Замена переменной, метод интегрирования по частям и разложение на простейшие дроби
Введено| English | Значение |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | Интегрирование по частям |
Можно ли интегрировать два множителя отдельно?
- Простой на вид продукт, такой как xe^x, нельзя проинтегрировать, интегрируя каждый множитель отдельно.
- Этот урок посвящен интегрированию по частям: методу интегрирования, основанному на производной произведения.
Выберите математическую структуру
- Используйте замену переменной, если внутренний множитель является производной. По частям: интеграл от u·v' = uv - интеграл от u'·v. Для рациональной функции сначала выполните деление (если нужно), затем разложите на простейшие дроби.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Почему замена w=x²+1 подходит для интеграла 2x/(x²+1)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
При w=x²+1, dw=2x dx, и интеграл принимает вид ∫dw/w=ln|w|+C. Замена переменных особенно эффективна, когда производная внутренней функции выступает множителем.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для интеграла ∫xe^x dx примите u=x и v'=e^x. Тогда интеграл равен xe^x-e^x+C. Для интеграла 2x/(x²+1) dx, сделайте подстановку w=x²+1, dw=2x dx; ответ: ln(x²+1)+C.
Замена переменной, метод интегрирования по частям и разложение на простейшие дроби
V/π = интеграл от 0 до 3 по x² dx = 9
Виджет отображает подынтегральную функцию y²=x² для y=x; сравните точное значение 9 с проверкой объема.
Вычислите интеграл от xe^x от 0 до 1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Первообразная имеет вид (x-1)e^x. При подстановке 1 и 0 получаем 0 и -1, следовательно, значение интеграла равно 1.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Правильный выбор u и v' важен: оставшийся интеграл должен стать проще. В определённом интеграле либо измените пределы интегрирования, либо вернитесь к переменной x перед применением исходных пределов.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Интеграл произведения равен произведению отдельных интегралов. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Найдите коэффициент при ln(x²+1) в интеграле от 2x/(x²+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Замена w=x²+1 даёт dw=2x dx, поэтому коэффициент при ln(x²+1) равен 1.
Интеграл произведения равен произведению отдельных интегралов.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Правильный выбор u и dv важен: оставшийся интеграл должен упроститься. В определённом интеграле либо измените пределы интегрирования, либо вернитесь к переменной x перед подстановкой исходных пределов.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Проверьте дифференцированием. Для объемов тел вращения вокруг оси x используйте V=π ∫ y² dx; не путайте квадрат функции с интегралом от функции.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите объём, делённый на π, когда кривая y=x вращается вокруг оси x от 0 до 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V/π=integral x² dx от 0 до 3=[x³/3]=9.
Соотнесите каждый интеграл с подходящим методом решения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Выбирайте метод по структуре: наличие производной внутренней функции указывает на замену переменных, произведение разнородных типов — на интегрирование по частям, а неправильная рациональная дробь требует сначала деления.
Примените это в своем курсе
- Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Метод интегрирования, основанный на производной произведения. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.