AA: ใบความรู้การสอนรายวิชา
เวอร์ชัน: การประเมินครั้งแรก 2021
นี่คือหมายเหตุการสอนต้นฉบับ โดยแต่ละบทเรียนจะถูกติดป้ายกำกับตามระดับความยาก
1 · คำนวณเลขคณิตที่แม่นยำและการประมาณค่า
เราบรรจุได้โดยไม่เหลือเศษไหม?
- ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
- บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี
วิธีปฏิบัติ
- ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
- ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
- ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$
ตัวอย่าง
72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360
จุดที่ผิดพลาด
- GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
- พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
- ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ
Watch out
Not true: The HCF of two positive integers is larger than either integer. The HCF divides both numbers, so it can never be larger than the smaller one: the HCF of 72 and 90 is 18.
การนำไปใช้
- สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
- สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
Key idea
- Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
- ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
- ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
1 · เลขชี้กำลัง รากที่สองและรูปแบบมาตรฐาน
ความยาวระดับจุลภาคมีขนาดเล็กแค่ไหน?
- กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
- บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
- เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ; เลขชี้กำลังเศษส่วนหมายถึงราก
- มาตรฐานรูปมี 1≤a<10
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
ตัวอย่าง
0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. จงจัดรูป √72=6√2 จากนั้นทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ 1/√2=√2/2
จุดที่ผิดพลาด
- กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
- อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ
Watch out
ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32
การนำไปใช้
- ตรวจสอบกำลังสิบเทียบกับปริมาณต้นฉบับ
- ใช้รากสำหรับการคำนวณเรขาคณิตที่แม่นยำ และปัดเศษเฉพาะความยาวสุดท้ายเมื่อโจทย์ถามเป็นทศนิยม
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
- สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
- ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
1 · ลำดับอนุกรมและความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ
การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?
- แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
- บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
- สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
- ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
ตัวอย่าง
สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.
จุดที่ผิดพลาด
- พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
- ลำดับคือรายการ; ซีรีส์คือผลบวก
- ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้
Watch out
ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด
การนำไปใช้
- อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
- ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
- สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
- ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
1 · เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดแบบสัดส่วน
เราสามารถกู้คืนราคาเดิมได้หรือไม่?
- เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
- บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว
วิธีปฏิบัติ
- การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
- กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
- ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
ตัวอย่าง
ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน
จุดที่ผิดพลาด
- เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
- การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
- สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์
Watch out
ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100
การนำไปใช้
- สำหรับความแปรผันตรง ใช้ y=kx; สำหรับความแปรผกผัน ใช้ y=k/x
- คำนวณค่า k จากคู่ตัวเลขที่กำหนดก่อนนำไปใช้กับค่าใหม่
- ระบุสิ่งที่คุณควบคุมให้คงที่
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
- การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
- ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
1 · จำนวนเชิงซ้อนและราก
หากรากไม่ใช่จำนวนจริง?
- สมการ x²+1=0 ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง การขยายระบบจำนวนช่วยให้เราสามารถแสดงและคำนวณกับรากทั้งสองได้
- บทเรียนนี้ศึกษา คู่สมมูลเชิงซ้อน: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
วิธีปฏิบัติ
- เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
- จำนวน-queryate คือ a-bi และ z คูณจำนวน-queryate = a²+b²
- โมดูลัสคือ √(a²+b²); อาร์กิวเมนต์ต้องใช้จตุภาคที่ถูกต้อง
- ราก-queryate เกิดขึ้นในพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$z=a+bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline z=a^2+b^2$$
ตัวอย่าง
สำหรับ z=3+4i, |z|=5 และคู่สมมูลของ z=3-4i ค่าผกผันคือ (3-4i)/25 สำหรับ x²-6x+13=0 รากคือ 3±2i การคูณด้วยคู่สมมูลทำให้ตัวส่วนที่เป็นจำนวนจริง
จุดที่ผิดพลาด
- รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของรากที่สอง
- ฟังก์ชันท.Elementsary tangent แบบย้อนกลับเพียงอย่างเดียวอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดควอดรันต์
- อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสกับโมดูลัสกำลังสอง
Watch out
ไม่เป็นความจริง: สำหรับ a+bi โมดูลัสของมันคือ a+b โมดูลัสคือ √(a²+b²): สำหรับ 3+4i มีค่าเป็น 5 ไม่ใช่ 7
การนำไปใช้
- วาดแกนจำนวนจริงแนวนอนและแกนจำนวนจินตภาพแนวตั้ง
- สำหรับจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสคูณกันและอาร์กิวเมนต์บวกกัน;เลขยกกำลังขยายรูปแบบเรขาคณิตนี้ผ่านทฤษฎีบทเดอมอยฟวร์
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- จำนวนสมนัย: จำนวนที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ
- เขียน z=a+bi โดยที่ i²=-1
- ระวัง: รากที่สองของผลบวกไม่ใช่ผลรวมของรากที่สอง
1 · การกระจายแบบทวินามและการประมาณที่ถูกต้อง
การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?
- การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
- บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
- สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม, ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... โดยที่ |x|<1
- แยกตัวคูณคงที่ออกก่อนใช้รูปแบบนี้
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
ตัวอย่าง
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. สำหรับ (1+x)^(-1), พจน์สามแรกคือ 1-x+x²; ที่ x=0.1 จะได้ค่าประมาณ 0.91 เมื่อเทียบกับค่าที่แท้จริง 1/1.1≈0.909091.
จุดที่ผิดพลาด
- การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
- การขยายกำลังจำนวนเต็มบวกจะเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด และไม่มีการจำกัดการลู่เข้าดังกล่าว
Watch out
ไม่เป็นจริง: การกระจายทวินามทุกชนิดเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด รวมถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก สำหรับกำลังลบหรือเศษส่วน การกระจายจะเป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งมีผลใช้ได้เฉพาะเมื่อ |x|<1 เท่านั้น
การนำไปใช้
- ระบุช่วงค่าที่ใช้ได้ alongside กับค่าประมาณ
- เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกตัวสัมประสิทธิ์ออกจากพจน์ทั้งหมดที่มี x
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด
- สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการกระจายทวินามที่มีจำกัด
- ระวัง: การกระจายใน 2x ต้องมีเงื่อนไข |2x|<1 สำหรับอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่แค่ |x|<1 เท่านั้น
1 ·อนุกรม,ผลต่างจำกัด และการขยายเทย์เลอร์
โพลิโนมิอัลสามารถแทนที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลใกล้จุดหนึ่งได้หรือไม่?
- ใกล้จุดที่ทราบค่าแล้ว ฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยการประมาณค่าด้วยโพลิโนมิอัล การประมาณค่านี้จำเป็นต้องมีจุดศูนย์กลางและสเกลที่เหมาะสม
- บทเรียนนี้ศึกษา โพลิโนมิอัลเทย์เลอร์: โพลิโนมิอัลที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้
วิธีปฏิบัติ
- เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
- เมื่อ a=0 จะเป็นการกระจายของแมคลอเรน
- ผลบวกจำกัดอาจลดรูปด้วยการตัดทอนหรือใช้สูตรผลบวกมาตรฐาน
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$
ตัวอย่าง
สามพจน์แรกของการขยาย e^x คือ 1+x+x²/2. ที่ x=0.1 ค่าที่ได้คือ 1.105 ซึ่งใกล้เคียงกับ e^0.1≈1.105170. สำหรับผลบวกของ k² จาก k=1 ถึง 5, n(n+1)(2n+1)/6 ให้ค่า 5×6×11/6=55.
จุดที่ผิดพลาด
- ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว
- จุดศูนย์กลางของการกระจายไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เสมอไป
- การประมาณค่าใกล้จุดศูนย์กลางอาจผิดพลาดเมื่ออยู่ห่างออกไป
Watch out
ไม่จริง: พหุนาม Taylor มีค่าเท่ากับฟังก์ชันต้นฉบับที่ทุกค่าเข้าพหุนาม Taylor เป็นเพียงการประมาณค่า มักจะแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดศูนย์กลางเท่านั้น
การนำไปใช้
- สำหรับอนุกรมเทเลสโคปิก ให้เขียนหลายพจน์และระบุปลายทั้งสองที่ยังคงเหลืออยู่
- สำหรับการประมาณค่าด้วย Taylor ระบุระดับของพหุนามและเปรียบเทียบกับค่าที่ทราบหรือค่าความคลาดเคลื่อนตามต้องการ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- พหุนาม Taylor: พหุนามที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลางที่กำหนด
- เมื่อ x=a, f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... เมื่อการกระจายมีความถูกต้อง
- ระวัง: ตัวคูณ factorial ต้องอยู่ในตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ Taylor ทุกตัว
2 · เซตของค่า ฟังก์ชันผกผัน และการประกอบฟังก์ชัน
ค่าอินพุตใดที่อนุญาตให้ใช้?
- โมเดลรากที่สองให้ผลลัพธ์จริงเฉพาะบางค่าอินพุกเท่านั้น สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่สมบูรณ์
- บทเรียนนี้ศึกษา domain: เซตของค่าอินพุกที่อนุญาตให้ใช้กับฟังก์ชัน
วิธีปฏิบัติ
- ระบุโดเมนและเรนจ์
- สำหรับฟังก์ชันผกผัน ต้องตรวจสอบก่อนว่าฟังก์ชันนั้นเป็น one-to-one บนโดเมนของตนหรือไม่
- Composition fg หมายความว่านำ g มาใช้ก่อน แล้วจึงนำ f มาใช้; ค่าผลลัพธ์กลางต้องเป็นค่าเริ่มต้นที่ยอมรับได้สำหรับ f
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
ตัวอย่าง
For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
จุดที่ผิดพลาด
- การยกกำลังสองอาจนำไปสู่คำตอบที่ไม่แท้จริง (extraneous solutions)
- การจำกัดโดเมนของพาราโบลาเป็นเรื่องจำเป็นก่อนจะอ้างถึงฟังก์ชันผกผัน
- การเลื่อนกราฟในแนวตั้งภายใน f จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของกราฟ
Watch out
ไม่เป็นจริง: ฟังก์ชันกำลังสองบนเซตจำนวนจริงทั้งหมดจะมีฟังก์ชันผกผันเสมอ ฟังก์ชันกำลังสองบนจำนวนจริงทั้งหมดเป็นแบบหลายเข้าสู่หนึ่งเดียว (f(1)=f(−1) สำหรับ x²) ดังนั้นต้องจำกัดโดเมนก่อน
การนำไปใช้
- Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain.
- ใช้การวาดภาพเพื่อทดสอบว่าเส้นแนวนอนตัดกับกราฟเดิมมากกว่าหนึ่งครั้งหรือไม่
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- โดเมน: เซตของค่าเข้าที่เป็นไปได้สำหรับฟังก์ชัน
- ระบุโดเมนและเรนจ์
- ระวัง: การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดคำตอบที่ผิดพลาดได้
2 · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และการสร้างโมเดล
ทำไมโมเดลการสลายตัวจึงคงเป็นบวก?
- ความเข้มข้นของยาลดลงเปอร์เซ็นต์เดียวกันทุกชั่วโมง การลบด้วยค่าคงที่จะนำไปสู่การคาดการณ์ปริมาณเป็นลบในที่สุด
- บทเรียนนี้ศึกษา ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
- การทำลอการิทึมจะได้ ln y=ln A+kt
- ลอการิทึมต้องมีอาร์กิวเมนต์เป็นบวก และ log(x+y) ไม่ใช่ log x+log y
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
ตัวอย่าง
ถ้า y=80e^(-0.2t), เมื่อ y=40 จะได้ e^(-0.2t)=1/2 ดังนั้น t=ln2/0.2≈3.466 สำหรับ 3^x=20, x=ln20/ln3 การพล็อต ln y เทียบกับ t จะทำให้โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลนี้เป็นเส้นตรง
จุดที่ผิดพลาด
- ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่การรับประกัน
- ระบุหน่วยเวลาและช่วงการใช้งาน
- ค่า k เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลง; ค่าเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทปัญหา
Watch out
ไม่เป็นจริง: สำหรับ x และ y ที่เป็นบวก, ln(x+y)=ln x+ln y ลอการิทึมของผลรวมไม่มีกฎที่เรียบง่าย; กฎการคูณคือ ln(xy)=ln x+ln y
การนำไปใช้
- เปรียบเทียบผลการสังเกตจริงกับโมเดล
- ความเบี่ยงเบนแบบมีระบบอาจบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่เปลี่ยนแปลงไป
- ในรายงาน ให้อธิบายความหมายของอัตราและค่าเริ่มต้น แทนที่จะให้แค่สมการเปล่าๆ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ครึ่งชีวิต: เวลาที่ปริมาณที่ลดลงจะลดเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น
- สำหรับ y=Ae^(kt), k คืออัตราส่วนแปรผัน
- ระวัง: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ปรับพารามิเตอร์แล้วเป็นเพียงโมเดล ไม่ใช่คำการันตี
3 · การคิดเกี่ยวกับมุม ความคล้ายคลึง และการวัดขนาด
ปริมาตรขยายตามความยาวหรือไม่?
- โมเดลมีความยาวเป็นหนึ่งในสามของวัตถุจริง พื้นที่และปริมาตรของมันจะเล็กกว่าเท่าใด?
- บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนการขยาย: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่สอดคล้องกันในรูปทรงคล้ายกัน
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
- ระบุเหตุผลเกี่ยวกับมุมอย่างชัดเจน
- เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$
ตัวอย่าง
หากอัตราส่วนความยาวโมเดลต่อวัตถุจริงคือ 3 พื้นที่โมเดล 12 ซม.² จะเท่ากับ 12×3²=108 ซม.² และปริมาตรโมเดล 8 ซม.³ จะเท่ากับ 8×3³=216 ซม.³ กระบอกทรงกลมที่มี r=3, h=5 มีปริมาตร πr²h=45π
จุดที่ผิดพลาด
- มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
- ใช้ความยาวที่ตรงกันในลำดับเดียวกัน
- แปลงหน่วยเชิงเส้นก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร หรือยกตัวคูณการแปลงกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง
Watch out
ไม่จริง: การเพิ่มทุกความยาวของวัตถุแข็งเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่า ปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของปัจจัยความยาว: การเพิ่มทุกความยาวเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรขึ้น 8 เท่า
การนำไปใช้
- บทพิสูจน์ทางเรขาคณิตควรระบุทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ระบุมุมหรืออัตราส่วนที่เท่ากัน และสรุปผล
- การวาดตามมาตราส่วนจะเป็นหลักฐานได้ก็ต่อเมื่อโจทย์อนุญาตให้วัดค่าเท่านั้น
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ปัจจัยการปรับขนาด: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่ตรงกันในรูปคล้ายกัน
- สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
- ระวัง: มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
3 · สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก
เกร็ดต้องวางอยู่ด้านใด
- A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
- บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
วิธีปฏิบัติ
- ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
- สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
ตัวอย่าง
ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52
จุดที่ผิดพลาด
- ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
- ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
- รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป
Watch out
ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์
การนำไปใช้
- ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
- อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
- ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
- ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
3 · เรเดียน อสมการตรีโกณมิติ และสมการตรีโกณมิติ
ขอบวงล้อเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน
- A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
- บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
- ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
- จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
ตัวอย่าง
สำหรับ r=4 และ θ=π/3, s=4π/3 และ A=8π/3. การแก้สมการ sin x=1/2 บน 0≤x<2π ได้ x=π/6 และ 5π/6. สำหรับ sin2x=1/2, แก้สมการบน 0≤2x<4π ก่อนแล้วหารด้วย 2
จุดที่ผิดพลาด
- A calculator's inverse sine gives one principal value.
- เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
- การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ
Watch out
Not true: The principal inverse sine value is the only solution in a full turn. Sine takes most values twice in a full turn: sin x=0.5 gives 30° and 150°.
การนำไปใช้
- เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
- รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- Radian: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.
- สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
- Watch for: A calculator's inverse sine gives one principal value.
3 · เวกเตอร์และเรขาคณิตการแปลง
ทำไมการกระจัดจึงสั้นกว่าระยะทางเดิน?
- การเดิน 4 เมตรไปทางตะวันออกและ 3 เมตรไปทางเหนือ ให้การกระจัดเป็น 5 เมตร แม้ว่าจะเดินทางทั้งหมด 7 เมตร
- บทเรียนนี้ศึกษา เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวมกัน
วิธีปฏิบัติ
- บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
- การกระจัดจาก A ไป B คือ OB ลบ OA
- เวกเตอร์ขนานกันจะเป็นผลคูณของสเกลาร์
- เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง ส่วนระยะทางเป็นสเกลาร์
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
ตัวอย่าง
เมื่อ a=(4,1) และ b=(1,3), a+b=(5,4) ผลคูณสเกลาร์ของพวกเขาคือ a·b=4×1+1×3=7 ขนาดของ a คือ √17 สำหรับ A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) และ |AB|=5
จุดที่ผิดพลาด
- ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
- Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient.
- การขยายขนาดติดลบจะกลับด้านตำแหน่งเทียบกับจุดศูนย์กลาง
Watch out
ไม่เป็นจริง: AB และ BA มีองค์ประกอบเท่ากัน BA ไปในทิศทางตรงข้ามกับ AB ดังนั้น BA = -AB: ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย
การนำไปใช้
- สำหรับการเลื่อนทุกจุดใช้การกระจัดเดียวกัน
- สำหรับปัญหาเส้นตรงขั้นสูง ให้แยกแยะระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่งกับเวกเตอร์ทิศทางและแก้สมการพารามิเตอร์ให้สอดคล้องกัน
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- เวกเตอร์ผลรวม: ผลบวกของเวกเตอร์ที่แสดงถึงการกระจัดหรือแรงรวม
- บวกองค์ประกอบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
- ระวัง: ลำดับของการลบมีความสำคัญ: BA = -AB
4 · สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความผล
ค่าเฉลี่ยสามารถบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?
- กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
- บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม
วิธีปฏิบัติ
- เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
- กราฟฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความหนาแน่นของความถี่ / ช่วงชั้น
- การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในแต่ละช่วง
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
ตัวอย่าง
กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.
จุดที่ผิดพลาด
- แท่งที่เตี้ยที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
- ค่าเฉลี่ยแบบจัดกลุ่มเป็นการประมาณค่าเท่านั้น
- ความสัมพันธ์เชิงสถิติไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการคาดนอกช่วงข้อมูลขยายผลลัพธ์เกินขอบเขตที่สังเกตได้
Watch out
ไม่ถูกต้อง: ความสูงของแท่งกราฟฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีช่วงชั้นที่ไม่เท่ากัน ในกรณีที่มีช่วงชั้นไม่เท่ากัน ความสูงคือความหนาแน่นของความถี่ ส่วนความถี่คือพื้นที่ของแท่ง
การนำไปใช้
- เลือกการแสดงผลให้เหมาะสมกับประเภทข้อมูล
- ให้ผลการเปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร พร้อมระบุระดับความแม่นยำที่ตัวอย่างรองรับได้ ไม่ควรสรุปเกินจริง
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ความหนาแน่นของความถี่: ความถี่หารด้วยขนาดช่วงชั้น ใช้เป็นความสูงของแท่งในกราฟฮิสโตแกรม
- เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและช่วงการกระจายที่เหมาะสมในบริบท
- ระวัง: แท่งที่สูงที่สุดในกราฟฮิสโตแกรมอาจไม่ได้มีจำนวนข้อมูลมากที่สุด
4 · ความน่าพลัน ต้นไม้และความน่าจะเป็น และการคิดแบบมีเงื่อนไข
อะไรเปลี่ยนไปหลังจากการสุ่มครั้งแรก?
- ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
- บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด
วิธีปฏิบัติ
- คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
- การสุ่มแบบมีคืน ส่วนประกอบจะคงที่
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A เมื่อ B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
ตัวอย่าง
Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.
จุดที่ผิดพลาด
- แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
- เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะไม่เป็นอิสระต่อกัน
Watch out
ไม่เป็นจริง: เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกต้องเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นเป็นบวกจะขึ้นต่อกัน: หากเกิดเหตุการณ์หนึ่ง อีกเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(A และ B)=0≠P(A)P(B)
การนำไปใช้
- ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่จำกัดชัดเจน
- ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องให้เหตุผลว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่กำหนดให้
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรวมตัวอย่างทั้งหมดไว้ในเงื่อนไขที่กำหนด
- คูณตามกิ่งของต้นไม้แล้วบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกัน
- ระวัง: แยกกันสนิทหมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง
4 · โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง
อะไรทำให้จำนวนนับสามารถคาดเดาได้?
- ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
- บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
วิธีปฏิบัติ
- โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
- E(X)=np และ Var(X)=np(1-p)
- สำหรับโมเดลปกติ ให้ใช้ z=(x-μ)/σ
- โมเดลปอยซ็องใช้สำหรับนับจำนวนที่มีอัตราคงที่และสมมติฐานความเป็นอิสระที่เหมาะสม
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
ตัวอย่าง
สำหรับ X แบนอมิอัล(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 และ Var(X)=0.8 สำหรับปริมาณปกติที่มี μ=100, σ=15, ค่า 130 มี z=2 ปอยซง mean = 3 ต่อชั่วโมง ให้ mean = 6 ตลอดสองชั่วโมง
จุดที่ผิดพลาด
- ไม่ใช่ทุกการนับเป็นทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับตัวอื่นอาจทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
- สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดค่าหนึ่งที่มีค่าแน่นอนจะมีเป็นศูนย์
- การปรับความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ
Watch out
ไม่เป็นจริง: จำนวนความสำเร็จทุกจำนวนมีการแจกแจงแบบทวินามโดยไม่ขึ้นกับความขึ้นกัน การแจกแจงแบบทวินามต้องการการทดลองที่เป็นอิสระและมีความน่าจะเป็นคงที่; การทดลองที่ขึ้นกันจะทำให้โมเดลนี้ใช้ไม่ได้
การนำไปใช้
- เขียนเหตุการณ์ให้อยู่ในรูปอสมการก่อนใช้ฟังก์ชันการแจกแจงบนเครื่องคิดเลข
- แยกแยะระหว่าง P(X<k), P(X≤k) และส่วนหางที่เติมเต็ม
- ระบุสมมติฐานในบริบทที่เกี่ยวข้อง
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
Key idea
- ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
- โมเดลทวินามต้องการ n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองชนิด และความน่าจะเป็น p ที่คงที่
- Watch for: not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it.
5 ·อนุพันธ์และจุดคงที่
ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?
- ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
- บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
- จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
- ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
ตัวอย่าง
สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่
จุดที่ผิดพลาด
- อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
- จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน
Watch out
ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด
การนำไปใช้
- ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
- ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
- สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
- ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง
5 · อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม
How much change has accumulated?
- กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
- อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
- แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
ตัวอย่าง
สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น
จุดที่ผิดพลาด
- อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
- พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก
Watch out
ไม่เป็นจริง: อินทิกรัล_examples มีค่าเท่ากับพื้นที่บวกทั้งหมด แม้กราฟจะตัดแกน Also พื้นที่ใต้แกนมีค่าลบ ดังนั้นอินทิกรัล_examples อาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้แต่เป็นศูนย์
การนำไปใช้
- ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
- อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
- หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
- สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
- ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
5 · การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่,ผลคูณ,ผลหาร และแบบนิพจน์โดยนัย
ส่วนในของ-expression เปลี่ยนแปลงด้วยหรือไม่?
- กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
- บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
- สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
- สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
ตัวอย่าง
สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.
จุดที่ผิดพลาด
- อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
- ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
- ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง
Watch out
ไม่เป็นจริง: อนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ใช่ u prime คูณ v prime กฎผลคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x อนุพันธ์คือ 2x, ไม่ใช่ 1×1=1.
การนำไปใช้
- เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
- สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
- สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
- ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
5 · การแทนค่า,การหาอนุพันธ์แบบส่วนประกอบ และเศษส่วนย่อย
เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?
- ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
- บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
วิธีปฏิบัติ
- ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
- ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
- สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
ตัวอย่าง
สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C
จุดที่ผิดพลาด
- การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
- ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม
Watch out
ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)
การนำไปใช้
- ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
- สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
- ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
- ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
5 · สมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบเชิงตัวเลข
ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?
- อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
- บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
วิธีปฏิบัติ
- สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
- ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
- วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
ตัวอย่าง
ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428
จุดที่ผิดพลาด
- Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
- การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
- ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ
Watch out
ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า
การนำไปใช้
- สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
- นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
- สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
- ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
IA · การวางแผนการสำรวจทางคณิตศาสตร์
อะไรทำให้การสืบสวนเป็นคณิตศาสตร์?
- นักเรียนต้องการทำนายเวลารอคิวในโรงอาหารโรงเรียน การสำรวจที่มีประโยชน์ต้องมีคำถาม ข้อมูล และคณิตศาสตร์ที่นักเรียนสามารถอธิบายได้
- บทเรียนนี้ศึกษา สมมติฐาน: เงื่อนไขที่ยอมรับเพื่อให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้และควรประเมินผลกระทบของมัน
วิธีปฏิบัติ
- ตั้งคำถามที่ชัดเจนพร้อมตัวแปรที่วัดได้และวิธีการที่เป็นไปได้
- บันทึกการตัดสินใจ แหล่งข้อมูล และเหตุผลทางคณิตศาสตร์พร้อมวันที่
- ใช้เทคโนโลยีเพื่อสนับสนุนการวิเคราะห์ และอธิบายผลลัพธ์ที่สำคัญทุกประการด้วยภาษาของตนเอง
กรณีตัวอย่างที่คำนวณแล้ว
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
ตัวอย่าง
ผู้ทดสอบบันทึกเวลาเฉลี่ยรอ 3,5,7 นาทีเมื่อมี 10,20,30 คนอยู่ข้างหน้า โมเดลแรกคือ t=1+0.2n ที่ n=25 คาดการณ์เวลา 6 นาที การรอจริง 8 นาทีให้ค่า residual 2; ตรวจสอบอัตราการให้บริการที่แปรผันแทนที่จะซ่อนความไม่ตรงกัน
จุดที่ผิดพลาด
- ห้ามคัดลอกตัวอย่างการสำรวจ สร้างข้อมูลขึ้นมาเอง หรือสร้างการมีส่วนร่วมส่วนบุคคลอย่างมีนัยสำคัญ
- การทำนายจะไม่ถือเป็นหลักฐานจนกว่าจะนำไปเปรียบเทียบกับผลการสังเกตการณ์
- การยินยอมและความลับมีความสำคัญเมื่อเก็บรวบรวมข้อมูลในโรงเรียน
Watch out
ไม่เป็นจริง: การสำรวจทางคณิตศาสตร์ภายใต้การกำกับของโรงเรียนไม่สามารถแทนที่ด้วยการทดสอบจำลองเขียนตามเวลาได้ การสำรวจเป็นงานเขียนที่ยาวซึ่งประเมินตามเกณฑ์เฉพาะตัว ส่วนการทดสอบตามเวลาทดสอบสิ่งอื่นต่างหาก
การนำไปใช้
- โรงเรียนดำเนินการอนุมัติหัวข้อ จุดตรวจสอบ ความถูกต้อง และการประเมินผล
- สำหรับหลักสูตร 2021 ปัจจุบัน ให้ใช้คู่มือและเกณฑ์ของโรงเรียนปัจจุบัน ส่วนเกณฑ์การสืบเสาะ 2029 เป็นของเวอร์ชันการประเมินผลอีกแบบหนึ่ง
ในหลักสูตรของคุณ
- การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
- ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข
Key idea
- ข้อสันนิษฐาน: เงื่อนไขที่รับไว้เพื่อให้การสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ ซึ่งควรประเมินผลกระทบของเงื่อนไขดังกล่าว
- ตั้งคำถามที่ชัดเจนพร้อมตัวแปรที่วัดได้และวิธีการที่เป็นไปได้
- ระวัง: ห้ามคัดลอกตัวอย่างการสำรวจ สร้างข้อมูลขึ้นมาเอง หรือสร้างการมีส่วนร่วมส่วนบุคคลอย่างมีนัยสำคัญ