Правило цепочки, правило произведения, правило частного и неявное дифференцирование
Введено| English | Значение |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | правило дифференцирования сложной функции |
Меняется ли также внутреннее выражение?
- Кривая затрат представляет собой степень изменяющегося выражения. Дифференцирование внешней степени отдельно упускает скорость изменения её входного значения.
- Этот урок посвящен правилу сложной функции: правилу, которое умножает внешнюю производную на внутреннюю производную для составной функции.
Выберите математическую структуру
- Для y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Для uv, дифференцируйте как u prime v+uv prime. Для u/v, используйте (u prime v-uv prime)/v², где v≠0.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Почему производная от x·eˣ не равна просто 1·eˣ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Каждый множитель изменяется, поэтому оба вносят вклад: при u=x и v=eˣ правило произведения дает u′v+uv′=eˣ+xeˣ. Умножение отдельных производных исключает член uv′.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для y=(3x+1)^4, производная y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. При x=0 наклон равен 12. Для уравнения x²+y²=25 дифференцируем неявно: 2x+2y y'=0, откуда y'=-x/y при y≠0.
Правило цепочки, правило произведения, правило частного и неявное дифференцирование
Для y=f(g(x)), y' = f'(g(x))·g'(x)
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Найдите производную выражения (3x+1)^4 при x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Правило цепочки дает 4(3x+1)³×3; при нуле это равно 12.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Производная произведения не равна произведению производных. В неявном дифференцировании каждая дифференцированная функция от y дает множитель dy/dx. Знаменатель частного возводится в квадрат.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Производная произведения u(x)v(x) всегда равна произведению u' на v'. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Для уравнения x²+y²=25 найдите dy/dx в точке (3,4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Неявное дифференцирование дает 2x+2y y' =0, следовательно y'=-3/4.
Производная произведения u(x)v(x) всегда равна произведению их производных (u' × v').
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная произведения не равна произведению производных. При неявном дифференцировании каждая продифференцированная функция по y дает множитель dy/dx. Знаменатель дроби возводится в квадрат.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Выберите удобную форму перед дифференцированием: раскрытие скоб в коротком многочлене может быть проще. Для задач о связанных скоростях запишите соотношение в символах, продифференцируйте по времени, затем подставьте измеренные значения.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Для y=xe^x найдите dy/dx при x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Правило произведения дает e^x+xe^x; при нуле это значение равно 1.
Сопоставьте каждое правило с соответствующей ситуацией.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Цепное правило связывает производные внешней и внутренней функций; правило произведения использует формулу u′v+uv′; неявные зависимости вносят множитель dy/dx для каждого дифференцируемого члена y.
Примените это в своем курсе
- Текущая первая оценка-2021 Применение и интерпретация HL. Это концептуальная поддержка от автора; для подтверждения каждой цели необходим полный курс.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Правило, умножающее производную внешней функции на производную внутренней функции для сложной функции. Выберите зависимость, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.