%

การทดสอบสมมติฐานและการสรุปตามบริบท — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง
เลือกส่วนหางจาก H₁ ไม่ใช่จากส่วนหางที่ให้ค่าเล็กที่สุด
นัยสำคัญทางสถิติไม่ได้วัดขนาดของการเปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ

Watch out

ไม่เป็นจริง: การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์พิสูจน์ว่ามันเป็นจริง การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์หมายความว่าไม่มีหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธมันเท่านั้น

การนำไปใช้

สรุปด้วยประโยคเกี่ยวกับประชากรและข้ออ้างเดิม
ระบุสมมติฐานของโมเดลและพิจารณาว่าวิธีการสุ่มตัวอย่างสนับสนุนสมมติฐานเหล่านี้หรือไม่

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ระดับนัยสำคัญ: ค่าเกณฑ์ความน่าจะเป็นที่เลือกไว้เพื่อปฏิเสธสมมติฐานศูนย์
ระบุ H₀ และ H₁ เป็นพารามิเตอร์ของประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์
ระวัง: การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่ได้พิสูจน์ว่า H₀ เป็นจริง

4 · ช่วงความเชื่อมั่น,ไคสแควร์และการถดถอย

ตัวเลขเฉลี่ยตัวอย่างมีความไม่แน่นอนแค่ไหน?

ตัวอย่างสองชุดให้ค่าเฉลี่ยต่างกัน เราต้องการข้อความเกี่ยวกับ sampling uncertainty ไม่ใช่คำสัญญาว่าตัวอย่างหนึ่งเท่ากับประชากร
บทเรียนนี้ศึกษา confidence interval: ช่วงที่คำนวณโดยกระบวนการที่ออกแบบมาเพื่อครอบคลุม population parameter ในอัตรา long-run ที่ระบุ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับค่าเฉลี่ยปกติที่มี σKnown, ช่วง 95% คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง±1.96σ/√n
สำหรับ chi-square, รวม (สังเกต-คาดหวัง)²/คาดหวัง พร้อมองศาอิสระที่ถูกต้อง
เลือกการทดสอบที่ตรงกับข้อมูลและสมมติฐาน

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\overline x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

ตัวอย่าง

ด้วยค่าเฉลี่ย=50, σ=10, n=100, ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน=1 และช่วงความเชื่อมั่น 95% คือ [48.04,51.96] สำหรับจำนวนนับที่สังเกตได้ 30 และ 20 เทียบกับค่าที่คาดไว้ 25 และ 25, ค่า chi-square=25/25+25/25=2 ก่อนที่จะพิจารณาดีกรีของอิสรภาพและเกณฑ์การปฏิเสธ

ช่วงความเชื่อมั่น chi-square และการถดถอย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

กระบวนการความเชื่อมั่น 95% ไม่ให้ 95% ความน่าจะเป็นว่าค่าเฉลี่ยประชากรคงที่จะเคลื่อนเข้าในช่วงนี้
จำนวนที่คาดหวังและพารามิเตอร์ที่ประมาณมีผลต่อความถูกต้องและองศาอิสระของการทดสอบ chi-square

Watch out

ไม่เป็นจริง: ความสัมพันธ์สูงเพียงอย่างเดียวพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุไม่ได้ ความสัมพันธ์แสดงถึงการสัมพันธ์กัน; ตัวแปรที่สามหรือโอกาสอาจอธิบายได้ ดังนั้นการหาเหตุจำเป็นต้องมีการทดลองหรือหลักฐานอื่น

การนำไปใช้

รายงานความไม่แน่นอนในบริบท
ในการถดถอย ให้ตรวจสอบค่า残差 หลีกเลี่ยงการคาดนอกขอบเขตโดยไม่จำเป็น และแยกความสัมพันธ์ที่ปรับแล้วออกจากคำอธิบายเชิงสาเหตุ
S3 และ IB AI HL ต้องการขอบเขตสโคปที่ยืนยันแล้วต่างกัน

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ช่วงความเชื่อมั่น: ช่วงที่คำนวณโดยกระบวนการที่ออกแบบมาเพื่อครอบคลุมพารามิเตอร์ประชากรด้วยอัตราระยะยาวที่กำหนดไว้
สำหรับค่าเฉลี่ยปกติที่มี σKnown, ช่วง 95% คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง±1.96σ/√n
ระวัง: กระบวนการความเชื่อมั่น 95% ไม่ให้ 95% ความน่าจะเป็นว่าค่าเฉลี่ยประชากรคงที่จะเคลื่อนเข้าในช่วงนี้

5 ·อนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

Derivatives and stationary points — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

5 · การหารากและการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?

สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า

วิธีปฏิบัติ

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงข้ามกันที่ปลายสองจุด จะมีรากอยู่ระหว่างจุดเหล่านั้น
วิธีนิวตันใช้ x ถัดไป = x - f(x)/f prime(x) โดยมีความชันที่ไม่เป็นศูนย์
กฎสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณค่าอินทิกรัลจำกัดโดยใช้ความสูงที่จุดปลาย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

ตัวอย่าง

สำหรับ f(x)=x²-2 และ x₀=1.5 นิวตันให้ x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 ด้วย y=x² บน [0,2] และช่องแบ่งเท่ากันสองช่อง h=1 และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู=(1/2)(0+2×1+4)=3; พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3

การหารากและการอินทิเกรตแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

การเปลี่ยนเครื่องหมายผ่านจุดไม่ต่อเนื่องไม่ยืนยันว่ามีราก
การทำซ้ำอาจลู่เข้าไม่บรรจบหรือเกิดวงวน
ค่าประมาณเกินหรือ underestimate ของกฎสี่เหลี่ยมคางหมูขึ้นอยู่กับความโค้ง ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเพียงอย่างเดียว

Watch out

Not true: Every sign change proves a root, including one across a discontinuity. A sign change shows a root only if the function is continuous there: 1/x changes sign across x=0 but has no root.

การนำไปใช้

กำหนดเกณฑ์หยุดและรายงานความแม่นยำที่เหมาะสม
ยืนยันรากโดยประมาณด้วยการระบุช่วงสัญญาณรอบคำตอบที่ปัดเศษที่กำหนด; อธิบายสาเหตุของความล้มเหลวในการใช้วิธีการทำซ้ำที่เลือก

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การทำซ้ำ: การอัปเดตแบบซ้ำๆ ที่ซึ่งค่าประมาณใหม่แต่ละค่าคำนวณจากค่าประมาณก่อนหน้า
ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงข้ามกันที่ปลายสองจุด จะมีรากอยู่ระหว่างจุดเหล่านั้น
ระวัง: การเปลี่ยนแปลงสัญญาณข้ามจุดไม่ต่อเนื่องไม่ได้พิสูจน์ว่ามีรากอยู่

5 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่,ผลคูณ,ผลหาร และแบบนิพจน์โดยนัย

ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?

กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง

สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.

การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ส่วนผล และเชิงนัย — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

Watch out

ไม่เป็นจริง: อนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ใช่ u prime คูณ v prime กฎผลคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x อนุพันธ์คือ 2x, ไม่ใช่ 1×1=1.

การนำไปใช้

เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

5 · การแทนค่า,การหาอนุพันธ์แบบส่วนประกอบ และเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?

ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีปฏิบัติ

ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง

สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C

Substitution, parts and partial fractions — original teaching diagram

จุดที่ผิดพลาด

การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

Watch out

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)

การนำไปใช้

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

5 · สมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบเชิงตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีปฏิบัติ

สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง

ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428

สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

Watch out

ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า

การนำไปใช้

สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

IA · การวางแผนการสำรวจทางคณิตศาสตร์

อะไรทำให้การสืบสวนเป็นคณิตศาสตร์?

นักเรียนต้องการทำนายเวลารอคิวในโรงอาหารโรงเรียน การสำรวจที่มีประโยชน์ต้องมีคำถาม ข้อมูล และคณิตศาสตร์ที่นักเรียนสามารถอธิบายได้
บทเรียนนี้ศึกษา สมมติฐาน: เงื่อนไขที่ยอมรับเพื่อให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้และควรประเมินผลกระทบของมัน

วิธีปฏิบัติ

ตั้งคำถามที่ชัดเจนพร้อมตัวแปรที่วัดได้และวิธีการที่เป็นไปได้
บันทึกการตัดสินใจ แหล่งข้อมูล และเหตุผลทางคณิตศาสตร์พร้อมวันที่
ใช้เทคโนโลยีเพื่อสนับสนุนการวิเคราะห์ และอธิบายผลลัพธ์ที่สำคัญทุกประการด้วยภาษาของตนเอง

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$

ตัวอย่าง

ผู้ทดสอบบันทึกเวลาเฉลี่ยรอ 3,5,7 นาทีเมื่อมี 10,20,30 คนอยู่ข้างหน้า โมเดลแรกคือ t=1+0.2n ที่ n=25 คาดการณ์เวลา 6 นาที การรอจริง 8 นาทีให้ค่า residual 2; ตรวจสอบอัตราการให้บริการที่แปรผันแทนที่จะซ่อนความไม่ตรงกัน

วางแผนการสำรวจทางคณิตศาสตร์ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

จุดที่ผิดพลาด

ห้ามคัดลอกตัวอย่างการสำรวจ สร้างข้อมูลขึ้นมาเอง หรือสร้างการมีส่วนร่วมส่วนบุคคลอย่างมีนัยสำคัญ
การทำนายจะไม่ถือเป็นหลักฐานจนกว่าจะนำไปเปรียบเทียบกับผลการสังเกตการณ์
การยินยอมและความลับมีความสำคัญเมื่อเก็บรวบรวมข้อมูลในโรงเรียน

Watch out

ไม่เป็นจริง: การสำรวจทางคณิตศาสตร์ภายใต้การกำกับของโรงเรียนไม่สามารถแทนที่ด้วยการทดสอบจำลองเขียนตามเวลาได้ การสำรวจเป็นงานเขียนที่ยาวซึ่งประเมินตามเกณฑ์เฉพาะตัว ส่วนการทดสอบตามเวลาทดสอบสิ่งอื่นต่างหาก

การนำไปใช้

โรงเรียนดำเนินการอนุมัติหัวข้อ จุดตรวจสอบ ความถูกต้อง และการประเมินผล
สำหรับหลักสูตร 2021 ปัจจุบัน ให้ใช้คู่มือและเกณฑ์ของโรงเรียนปัจจุบัน ส่วนเกณฑ์การสืบเสาะ 2029 เป็นของเวอร์ชันการประเมินผลอีกแบบหนึ่ง

ในหลักสูตรของคุณ

Applications and Interpretation HL, หลักสูตรนี้ประเมินครั้งแรกใน 2021
ทุกข้อสอบอนุญาตใช้เครื่องคิดเลข แต่คะแนนวิธีทำยังต้องการให้เขียนนิพจน์หรือสมการก่อนค่าตัวเลขนั้น

Key idea

ข้อสันนิษฐาน: เงื่อนไขที่รับไว้เพื่อให้การสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ ซึ่งควรประเมินผลกระทบของเงื่อนไขดังกล่าว
ตั้งคำถามที่ชัดเจนพร้อมตัวแปรที่วัดได้และวิธีการที่เป็นไปได้
ระวัง: ห้ามคัดลอกตัวอย่างการสำรวจ สร้างข้อมูลขึ้นมาเอง หรือสร้างการมีส่วนร่วมส่วนบุคคลอย่างมีนัยสำคัญ

หมายเหตุการเรียนรู้

AI: บันทึกการสอนหลักสูตร

1 · คำนวณเลขคณิตที่แม่นยำและการประมาณค่า

เราบรรจุได้โดยไม่เหลือเศษไหม?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

1 · เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดแบบสัดส่วน

เราสามารถกู้คืนราคาเดิมได้หรือไม่?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

1 · ลำดับอนุกรมและความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

1 · โมเดลลำดับการฝากเงินซ้ำและการกำหนดเวลา

เวลาบรรทัดไหนที่ผลบวกระบุถึง?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

1 · การแปลงเมทริกซ์,อินเวอร์สและค่าเฉพาะ

เวกเตอร์พื้นฐานไปอยู่ที่ไหน?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

1 · จำนวนเชิงซ้อนและราก

หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

2 · เซตของค่า ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบฟังก์ชัน

ค่าอินพุตใดที่อนุญาตให้ใช้?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

2 · การถดถอย,โมเดลทางการเงินและค่าคงเหลือ

การทำนายได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลหรือไม่?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

2 · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการสร้างโมเดล

ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

3 · การคิดเกี่ยวกับมุม ความคล้ายคลึง และการวัดขนาด

ปริมาตรขยายตามความยาวหรือไม่?

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

3 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด

วิธีปฏิบัติ

กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

จุดที่ผิดพลาด

การนำไปใช้

ในหลักสูตรของคุณ

3 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง